登录
回顾复习：(1)计算。
$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=$，$\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=$。
(2)同分母分数加减法的法则如何叙述？
$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=$，$\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=$。
(2)同分母分数加减法的法则如何叙述？
答案
(1) $\frac{3}{5}$，$-\frac{1}{5}$
(2) 同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
(2) 同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
解析
【分析】
本题分为计算和法则叙述两部分：(1)观察两个算式中的分数分母均为5，属于同分母分数的加减运算，按照同分母分数加减的运算规则，无需通分，仅对分子做对应加减运算，分母保持不变即可得出结果；(2)直接回忆同分母分数加减法的核心规则进行表述即可。
【解析】
(1) 计算$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}$：
根据同分母分数加法规则，分母不变，分子相加，得：
$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}$
计算$\frac{1}{5}-\frac{2}{5}$：
根据同分母分数减法规则，分母不变，分子相减，得：
$\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\frac{1-2}{5}=-\frac{1}{5}$
(2) 同分母分数加减法的法则为：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
【答案】
(1) $\frac{3}{5}$，$-\frac{1}{5}$
(2) 同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
【知识点】
同分母分数加减法、有理数加减运算、分数运算规则
【点评】
本题属于基础运算类题目，是同分母分式加减法学习的前置铺垫内容，重点考察对同分母分数加减法则的记忆和简单应用，熟练掌握该知识点能为后续分式相关运算的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
本题分为计算和法则叙述两部分：(1)观察两个算式中的分数分母均为5，属于同分母分数的加减运算，按照同分母分数加减的运算规则，无需通分，仅对分子做对应加减运算，分母保持不变即可得出结果；(2)直接回忆同分母分数加减法的核心规则进行表述即可。
【解析】
(1) 计算$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}$：
根据同分母分数加法规则，分母不变，分子相加，得：
$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}$
计算$\frac{1}{5}-\frac{2}{5}$：
根据同分母分数减法规则，分母不变，分子相减，得：
$\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\frac{1-2}{5}=-\frac{1}{5}$
(2) 同分母分数加减法的法则为：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
【答案】
(1) $\frac{3}{5}$，$-\frac{1}{5}$
(2) 同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
【知识点】
同分母分数加减法、有理数加减运算、分数运算规则
【点评】
本题属于基础运算类题目，是同分母分式加减法学习的前置铺垫内容，重点考察对同分母分数加减法则的记忆和简单应用，熟练掌握该知识点能为后续分式相关运算的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
类比探究：(1)你认为下列式子怎么计算？
$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=$，$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=$。
(2)计算：①$\frac{5m}{(2m-n)^2}-\frac{m+2n}{(2m-n)^2}$；
②$\frac{2m-n}{m-n}+\frac{m}{$
$}+\frac{2n}{n-m}$。
$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=$，$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=$。
(2)计算：①$\frac{5m}{(2m-n)^2}-\frac{m+2n}{(2m-n)^2}$；
②$\frac{2m-n}{m-n}+\frac{m}{$
$}+\frac{2n}{n-m}$。答案
(1) $\frac{a+b}{c}$，$\frac{a-b}{c}$
(2) ① 原式$=\frac{2}{2m-n}$
② 原式$=3$
(2) ① 原式$=\frac{2}{2m-n}$
② 原式$=3$
解析
【分析】
本题考查同分母分式的加减法运算，解题思路如下：1. 第(1)问直接回忆同分母分式加减法法则即可解答；2. 第(2)问的①是标准同分母分式减法，按照“分母不变，分子相加减”的法则计算后，对分子化简约分即可；3. 第(2)问的②中第三个分式的分母$n-m$与前两个分式的分母$m-n$互为相反数，先利用符号法则将第三个分式转化为分母为$m-n$的分式，统一分母后再按同分母分式加减法规则计算，最后约分得到结果。
【解析】
(1) 根据同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
