登录
任务导学
任务一 掌握用平方差公式因式分解
回顾复习：
1. 填空：
(1)$(a+2)(a-2)=(\_\_\_\_\_\_)^2-(\_\_\_\_\_\_)^2=\_\_\_\_\_\_;$
(2)$(3a+2b)(3a-2b)=(\_\_\_\_\_\_)^2-(\_\_\_\_\_\_)^2=(\_\_\_\_\_\_)^2=\_\_\_\_\_\_。$
2. 平方差公式：$(a+b)(a-b)=\_\_\_\_\_\_,$即两个数的和乘这两个数的差等于这两个数的平方差。
任务一 掌握用平方差公式因式分解
回顾复习：
1. 填空：
(1)$(a+2)(a-2)=(\_\_\_\_\_\_)^2-(\_\_\_\_\_\_)^2=\_\_\_\_\_\_;$
(2)$(3a+2b)(3a-2b)=(\_\_\_\_\_\_)^2-(\_\_\_\_\_\_)^2=(\_\_\_\_\_\_)^2=\_\_\_\_\_\_。$
2. 平方差公式：$(a+b)(a-b)=\_\_\_\_\_\_,$即两个数的和乘这两个数的差等于这两个数的平方差。
答案
1. (1) a，2，$a^2-4$
(2) 3a，2b，$9a^2-4b^2$
2. $a^2 - b^2$
(2) 3a，2b，$9a^2-4b^2$
2. $a^2 - b^2$
解析
【分析】
这道题考查平方差公式的基础应用，解题时先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，计算结果为相同项的平方减去互为相反数项的平方。解题时逐题找出对应式子的相同项和相反项，代入公式计算即可。
【解析】
1. (1) 观察式子$(a+2)(a-2)$，相同项为$a$，互为相反数的项为$+2$和$-2$，对照平方差公式可得：$(a+2)(a-2)=a^2 - 2^2$，计算得$a^2 - 4$，因此依次填入对应内容。
(2) 观察式子$(3a+2b)(3a-2b)$，相同项为$3a$，互为相反数的项为$+2b$和$-2b$，对照平方差公式可得：$(3a+2b)(3a-2b)=(3a)^2 - (2b)^2$，分别计算平方后得$9a^2 - 4b^2$，因此依次填入对应内容。
2. 直接根据平方差公式的标准代数形式填写即可。
【答案】
1. (1) $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{a^2-4}$
(2) $\boldsymbol{3a}$，$\boldsymbol{2b}$，$\boldsymbol{9a^2-4b^2}$
2. $\boldsymbol{a^2 - b^2}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于平方差公式的基础应用类题目，核心是识别公式的结构特征，找准“相同项”和“相反项”，是平方差公式相关内容的入门训练，可为后续利用平方差公式进行因式分解夯实基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查平方差公式的基础应用，解题时先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，计算结果为相同项的平方减去互为相反数项的平方。解题时逐题找出对应式子的相同项和相反项，代入公式计算即可。
【解析】
1. (1) 观察式子$(a+2)(a-2)$，相同项为$a$，互为相反数的项为$+2$和$-2$，对照平方差公式可得：$(a+2)(a-2)=a^2 - 2^2$，计算得$a^2 - 4$，因此依次填入对应内容。
(2) 观察式子$(3a+2b)(3a-2b)$，相同项为$3a$，互为相反数的项为$+2b$和$-2b$，对照平方差公式可得：$(3a+2b)(3a-2b)=(3a)^2 - (2b)^2$，分别计算平方后得$9a^2 - 4b^2$，因此依次填入对应内容。
2. 直接根据平方差公式的标准代数形式填写即可。
【答案】
1. (1) $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{a^2-4}$
(2) $\boldsymbol{3a}$，$\boldsymbol{2b}$，$\boldsymbol{9a^2-4b^2}$
2. $\boldsymbol{a^2 - b^2}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于平方差公式的基础应用类题目，核心是识别公式的结构特征，找准“相同项”和“相反项”，是平方差公式相关内容的入门训练，可为后续利用平方差公式进行因式分解夯实基础。
【难度系数】
0.9
类比探究：
1. 计算：$16x^2 = (\_\_\_\_\_\_)^2$，$0.49n^6 = (\_\_\_\_\_\_)^2$，$\frac{9}{16}a^4b^2 = (\_\_\_\_\_\_)^2$。
2. $100^2 - 97^2 = (\_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_)(\_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_) = \_\_\_\_\_\_$。
3. 因式分解：
(1) $x^2 - y^2 = \_\_\_\_\_\_$；
(2) $x^2 - 1 = \_\_\_\_\_\_$；
(3) $a^2 - 16 = \_\_\_\_\_\_$；
(4) $9x^2 - 25 = \_\_\_\_\_\_$。
