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1. 社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间。现有A，B两间阅览室可供选择，工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数(单位：人)，数据如下：
A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50；
B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80。
|阅览室|平均数|众数|中位数|方差|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|A|a|
|48|58.01|
|B|49.5|b|c|332.25|
(1)上述表中，$a=$
(2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数$m_{25}=40$，$m_{50}=48$，$m_{75}=48$，并绘制了箱线图(如图)，求B阅览室预约人数的四分位数，并补全箱线图；
(3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明理由。
A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50；
B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80。
|阅览室|平均数|众数|中位数|方差|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|A|a|
|48|58.01||B|49.5|b|c|332.25|
(1)上述表中，$a=$
43.3
，$b=$40和25
，$c=$47.5
；(2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数$m_{25}=40$，$m_{50}=48$，$m_{75}=48$，并绘制了箱线图(如图)，求B阅览室预约人数的四分位数，并补全箱线图；
(3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明理由。
答案
1. (1)43.3 40和25 47.5
(2)B阅览室的 $m_{25}=35$，$m_{50}=47.5$，$m_{75}=65$，补全箱线图略。
(3)社区应该挑选 A 阅览室。理由如下：
因为 A 阅览室的中位数大于 B 阅览室，且方差比 B 阅览室小，更稳定，所以社区应该挑选 A 阅览室。
(2)B阅览室的 $m_{25}=35$，$m_{50}=47.5$，$m_{75}=65$，补全箱线图略。
(3)社区应该挑选 A 阅览室。理由如下：
因为 A 阅览室的中位数大于 B 阅览室，且方差比 B 阅览室小，更稳定，所以社区应该挑选 A 阅览室。
解析
【分析】
(1) 第一问考查平均数、众数、中位数的基础定义，解题时先根据平均数公式计算A阅览室的平均人数a，再找出B阅览室中出现次数最多的数得到众数b，最后对B阅览室数据排序后取中间两个数的平均值得到中位数c；(2) 第二问考查四分位数的计算，先将B阅览室数据从小到大排序，再根据四分位数的位置规则确定各分位数对应的数据即可；(3) 第三问考查统计量的实际应用，结合方差反映的稳定性、中位数反映的整体水平两个角度分析即可得出结论。
【解析】
(1) 计算a：A阅览室10周预约人数总和为$28+30+40+45+48×5+50=433$，因此平均数$a=433÷10=43.3$；
B阅览室数据中，25和40均出现2次，出现次数最多，因此众数$b=25$和$40$；
将B阅览室数据从小到大排序为：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$c=(40+55)÷2=47.5$。
(2) B阅览室排序后数据为：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80，共10个数据：
25%分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为第3个数据，因此$m_{25}=35$；
50%分位数即中位数，因此$m_{50}=47.5$；
75%分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为第8个数据，因此$m_{75}=65$；
补全箱线图按照上述三个分位数、最大值最小值绘制即可，过程略。
(3) 选择A阅览室，理由：A阅览室预约人数的方差为58.01，远小于B阅览室的332.25，说明A阅览室预约人数波动更小，更稳定；且A的中位数48高于B的中位数47.5，整体预约人数水平较好，因此选A阅览室。
【答案】
(1) $\boxed{43.3}$，$\boxed{40和25}$，$\boxed{47.5}$
(2) B阅览室$m_{25}=\boxed{35}$，$m_{50}=\boxed{47.5}$，$m_{75}=\boxed{65}$，补全箱线图略。
(3) 应该挑选$\boxed{A}$阅览室，理由：A阅览室预约人数中位数高于B阅览室，且方差远小于B阅览室，预约人数更稳定。
【知识点】
统计量计算，方差的意义，四分位数计算
【点评】