可得$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$，$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$。
(2) ① 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$\begin{aligned}原式&=\frac{5m-(m+2n)}{(2m-n)^2}\\&=\frac{5m-m-2n}{(2m-n)^2}\\&=\frac{4m-2n}{(2m-n)^2}\\&=\frac{2(2m-n)}{(2m-n)^2}\\&=\frac{2}{2m-n}\end{aligned}$
② 先统一分母，由$n-m=-(m-n)$可得$\frac{2n}{n-m}=\frac{-2n}{m-n}$，再按同分母分式加法计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2m-n}{m-n}+\frac{m}{m-n}-\frac{2n}{m-n}\\&=\frac{(2m-n)+m-2n}{m-n}\\&=\frac{3m-3n}{m-n}\\&=\frac{3(m-n)}{m-n}\\&=3\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{a+b}{c}$，$\frac{a-b}{c}$
(2) ① $\frac{2}{2m-n}$；② $3$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，分式符号法则
【点评】
本题是同分母分式加减的基础运算题，解题时要注意先统一分母，分子相加减时要注意符号，运算结果需化为最简形式，熟练掌握同分母分式的运算规则是解题核心。
【难度系数】
0.8
本题考查同分母分式的加减法运算，解题思路如下：1. 第(1)问直接回忆同分母分式加减法法则即可解答；2. 第(2)问的①是标准同分母分式减法，按照“分母不变，分子相加减”的法则计算后，对分子化简约分即可；3. 第(2)问的②中第三个分式的分母$n-m$与前两个分式的分母$m-n$互为相反数，先利用符号法则将第三个分式转化为分母为$m-n$的分式，统一分母后再按同分母分式加减法规则计算，最后约分得到结果。
【解析】
(1) 根据同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
可得$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$，$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$。
(2) ① 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$\begin{aligned}原式&=\frac{5m-(m+2n)}{(2m-n)^2}\\&=\frac{5m-m-2n}{(2m-n)^2}\\&=\frac{4m-2n}{(2m-n)^2}\\&=\frac{2(2m-n)}{(2m-n)^2}\\&=\frac{2}{2m-n}\end{aligned}$
② 先统一分母，由$n-m=-(m-n)$可得$\frac{2n}{n-m}=\frac{-2n}{m-n}$，再按同分母分式加法计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2m-n}{m-n}+\frac{m}{m-n}-\frac{2n}{m-n}\\&=\frac{(2m-n)+m-2n}{m-n}\\&=\frac{3m-3n}{m-n}\\&=\frac{3(m-n)}{m-n}\\&=3\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{a+b}{c}$，$\frac{a-b}{c}$
(2) ① $\frac{2}{2m-n}$；② $3$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，分式符号法则
【点评】
本题是同分母分式加减的基础运算题，解题时要注意先统一分母，分子相加减时要注意符号，运算结果需化为最简形式，熟练掌握同分母分式的运算规则是解题核心。
【难度系数】
0.8
新知生成：同分母的分式相加减，分母
用式子表示：
不变
，把分子相加减
。用式子表示：
$\frac{b}{a}\pm\frac{c}{a}=\frac{b\pm c}{a}$
。答案
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示：$\frac{b}{a}\pm\frac{c}{a}=\frac{b\pm c}{a}$
解析
【分析】
这道题考查同分母分式加减法的基本法则，我们可以类比小学学过的同分母分数加减法的规律来理解记忆：同分母分数加减时分母不变，分子相加减，分式和分数的运算规则是相通的，据此就能填出法则内容，再用字母表示出对应的运算关系即可。
【解析】
根据同分母分式加减法的运算法则：同分母的分式相加减，分母保持不变，只把分子进行相加减运算；用字母表示时，设分母为不为0的a，两个分式的分子分别为b、c，可得到运算式子。
【答案】
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示：$\frac{b}{a}\pm\frac{c}{a}=\frac{b\pm c}{a}$
【知识点】
同分母分式加减法法则
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，是分式运算的入门知识点，熟练掌握该法则是学习后续分式相关运算的前提。
【难度系数】
0.9
这道题考查同分母分式加减法的基本法则，我们可以类比小学学过的同分母分数加减法的规律来理解记忆：同分母分数加减时分母不变，分子相加减，分式和分数的运算规则是相通的，据此就能填出法则内容，再用字母表示出对应的运算关系即可。
【解析】
根据同分母分式加减法的运算法则：同分母的分式相加减，分母保持不变，只把分子进行相加减运算；用字母表示时，设分母为不为0的a，两个分式的分子分别为b、c，可得到运算式子。
【答案】
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示：$\frac{b}{a}\pm\frac{c}{a}=\frac{b\pm c}{a}$
【知识点】
同分母分式加减法法则