新知生成：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的________。即$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
1. 计算：$16x^2 = (\_\_\_\_\_\_)^2$，$0.49n^6 = (\_\_\_\_\_\_)^2$，$\frac{9}{16}a^4b^2 = (\_\_\_\_\_\_)^2$。
2. $100^2 - 97^2 = (\_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_)(\_\_\_\_\_\_ - \_\_\_\_\_\_) = \_\_\_\_\_\_$。
3. 因式分解：
(1) $x^2 - y^2 = \_\_\_\_\_\_$；
(2) $x^2 - 1 = \_\_\_\_\_\_$；
(3) $a^2 - 16 = \_\_\_\_\_\_$；
(4) $9x^2 - 25 = \_\_\_\_\_\_$。
新知生成：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的________。即$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
答案
1. ±4x ±0.7n³ ±$\frac{3}{4}a^2b$
2. 100 97 100 97 591
3. (1) $(x+y)(x-y)$
(2) $(x+1)(x-1)$
(3) $(a+4)(a-4)$
(4) $(3x+5)(3x-5)$
新知生成 积
2. 100 97 100 97 591
3. (1) $(x+y)(x-y)$
(2) $(x+1)(x-1)$
(3) $(a+4)(a-4)$
(4) $(3x+5)(3x-5)$
新知生成 积
解析
【分析】
1. 对于求某式的平方等于给定单项式的问题，需分别处理系数和字母部分：系数求平方根（正数的平方根有两个，互为相反数，故带±号），字母部分的指数除以2即可得到平方前的指数，再结合积的乘方法则就能得到结果。
2. 第2小题考查平方差公式的直接应用，先识别出两个平方项的底数分别为100和97，代入平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，再计算乘积得到结果。
3. 因式分解的4个小问均符合平方差公式的结构特征，只需将原式变形为$a^2-b^2$的形式，找到对应$a、b$后代入公式即可。
4. 新知生成部分直接根据平方差公式的文字描述填空即可。
【解析】
1. 计算：
$16x^2=(\pm4)^2· x^2=(\pm4x)^2$
$0.49n^6=(\pm0.7)^2·(n^3)^2=(\pm0.7n^3)^2$
$\frac{9}{16}a^4b^2=(\pm\frac{3}{4})^2·(a^2)^2· b^2=(\pm\frac{3}{4}a^2b)^2$
2. 运用平方差公式：
$100^2 - 97^2=(100+97)(100-97)=197×3=591$
3. 因式分解（均用平方差公式）：
(1) $x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$
(2) $x^2 - 1=x^2 - 1^2=(x+1)(x-1)$
(3) $a^2 - 16=a^2 - 4^2=(a+4)(a-4)$
(4) $9x^2 - 25=(3x)^2 - 5^2=(3x+5)(3x-5)$
新知生成：根据平方差公式的含义，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。
【答案】
1. $\pm4x$；$\pm0.7n^3$；$\pm\frac{3}{4}a^2b$
2. $100$；$97$；$100$；$97$；$591$
3. (1) $(x+y)(x-y)$
(2) $(x+1)(x-1)$
(3) $(a+4)(a-4)$
(4) $(3x+5)(3x-5)$
新知生成：积
【知识点】
平方根的计算；平方差公式；因式分解-公式法
【点评】
本题是平方差公式的基础探究题，从正向计算、逆用计算到因式分解应用，逐步引导学生掌握平方差公式的结构特征，熟记公式并能准确识别公式中的$a、b$是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1. 对于求某式的平方等于给定单项式的问题，需分别处理系数和字母部分：系数求平方根（正数的平方根有两个，互为相反数，故带±号），字母部分的指数除以2即可得到平方前的指数，再结合积的乘方法则就能得到结果。
2. 第2小题考查平方差公式的直接应用，先识别出两个平方项的底数分别为100和97，代入平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，再计算乘积得到结果。
3. 因式分解的4个小问均符合平方差公式的结构特征，只需将原式变形为$a^2-b^2$的形式，找到对应$a、b$后代入公式即可。
4. 新知生成部分直接根据平方差公式的文字描述填空即可。
【解析】
1. 计算：
$16x^2=(\pm4)^2· x^2=(\pm4x)^2$
$0.49n^6=(\pm0.7)^2·(n^3)^2=(\pm0.7n^3)^2$
$\frac{9}{16}a^4b^2=(\pm\frac{3}{4})^2·(a^2)^2· b^2=(\pm\frac{3}{4}a^2b)^2$
2. 运用平方差公式：
$100^2 - 97^2=(100+97)(100-97)=197×3=591$
3. 因式分解（均用平方差公式）：
(1) $x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$