本题结合社区选阅览室的生活场景，考查了统计中各类特征量的计算与实际应用，既要求学生掌握基础统计量的计算方法，也要求学生能结合数据特征分析实际问题，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问考查平均数、众数、中位数的基础定义，解题时先根据平均数公式计算A阅览室的平均人数a，再找出B阅览室中出现次数最多的数得到众数b，最后对B阅览室数据排序后取中间两个数的平均值得到中位数c；(2) 第二问考查四分位数的计算，先将B阅览室数据从小到大排序，再根据四分位数的位置规则确定各分位数对应的数据即可；(3) 第三问考查统计量的实际应用，结合方差反映的稳定性、中位数反映的整体水平两个角度分析即可得出结论。
【解析】
(1) 计算a：A阅览室10周预约人数总和为$28+30+40+45+48×5+50=433$，因此平均数$a=433÷10=43.3$；
B阅览室数据中，25和40均出现2次，出现次数最多，因此众数$b=25$和$40$；
将B阅览室数据从小到大排序为：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$c=(40+55)÷2=47.5$。
(2) B阅览室排序后数据为：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80，共10个数据：
25%分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为第3个数据，因此$m_{25}=35$；
50%分位数即中位数，因此$m_{50}=47.5$；
75%分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为第8个数据，因此$m_{75}=65$；
补全箱线图按照上述三个分位数、最大值最小值绘制即可，过程略。
(3) 选择A阅览室，理由：A阅览室预约人数的方差为58.01，远小于B阅览室的332.25，说明A阅览室预约人数波动更小，更稳定；且A的中位数48高于B的中位数47.5，整体预约人数水平较好，因此选A阅览室。
【答案】
(1) $\boxed{43.3}$，$\boxed{40和25}$，$\boxed{47.5}$
(2) B阅览室$m_{25}=\boxed{35}$，$m_{50}=\boxed{47.5}$，$m_{75}=\boxed{65}$，补全箱线图略。
(3) 应该挑选$\boxed{A}$阅览室，理由：A阅览室预约人数中位数高于B阅览室，且方差远小于B阅览室，预约人数更稳定。
【知识点】
统计量计算，方差的意义，四分位数计算
【点评】
本题结合社区选阅览室的生活场景，考查了统计中各类特征量的计算与实际应用，既要求学生掌握基础统计量的计算方法，也要求学生能结合数据特征分析实际问题，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
2. 为弘扬中华民族传统优秀文化，培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为100 g。
甲、乙两名同学各包了5个粽子，每个粽子的质量(单位：g)如下：
甲：103，99，100，101，97；
乙：99，103，105，95，98。
甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是
甲、乙两名同学各包了5个粽子，每个粽子的质量(单位：g)如下：
甲：103，99，100，101，97；
乙：99，103，105，95，98。
甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是
甲
。(填“甲”或“乙”)答案
2. 甲
解析
【分析】
要判断哪名同学包的粽子质量更稳定，实际是比较两组数据的波动大小。统计中，方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，数据的波动越小、越稳定。因此解题思路为：先分别计算甲、乙两组数据的平均数，再根据方差公式计算两组数据的方差，最后比较方差大小即可得出结论。
【解析】
首先计算两组数据的平均数：
甲的平均数$\overline{x}_甲=\frac{103+99+100+101+97}{5}=\frac{500}{5}=100(\mathrm{g})$
乙的平均数$\overline{x}_乙=\frac{99+103+105+95+98}{5}=\frac{500}{5}=100(\mathrm{g})$
再根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$S^2_甲=\frac{1}{5}[(103-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(101-100)^2+(97-100)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+1+0+1+9)=\frac{20}{5}=4$
$S^2_乙=\frac{1}{5}[(99-100)^2+(103-100)^2+(105-100)^2+(95-100)^2+(98-100)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+9+25+25+4)=\frac{64}{5}=12.8$
因为$4＜12.8$，即$S^2_甲＜S^2_乙$，说明甲包的粽子质量波动更小，更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