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，是分式运算的入门知识点，熟练掌握该法则是学习后续分式相关运算的前提。
【难度系数】
0.9
1. 计算$\dfrac{2a - b}{a - b} - \dfrac{a}{a - b}$的结果是 （
A.1
B.$-1$
C.$a + b$
D.$a - b$
A
）A.1
B.$-1$
C.$a + b$
D.$a - b$
答案
1. A
解析
【分析】
本题是同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先回忆同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；然后按照法则合并两个分式的分子，再对分子合并同类项，最后对得到的分式约分，即可得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相减：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(2a - b) - a}{a - b}\\&=\dfrac{2a - b - a}{a - b}\\&=\dfrac{a - b}{a - b}\\&=1\quad (a≠ b)\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查同分母分式的加减规则，运算时要注意分子部分的运算符号，最后结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.9
本题是同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先回忆同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；然后按照法则合并两个分式的分子，再对分子合并同类项，最后对得到的分式约分，即可得到最终结果。
【解析】
根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相减：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(2a - b) - a}{a - b}\\&=\dfrac{2a - b - a}{a - b}\\&=\dfrac{a - b}{a - b}\\&=1\quad (a≠ b)\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查同分母分式的加减规则，运算时要注意分子部分的运算符号，最后结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.9
2. 计算$\frac{y}{2x - y} + \frac{2x}{y - 2x}$的结果是（
A.$-1$
B.$1$
C.$x + y$
D.$2x + y$
A
）A.$-1$
B.$1$
C.$x + y$
D.$2x + y$
答案
2. A
解析
【分析】
首先观察两个分式的分母，可发现2x-y和y-2x互为相反数，我们可以先利用分式的符号法则把两个分式转化为同分母分式，再按照同分母分式加减法的规则计算，最后对结果约分就能得到最终答案。
【解析】
第一步：统一分母
因为$y-2x=-(2x-y)$，所以原式可变形为：
$\frac{y}{2x - y} + \frac{2x}{-(2x-y)}=\frac{y}{2x - y} - \frac{2x}{2x - y}$
第二步：按照同分母分式加减法法则计算
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，可得：
$\frac{y - 2x}{2x - y}$
第三步：约分求结果
对分子提取负号，得：
$\frac{-(2x - y)}{2x - y}$
当$2x-y≠0$时，约去公因式$2x-y$，结果为$-1$。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法，分式符号法则，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题核心是识别出互为相反数的分母，先统一分母再按规则计算，运算过程中要格外注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
首先观察两个分式的分母，可发现2x-y和y-2x互为相反数，我们可以先利用分式的符号法则把两个分式转化为同分母分式，再按照同分母分式加减法的规则计算，最后对结果约分就能得到最终答案。
【解析】
第一步：统一分母
因为$y-2x=-(2x-y)$，所以原式可变形为：
$\frac{y}{2x - y} + \frac{2x}{-(2x-y)}=\frac{y}{2x - y} - \frac{2x}{2x - y}$
第二步：按照同分母分式加减法法则计算
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，可得：
$\frac{y - 2x}{2x - y}$
第三步：约分求结果
对分子提取负号，得：
$\frac{-(2x - y)}{2x - y}$
当$2x-y≠0$时，约去公因式$2x-y$，结果为$-1$。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法，分式符号法则，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，解题核心是识别出互为相反数的分母，先统一分母再按规则计算，运算过程中要格外注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
任务二
利用同分母的分式加减法法则化简求值
阅读材料，完成下列探究。
老师在课上给出这样一道题：已知 $ x = 2027 $，求 $ \frac{x^2 + 2xy + y^2}{5x^2 - 4xy} ÷ \frac{x + y}{5x - 4y} + \frac{x^2 - y}{x} $ 的值。
一部分同学一看题就纳闷了：只给了 $ x $ 的值，不知道 $ y $ 的值，这怎么求呢？一名同学经过化简后立即指出：“此式的值与 $ y $ 的值无关。”
探究1：你觉得这位同学说得对吗？
