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2. 化简 $\dfrac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{1-x}{1+x}$ 的结果为（
A.$\dfrac{x+1}{x-1}$
B.$\dfrac{x-1}{x+1}$
C.$\dfrac{1-x}{1+x}$
D.$\dfrac{1+x}{1-x}$
C
）A.$\dfrac{x+1}{x-1}$
B.$\dfrac{x-1}{x+1}$
C.$\dfrac{1-x}{1+x}$
D.$\dfrac{1+x}{1-x}$
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道分式乘除混合运算的化简题，解题思路如下：首先回忆分式乘除的运算法则，除法运算要先转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数）；接下来对每个分式的分子、分母进行因式分解，方便后续约分；然后按照从左到右的顺序依次计算，约分的时候注意互为相反数的因式（如1-x和x-1）的处理，约分时要注意符号变化，最后得到最简结果对照选项即可。
【解析】
解：根据分式乘除运算法则，先将除法转化为乘法：
原式 $=\dfrac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} × \dfrac{x-1}{x+1} × \dfrac{1-x}{1+x}$
对分子分母因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，代入得：
原式 $=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} × \dfrac{x-1}{x+1} × \dfrac{1-x}{1+x}$
依次约分计算：
前两个分式相乘时，分子的$(x+1)$与分母的$(x+1)$约去，分子的$(x-1)×(x-1)$与分母的$(x-1)^2$约去，前两项的乘积为1，因此：
原式 $=1 × \dfrac{1-x}{1+x}=\dfrac{1-x}{1+x}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时要注意先统一为乘法运算再计算，不能随便改变运算顺序，约分的时候要注意互为相反数的因式的符号问题，避免因符号处理错误丢分。
【难度系数】
0.7
这是一道分式乘除混合运算的化简题，解题思路如下：首先回忆分式乘除的运算法则，除法运算要先转化为乘法运算（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数）；接下来对每个分式的分子、分母进行因式分解，方便后续约分；然后按照从左到右的顺序依次计算，约分的时候注意互为相反数的因式（如1-x和x-1）的处理，约分时要注意符号变化，最后得到最简结果对照选项即可。
【解析】
解：根据分式乘除运算法则，先将除法转化为乘法：
原式 $=\dfrac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} × \dfrac{x-1}{x+1} × \dfrac{1-x}{1+x}$
对分子分母因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，代入得：
原式 $=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} × \dfrac{x-1}{x+1} × \dfrac{1-x}{1+x}$
依次约分计算：
前两个分式相乘时，分子的$(x+1)$与分母的$(x+1)$约去，分子的$(x-1)×(x-1)$与分母的$(x-1)^2$约去，前两项的乘积为1，因此：
原式 $=1 × \dfrac{1-x}{1+x}=\dfrac{1-x}{1+x}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时要注意先统一为乘法运算再计算，不能随便改变运算顺序，约分的时候要注意互为相反数的因式的符号问题，避免因符号处理错误丢分。
【难度系数】
0.7
3. 计算：$\frac{x^2 -9y^2}{x^2 +2xy +y^2} ÷ \frac{x-3y}{x+y}$。
答案
解：原式=$\frac{(x+3y)(x-3y)}{(x+y)^2} · \frac{x+y}{x-3y} = \frac{x+3y}{x+y}$。
解析
【分析】
本题是分式的除法运算，解题思路如下：第一步，根据分式除法的运算法则，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；第二步，对分子、分母中的多项式进行因式分解，其中$x^2-9y^2$符合平方差公式，$x^2+2xy+y^2$符合完全平方公式，分别分解即可；第三步，约去分子和分母中的公因式，得到最简结果。
【解析】
首先将除法转化为乘法：
原式=$\frac{x^2 -9y^2}{x^2 +2xy +y^2} × \frac{x+y}{x-3y}$
对分子分母因式分解：
$x^2-9y^2=(x+3y)(x-3y)$，$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，代入得：
原式=$\frac{(x+3y)(x-3y)}{(x+y)^2} · \frac{x+y}{x-3y}$
约去公因式$(x-3y)$和$(x+y)$（$x+y≠0$且$x-3y≠0$），得：
原式=$\frac{x+3y}{x+y}$
【答案】
$\frac{x+3y}{x+y}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握分式除法的运算法则，以及平方差、完全平方等因式分解的常用方法，运算时注意先因式分解再约分，确保最终结果为最简分式，同时要留意分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
本题是分式的除法运算，解题思路如下：第一步，根据分式除法的运算法则，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；第二步，对分子、分母中的多项式进行因式分解，其中$x^2-9y^2$符合平方差公式，$x^2+2xy+y^2$符合完全平方公式，分别分解即可；第三步，约去分子和分母中的公因式，得到最简结果。
【解析】
首先将除法转化为乘法：
原式=$\frac{x^2 -9y^2}{x^2 +2xy +y^2} × \frac{x+y}{x-3y}$
对分子分母因式分解：