1. 方差的意义
2. 方差的计算
【点评】
本题考查方差在实际问题中的应用，解题核心是理解"方差越小，数据稳定性越强"的性质，熟练掌握方差的计算步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断哪名同学包的粽子质量更稳定，实际是比较两组数据的波动大小。统计中，方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，数据的波动越小、越稳定。因此解题思路为：先分别计算甲、乙两组数据的平均数，再根据方差公式计算两组数据的方差，最后比较方差大小即可得出结论。
【解析】
首先计算两组数据的平均数：
甲的平均数$\overline{x}_甲=\frac{103+99+100+101+97}{5}=\frac{500}{5}=100(\mathrm{g})$
乙的平均数$\overline{x}_乙=\frac{99+103+105+95+98}{5}=\frac{500}{5}=100(\mathrm{g})$
再根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$S^2_甲=\frac{1}{5}[(103-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(101-100)^2+(97-100)^2]$
$=\frac{1}{5}×(9+1+0+1+9)=\frac{20}{5}=4$
$S^2_乙=\frac{1}{5}[(99-100)^2+(103-100)^2+(105-100)^2+(95-100)^2+(98-100)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+9+25+25+4)=\frac{64}{5}=12.8$
因为$4＜12.8$，即$S^2_甲＜S^2_乙$，说明甲包的粽子质量波动更小，更稳定。
【答案】
甲
【知识点】
1. 方差的意义
2. 方差的计算
【点评】
本题考查方差在实际问题中的应用，解题核心是理解"方差越小，数据稳定性越强"的性质，熟练掌握方差的计算步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 某班50名同学参加了以“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖。关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数。其中，与被遮盖的数据无关的是
③
。（填序号）答案
3. ③
解析
【分析】
解题时首先计算出已统计的人数总和，求出被遮盖部分的总人数，再分别结合平均数、方差、众数的定义，判断三个统计量是否会受被遮盖数据的影响：
1. 众数是一组数据中出现次数最多的数，先观察已有的各成绩人数，判断人数最多的成绩是否会被被遮盖的人数超过；
2. 平均数是所有数据的和除以总人数，总人数固定，但被遮盖的成绩和人数未知，总分数不确定，因此平均数会变化；
3. 方差与平均数、每个数据的取值都有关，因此也会随被遮盖数据变化。
【解析】
首先计算已统计的人数之和：$1+2+3+5+7+7+10+12=47$（人），已知总人数为50人，因此成绩为91分、92分的总人数为$50-47=3$（人）。
① 平均数：总分数为各成绩乘对应人数的和，91、92分的人数未知，总分数无法确定，因此平均数与被遮盖的数据有关；
② 方差：方差反映数据的波动程度，其计算和平均数、每个数据的取值都相关，因此方差与被遮盖的数据有关；
③ 众数：现有数据中100分的人数为12人，是所有成绩中人数最多的，就算被遮盖的3人都为同一成绩，最多也只有3人，远小于12，因此众数固定为100，与被遮盖的数据无关。
综上，与被遮盖数据无关的是③。
【答案】
③
【知识点】
众数；平均数；方差
【点评】
本题考查三个常见统计量的概念理解，解题的核心是先求出被遮盖部分的总人数，再结合各统计量的定义逐一判断，熟练掌握统计量的含义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先计算出已统计的人数总和，求出被遮盖部分的总人数，再分别结合平均数、方差、众数的定义，判断三个统计量是否会受被遮盖数据的影响：
1. 众数是一组数据中出现次数最多的数，先观察已有的各成绩人数，判断人数最多的成绩是否会被被遮盖的人数超过；
2. 平均数是所有数据的和除以总人数，总人数固定，但被遮盖的成绩和人数未知，总分数不确定，因此平均数会变化；
3. 方差与平均数、每个数据的取值都有关，因此也会随被遮盖数据变化。
【解析】
首先计算已统计的人数之和：$1+2+3+5+7+7+10+12=47$（人），已知总人数为50人，因此成绩为91分、92分的总人数为$50-47=3$（人）。
① 平均数：总分数为各成绩乘对应人数的和，91、92分的人数未知，总分数无法确定，因此平均数与被遮盖的数据有关；
② 方差：方差反映数据的波动程度，其计算和平均数、每个数据的取值都相关，因此方差与被遮盖的数据有关；
③ 众数：现有数据中100分的人数为12人，是所有成绩中人数最多的，就算被遮盖的3人都为同一成绩，最多也只有3人，远小于12，因此众数固定为100，与被遮盖的数据无关。
综上，与被遮盖数据无关的是③。
【答案】
③
【知识点】
众数；平均数；方差
【点评】