探究2：请说明理由，并求值。
归纳总结
（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应加括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然容易导致符号上的错误。
（2）分式加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。
利用同分母的分式加减法法则化简求值
阅读材料，完成下列探究。
老师在课上给出这样一道题：已知 $ x = 2027 $，求 $ \frac{x^2 + 2xy + y^2}{5x^2 - 4xy} ÷ \frac{x + y}{5x - 4y} + \frac{x^2 - y}{x} $ 的值。
一部分同学一看题就纳闷了：只给了 $ x $ 的值，不知道 $ y $ 的值，这怎么求呢？一名同学经过化简后立即指出：“此式的值与 $ y $ 的值无关。”
探究1：你觉得这位同学说得对吗？
探究2：请说明理由，并求值。
归纳总结
（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应加括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然容易导致符号上的错误。
（2）分式加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。
答案
探究1：这位同学说得对。
探究2：解：$\frac{x^2 + 2xy + y^2}{5x^2 - 4xy} ÷ \frac{x + y}{5x - 4y} + \frac{x^2 - y}{x} = x+1$，
∴此式的值与 $y$ 的值无关。
∴这位同学说得对。
当 $x=2\ 027$ 时，原式$=2\ 027+1=2\ 028$。
探究2：解：$\frac{x^2 + 2xy + y^2}{5x^2 - 4xy} ÷ \frac{x + y}{5x - 4y} + \frac{x^2 - y}{x} = x+1$，
∴此式的值与 $y$ 的值无关。
∴这位同学说得对。
当 $x=2\ 027$ 时，原式$=2\ 027+1=2\ 028$。
解析
【分析】
遇到此类分式求值题，不要被“未给出y的取值”迷惑，优先按运算规则化简原式：第一步先将分式除法转化为乘法运算，第二步对分子分母因式分解后约分，第三步按同分母分式加减法法则计算，最后观察化简结果是否含有y，就能判断式子的值是否和y有关，再代入x的取值计算即可。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 处理分式除法，除以一个分式等于乘它的倒数：
$\frac{x^2 + 2xy + y^2}{5x^2 - 4xy} ÷ \frac{x + y}{5x - 4y} + \frac{x^2 - y}{x}=\frac{x^2 + 2xy + y^2}{5x^2 - 4xy} × \frac{5x - 4y}{x + y} + \frac{x^2 - y}{x}$
2. 因式分解分子分母并约分：
其中$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，$5x^2-4xy=x(5x-4y)$，代入得：
原式$=\frac{(x+y)^2}{x(5x-4y)} × \frac{5x - 4y}{x + y} + \frac{x^2 - y}{x}=\frac{x+y}{x} + \frac{x^2 - y}{x}$
3. 按同分母分式加减法法则计算，分母不变，分子相加：
原式$=\frac{(x+y)+x^2-y}{x}=\frac{x^2+x}{x}=x+1$
由化简结果可知，最终式子不含y，因此原式的值与y的取值无关，该同学说法正确。
将$x=2027$代入化简结果，得原式$=2027+1=2028$。
【答案】
探究1：这位同学说得对。
探究2：原式化简后为$x+1$，值与$y$无关，当$x=2027$时，原式的值为2028。
【知识点】
分式乘除运算；同分母分式加减法；分式化简求值
【点评】
本题考查分式混合运算的应用，核心要求是熟练掌握分式运算顺序、因式分解方法以及同分母分式的加减规则，解题时切记先化简再判断或求值，不要被题干未给出y的取值干扰。
【难度系数】
0.7
遇到此类分式求值题，不要被“未给出y的取值”迷惑，优先按运算规则化简原式：第一步先将分式除法转化为乘法运算，第二步对分子分母因式分解后约分，第三步按同分母分式加减法法则计算，最后观察化简结果是否含有y，就能判断式子的值是否和y有关，再代入x的取值计算即可。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 处理分式除法，除以一个分式等于乘它的倒数：
$\frac{x^2 + 2xy + y^2}{5x^2 - 4xy} ÷ \frac{x + y}{5x - 4y} + \frac{x^2 - y}{x}=\frac{x^2 + 2xy + y^2}{5x^2 - 4xy} × \frac{5x - 4y}{x + y} + \frac{x^2 - y}{x}$
2. 因式分解分子分母并约分：
其中$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，$5x^2-4xy=x(5x-4y)$，代入得：
原式$=\frac{(x+y)^2}{x(5x-4y)} × \frac{5x - 4y}{x + y} + \frac{x^2 - y}{x}=\frac{x+y}{x} + \frac{x^2 - y}{x}$
3. 按同分母分式加减法法则计算，分母不变，分子相加：
原式$=\frac{(x+y)+x^2-y}{x}=\frac{x^2+x}{x}=x+1$
由化简结果可知，最终式子不含y，因此原式的值与y的取值无关，该同学说法正确。
将$x=2027$代入化简结果，得原式$=2027+1=2028$。
【答案】
探究1：这位同学说得对。
探究2：原式化简后为$x+1$，值与$y$无关，当$x=2027$时，原式的值为2028。
【知识点】
分式乘除运算；同分母分式加减法；分式化简求值
【点评】
本题考查分式混合运算的应用，核心要求是熟练掌握分式运算顺序、因式分解方法以及同分母分式的加减规则，解题时切记先化简再判断或求值，不要被题干未给出y的取值干扰。
【难度系数】
0.7