$x^2-9y^2=(x+3y)(x-3y)$，$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，代入得：
原式=$\frac{(x+3y)(x-3y)}{(x+y)^2} · \frac{x+y}{x-3y}$
约去公因式$(x-3y)$和$(x+y)$（$x+y≠0$且$x-3y≠0$），得：
原式=$\frac{x+3y}{x+y}$
【答案】
$\frac{x+3y}{x+y}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握分式除法的运算法则，以及平方差、完全平方等因式分解的常用方法，运算时注意先因式分解再约分，确保最终结果为最简分式，同时要留意分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
任务二 利用分式的乘除法法则化简求值
阅读材料，完成下列探究。
老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式的化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简。过程如图所示：
探究1：接力中，自己负责的一步出现错误的是
A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁
探究2：请你书写正确的化简过程，并在1，0，2，－2中选择一个合适的数求值。
阅读材料，完成下列探究。
老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式的化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简。过程如图所示：
探究1：接力中，自己负责的一步出现错误的是
D
。A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁
探究2：请你书写正确的化简过程，并在1，0，2，－2中选择一个合适的数求值。
答案
探究1 D
探究2 解：正确的化简过程如下：
$\frac{x^2 -2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x} = \frac{x^2 -2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2} = -\frac{x^2 -2x}{x-1} · \frac{x-1}{x^2} = -\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2} = \frac{2-x}{x}$。
由题意，得$x≠1$且$x≠0$。
当$x=2$时，原式=$\frac{2-x}{x}=0$（或当$x=-2$时，原式=$\frac{2-x}{x}=-2$）。
探究2 解：正确的化简过程如下：
$\frac{x^2 -2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x} = \frac{x^2 -2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2} = -\frac{x^2 -2x}{x-1} · \frac{x-1}{x^2} = -\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2} = \frac{2-x}{x}$。
由题意，得$x≠1$且$x≠0$。
当$x=2$时，原式=$\frac{2-x}{x}=0$（或当$x=-2$时，原式=$\frac{2-x}{x}=-2$）。
解析
【分析】
探究1：要判断哪一步出错，需按照分式乘除法的运算法则，依次核对四人的变形是否正确：①先核对甲：分式除法变乘法，只需将除式分子分母颠倒位置，判断甲是否正确；②再核对乙：将$1-x$变形为$x-1$时，需注意$1-x=-(x-1)$，要添加负号，据此判断乙的正误；③再核对丙：对分子$x^2-2x$因式分解为$x(x-2)$，判断因式分解是否正确即可判断丙的正误；④最后核对丁：结合前面的符号和约分规则，判断最终计算结果是否正确。
探究2：化简时先按照分式除法法则将除法转化为乘法，再处理符号、对分子分母因式分解后约分，最后选择使原分式所有分母和除式都不为0的$x$值代入计算即可。
【解析】
探究1
依次核对每一步运算：
1. 老师给出的原式：$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$
2. 甲的变形：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，得$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，甲的运算正确。
3. 乙的变形：将$\frac{1-x}{x^2}$改为$\frac{x-1}{x^2}$，但$1-x=-(x-1)$，变形后应添加负号，即应为$-\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$，乙未加负号，运算错误。
4. 丙的变形：将分子$x^2-2x$因式分解为$x(x-2)$，得$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$，因式分解正确，丙的运算正确。
5. 丁的结果：正确约分应为：约掉$x-1$，再约掉分子分母的公因式$x$，结合符号得$-\frac{x-2}{x}=\frac{2-x}{x}$，丁得到$\frac{x-2}{2}$，约分和符号都错误，丁的运算错误。
综上，出错的是乙和丁。
探究2
正确化简过程如下：
$\begin{aligned}\frac{x^2 -2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x} &= \frac{x^2 -2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2} \\&= -\frac{x^2 -2x}{x-1} · \frac{x-1}{x^2} \\&= -\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2} \\&= \frac{2-x}{x}\end{aligned}$
要使分式有意义，则分母不为0、除式不为0：$x-1≠0$，$1-x≠0$，$x^2≠0$，即$x≠1$且$x≠0$。
可选$x=2$代入：原式$=\frac{2-2}{2}=0$；或选$x=-2$代入：原式$=\frac{2-(-2)}{-2}=-2$。