(2) $x^2 - 1=x^2 - 1^2=(x+1)(x-1)$
(3) $a^2 - 16=a^2 - 4^2=(a+4)(a-4)$
(4) $9x^2 - 25=(3x)^2 - 5^2=(3x+5)(3x-5)$
新知生成：根据平方差公式的含义，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。
【答案】
1. $\pm4x$；$\pm0.7n^3$；$\pm\frac{3}{4}a^2b$
2. $100$；$97$；$100$；$97$；$591$
3. (1) $(x+y)(x-y)$
(2) $(x+1)(x-1)$
(3) $(a+4)(a-4)$
(4) $(3x+5)(3x-5)$
新知生成：积
【知识点】
平方根的计算；平方差公式；因式分解-公式法
【点评】
本题是平方差公式的基础探究题，从正向计算、逆用计算到因式分解应用，逐步引导学生掌握平方差公式的结构特征，熟记公式并能准确识别公式中的$a、b$是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1. 下列多项式中，可以用平方差公式进行因式分解的是（
A.$x^2 + 4y^2$
B.$-9x^2 - y^2$
C.$4x - y^2$
D.$-16x^2 + 25y^2$
D
）A.$x^2 + 4y^2$
B.$-9x^2 - y^2$
C.$4x - y^2$
D.$-16x^2 + 25y^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要牢记平方差公式因式分解的结构特征：平方差公式为$\boldsymbol{a^2 - b^2=(a+b)(a-b)}$，能用其因式分解的多项式必须满足三个条件：①是二项式；②两项都能写成某个整式的平方形式；③两项符号相反。接下来只需按这三个条件逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$x^2 + 4y^2$是二项式，两项都是平方形式，但两项符号均为正，不符合“符号相反”的要求，排除；
B选项：$-9x^2 - y^2$可变形为$-(9x^2 + y^2)$，括号内两项符号相同，不符合要求，排除；
C选项：$4x - y^2$中第一项$4x$不是整式的平方形式（$x$的次数为1），不符合要求，排除；
D选项：$-16x^2 + 25y^2$可变形为$25y^2 - 16x^2=(5y)^2 - (4x)^2$，完全符合平方差公式的结构特征，可以用平方差公式因式分解。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解；整式的平方运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对平方差公式因式分解适用条件的掌握，牢记公式的结构特征，逐项排查就能快速得出答案，需注意不要混淆两项的符号、漏看项的次数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要牢记平方差公式因式分解的结构特征：平方差公式为$\boldsymbol{a^2 - b^2=(a+b)(a-b)}$，能用其因式分解的多项式必须满足三个条件：①是二项式；②两项都能写成某个整式的平方形式；③两项符号相反。接下来只需按这三个条件逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$x^2 + 4y^2$是二项式，两项都是平方形式，但两项符号均为正，不符合“符号相反”的要求，排除；
B选项：$-9x^2 - y^2$可变形为$-(9x^2 + y^2)$，括号内两项符号相同，不符合要求，排除；
C选项：$4x - y^2$中第一项$4x$不是整式的平方形式（$x$的次数为1），不符合要求，排除；
D选项：$-16x^2 + 25y^2$可变形为$25y^2 - 16x^2=(5y)^2 - (4x)^2$，完全符合平方差公式的结构特征，可以用平方差公式因式分解。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解；整式的平方运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对平方差公式因式分解适用条件的掌握，牢记公式的结构特征，逐项排查就能快速得出答案，需注意不要混淆两项的符号、漏看项的次数。
【难度系数】
0.8
2. 已知$x^2 -16=(x -a)(x +a)$，那么a等于（
A.16
B.$\pm4$
C.4
D.$\pm2$
B
）A.16
B.$\pm4$
C.4
D.$\pm2$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先观察等式左边的式子，符合平方差公式的结构特征，因此第一步先利用平方差公式对左边的多项式进行因式分解，再将分解后的结果与等式右边的式子进行对应，注意平方等于16的数有两个互为相反数的值，不要漏解即可求出a的取值。
【解析】
根据平方差公式：$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$，对等式左边因式分解：
$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$
已知$x^2 -16=(x -a)(x +a)$，因此可得：
$(x - a)(x + a) = (x - 4)(x + 4) = (x - (-4))(x + (-4))$