本题考查三个常见统计量的概念理解，解题的核心是先求出被遮盖部分的总人数，再结合各统计量的定义逐一判断，熟练掌握统计量的含义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 某生物学习小组为了研究一种药物对A，B两种植物的生长作用，将两种植物各随机抽取5株进行研究，在喷洒药物之前对所抽取的植物苗高进行了测量，汇总情况如下：
A种植物的苗高：23 cm，25 cm，23 cm，24 cm，25 cm；
B种植物的苗高：20 cm，22 cm，34 cm，21 cm，23 cm。
(1)分别求出抽取的两种植物苗高的平均数和方差；
(2)你认为该药物对哪种植物的生长作用效果更稳定？请你结合(1)中所求的统计量说明理由。
A种植物的苗高：23 cm，25 cm，23 cm，24 cm，25 cm；
B种植物的苗高：20 cm，22 cm，34 cm，21 cm，23 cm。
(1)分别求出抽取的两种植物苗高的平均数和方差；
(2)你认为该药物对哪种植物的生长作用效果更稳定？请你结合(1)中所求的统计量说明理由。
答案
4. (1)A种植物：平均数为 24，方差为 0.8；
B种植物：平均数为 24，方差为 26。
(2)对 A 种植物的生长作用效果更稳定。理由如下： $\because s_A^2=0.8＜s_B^2=26$，
$\therefore$ 对 A 种植物的生长作用效果更稳定。
B种植物：平均数为 24，方差为 26。
(2)对 A 种植物的生长作用效果更稳定。理由如下： $\because s_A^2=0.8＜s_B^2=26$，
$\therefore$ 对 A 种植物的生长作用效果更稳定。
解析
【分析】
解决第(1)问时，我们按照平均数、方差的定义公式计算即可：平均数是所有数据总和除以数据个数，方差是每个数据与平均数的差的平方的平均数。解决第(2)问时，依据方差的意义判断即可：方差越小，数据的波动越小，稳定性越强，对比两种植物的方差大小就能得出结论。
【解析】
(1) 计算A种植物苗高的平均数和方差：
$\overline{x}_A=\frac{23+25+23+24+25}{5}=24$
$s_A^2=\frac{1}{5}[(23-24)^2+(25-24)^2+(23-24)^2+(24-24)^2+(25-24)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+1+0+1)=0.8$
计算B种植物苗高的平均数和方差：
$\overline{x}_B=\frac{20+22+34+21+23}{5}=24$
$s_B^2=\frac{1}{5}[(20-24)^2+(22-24)^2+(34-24)^2+(21-24)^2+(23-24)^2]$
$=\frac{1}{5}×(16+4+100+9+1)=26$
(2) 药物对A种植物生长作用效果更稳定，理由：方差反映数据的波动程度，方差越小数据越稳定，已知$s_A^2=0.8＜s_B^2=26$，说明A种植物苗高波动更小，因此药物对A种植物的生长作用效果更稳定。
【答案】
(1)A种植物：平均数为24，方差为0.8；B种植物：平均数为24，方差为26。
(2)对A种植物的生长作用效果更稳定，理由：$\because s_A^2=0.8＜s_B^2=26$，$\therefore$对A种植物的生长作用效果更稳定。
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题是统计基础应用题，既考查了平均数、方差的计算能力，也考查了统计量的实际应用能力，掌握相关公式和统计量的实际含义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，我们按照平均数、方差的定义公式计算即可：平均数是所有数据总和除以数据个数，方差是每个数据与平均数的差的平方的平均数。解决第(2)问时，依据方差的意义判断即可：方差越小，数据的波动越小，稳定性越强，对比两种植物的方差大小就能得出结论。
【解析】
(1) 计算A种植物苗高的平均数和方差：
$\overline{x}_A=\frac{23+25+23+24+25}{5}=24$
$s_A^2=\frac{1}{5}[(23-24)^2+(25-24)^2+(23-24)^2+(24-24)^2+(25-24)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+1+1+0+1)=0.8$
计算B种植物苗高的平均数和方差：
$\overline{x}_B=\frac{20+22+34+21+23}{5}=24$
$s_B^2=\frac{1}{5}[(20-24)^2+(22-24)^2+(34-24)^2+(21-24)^2+(23-24)^2]$
$=\frac{1}{5}×(16+4+100+9+1)=26$
(2) 药物对A种植物生长作用效果更稳定，理由：方差反映数据的波动程度，方差越小数据越稳定，已知$s_A^2=0.8＜s_B^2=26$，说明A种植物苗高波动更小，因此药物对A种植物的生长作用效果更稳定。
【答案】
(1)A种植物：平均数为24，方差为0.8；B种植物：平均数为24，方差为26。
(2)对A种植物的生长作用效果更稳定，理由：$\because s_A^2=0.8＜s_B^2=26$，$\therefore$对A种植物的生长作用效果更稳定。
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题是统计基础应用题，既考查了平均数、方差的计算能力，也考查了统计量的实际应用能力，掌握相关公式和统计量的实际含义是解题的关键。
【难度系数】
0.8