对比可知$a = 4$或$a = -4$，即$a = \pm4$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题属于基础题，重点考查平方差公式的应用，解题时需注意一个正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察等式左边的式子，符合平方差公式的结构特征，因此第一步先利用平方差公式对左边的多项式进行因式分解，再将分解后的结果与等式右边的式子进行对应，注意平方等于16的数有两个互为相反数的值，不要漏解即可求出a的取值。
【解析】
根据平方差公式：$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$，对等式左边因式分解：
$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$
已知$x^2 -16=(x -a)(x +a)$，因此可得：
$(x - a)(x + a) = (x - 4)(x + 4) = (x - (-4))(x + (-4))$
对比可知$a = 4$或$a = -4$，即$a = \pm4$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题属于基础题，重点考查平方差公式的应用，解题时需注意一个正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏解。
【难度系数】
0.7
任务二
利用平方差公式因式分解的应用
阅读材料，完成下列探究。
如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔。
探究1：求图中阴影部分的面积。（用含a，b的式子表示）
探究2：用因式分解计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积。
利用平方差公式因式分解的应用
阅读材料，完成下列探究。
如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔。
探究1：求图中阴影部分的面积。（用含a，b的式子表示）
探究2：用因式分解计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积。
答案
探究1 解：$2a · a - 2b^2 = 2(a^2 - b^2)$。
探究2 解：当$a=15.7$，$b=4.3$时，
阴影部分的面积为$2(a^2 - b^2)=2(a + b)(a - b)=2 × (15.7 + 4.3) × (15.7 - 4.3)=456$。
探究2 解：当$a=15.7$，$b=4.3$时，
阴影部分的面积为$2(a^2 - b^2)=2(a + b)(a - b)=2 × (15.7 + 4.3) × (15.7 - 4.3)=456$。
解析
【分析】
探究1求阴影面积可采用割补法：阴影部分面积等于大长方形的总面积减去两个空白正方形的面积，先分别计算大长方形和两个小正方形的面积，再作差化简即可得到结果。探究2为了简化计算，可利用平方差公式先对探究1得到的代数式因式分解，再代入数值计算，避免直接计算平方，降低计算复杂度。
【解析】
探究1
解：大长方形的面积为长×宽，即$2a·a=2a^2$；
两个边长为$b$的正方形的总面积为$2× b^2=2b^2$；
因此阴影部分面积 = 大长方形面积 - 两个空白正方形面积，即$2a^2 - 2b^2=2(a^2-b^2)$。
探究2
解：利用平方差公式对$2(a^2-b^2)$因式分解，可得$2(a^2-b^2)=2(a+b)(a-b)$。
将$a=15.7$，$b=4.3$代入式子：
$\begin{aligned}原式&=2×(15.7+4.3)×(15.7-4.3)\\&=2×20×11.4\\&=40×11.4\\&=456\end{aligned}$
【答案】
探究1：$2(a^2-b^2)$；探究2：$456$
【知识点】
面积计算，平方差公式因式分解，代数式求值
【点评】
本题结合了几何面积计算和代数因式分解的知识，既考查了用割补法求解不规则图形面积的方法，也体现了因式分解在简化数值计算中的实用价值，能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
探究1求阴影面积可采用割补法：阴影部分面积等于大长方形的总面积减去两个空白正方形的面积，先分别计算大长方形和两个小正方形的面积，再作差化简即可得到结果。探究2为了简化计算，可利用平方差公式先对探究1得到的代数式因式分解，再代入数值计算，避免直接计算平方，降低计算复杂度。
【解析】
探究1
解：大长方形的面积为长×宽，即$2a·a=2a^2$；
两个边长为$b$的正方形的总面积为$2× b^2=2b^2$；
因此阴影部分面积 = 大长方形面积 - 两个空白正方形面积，即$2a^2 - 2b^2=2(a^2-b^2)$。
探究2
解：利用平方差公式对$2(a^2-b^2)$因式分解，可得$2(a^2-b^2)=2(a+b)(a-b)$。
将$a=15.7$，$b=4.3$代入式子：
$\begin{aligned}原式&=2×(15.7+4.3)×(15.7-4.3)\\&=2×20×11.4\\&=40×11.4\\&=456\end{aligned}$
【答案】
探究1：$2(a^2-b^2)$；探究2：$456$
【知识点】
面积计算，平方差公式因式分解，代数式求值
【点评】
本题结合了几何面积计算和代数因式分解的知识，既考查了用割补法求解不规则图形面积的方法，也体现了因式分解在简化数值计算中的实用价值，能有效减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