【答案】
探究1：$\boxed{D}$
探究2：化简结果为$\frac{2-x}{x}$，当$x=2$时，原式的值为$0$（或当$x=-2$时，原式的值为$-2$）
【知识点】
分式的乘除运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式乘除法的运算法则，特别注意处理$1-x$和$x-1$的变形时不要漏了负号，代入求值前必须先判断$x$的取值是否使原分式有意义，不能盲目代入。
【难度系数】
0.7
探究1：要判断哪一步出错，需按照分式乘除法的运算法则，依次核对四人的变形是否正确：①先核对甲：分式除法变乘法，只需将除式分子分母颠倒位置，判断甲是否正确；②再核对乙：将$1-x$变形为$x-1$时，需注意$1-x=-(x-1)$，要添加负号，据此判断乙的正误；③再核对丙：对分子$x^2-2x$因式分解为$x(x-2)$，判断因式分解是否正确即可判断丙的正误；④最后核对丁：结合前面的符号和约分规则，判断最终计算结果是否正确。
探究2：化简时先按照分式除法法则将除法转化为乘法，再处理符号、对分子分母因式分解后约分，最后选择使原分式所有分母和除式都不为0的$x$值代入计算即可。
【解析】
探究1
依次核对每一步运算：
1. 老师给出的原式：$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$
2. 甲的变形：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，得$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，甲的运算正确。
3. 乙的变形：将$\frac{1-x}{x^2}$改为$\frac{x-1}{x^2}$，但$1-x=-(x-1)$，变形后应添加负号，即应为$-\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$，乙未加负号，运算错误。
4. 丙的变形：将分子$x^2-2x$因式分解为$x(x-2)$，得$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$，因式分解正确，丙的运算正确。
5. 丁的结果：正确约分应为：约掉$x-1$，再约掉分子分母的公因式$x$，结合符号得$-\frac{x-2}{x}=\frac{2-x}{x}$，丁得到$\frac{x-2}{2}$，约分和符号都错误，丁的运算错误。
综上，出错的是乙和丁。
探究2
正确化简过程如下：
$\begin{aligned}\frac{x^2 -2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x} &= \frac{x^2 -2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2} \\&= -\frac{x^2 -2x}{x-1} · \frac{x-1}{x^2} \\&= -\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2} \\&= \frac{2-x}{x}\end{aligned}$
要使分式有意义，则分母不为0、除式不为0：$x-1≠0$，$1-x≠0$，$x^2≠0$，即$x≠1$且$x≠0$。
可选$x=2$代入：原式$=\frac{2-2}{2}=0$；或选$x=-2$代入：原式$=\frac{2-(-2)}{-2}=-2$。
【答案】
探究1：$\boxed{D}$
探究2：化简结果为$\frac{2-x}{x}$，当$x=2$时，原式的值为$0$（或当$x=-2$时，原式的值为$-2$）
【知识点】
分式的乘除运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式乘除法的运算法则，特别注意处理$1-x$和$x-1$的变形时不要漏了负号，代入求值前必须先判断$x$的取值是否使原分式有意义，不能盲目代入。
【难度系数】
0.7
设$M=\dfrac{a^2 -6a +9}{a+2} ÷ \dfrac{a-3}{a^2 -4}$。
(1)化简代数式$M$；
(2)请在$2$，$-2$，$3$，$-3$四个数中，选择一个合适的数代入，求$M$的值。
(1)化简代数式$M$；
(2)请在$2$，$-2$，$3$，$-3$四个数中，选择一个合适的数代入，求$M$的值。
答案
解：(1)$M=\frac{(a-3)^2}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{a-3}$
$=(a-3)(a-2)=a^2 -5a +6$。
(2)由题意，得$a≠±2$且$a≠3$，
当$a=-3$时，$M=(-3)^2 -5×(-3)+6=30$。
$=(a-3)(a-2)=a^2 -5a +6$。
(2)由题意，得$a≠±2$且$a≠3$，
当$a=-3$时，$M=(-3)^2 -5×(-3)+6=30$。
解析
【分析】
(1)化简代数式M时，首先根据分式除法的运算法则，将除法转化为乘法运算；再对分子分母中的多项式进行因式分解，其中$a^2-6a+9$是完全平方式，$a^2-4$是平方差形式，分解后约去分子分母的公因式，最后整理得到最简结果即可。
(2)代入求值前需先保证原分式有意义：分式的分母不能为0，且作为除式的分式的分子不能为0，据此先排除不符合条件的a的取值，再选择合适的数代入化简后的式子计算M的值。
【解析】
(1)将除法转化为乘法，再因式分解约分：
$M=\dfrac{(a-3)^2}{a+2} · \dfrac{(a+2)(a-2)}{a-3}$
约去公因式$(a+2)$和$(a-3)$，得：
$M=(a-3)(a-2)=a^2 -5a +6$
(2)要使原分式有意义，需满足各分母和除式的分子不为0：
即$a+2≠0$，$a^2-4=(a+2)(a-2)≠0$，$a-3≠0$，解得$a≠\pm2$且$a≠3$。
因此在给出的四个数中只能选$a=-3$，代入化简后的式子：
$M=(-3)^2 -5×(-3)+6=9+15+6=30$
【答案】
(1)$M=a^2-5a+6$；(2)选$a=-3$时，$M=30$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题的关键是先确定未知数的取值范围，需保证代入的数使原分式所有分母、除式都有意义，避免直接代入化简后的式子导致错误。
【难度系数】
0.8
(1)化简代数式M时，首先根据分式除法的运算法则，将除法转化为乘法运算；再对分子分母中的多项式进行因式分解，其中$a^2-6a+9$是完全平方式，$a^2-4$是平方差形式，分解后约去分子分母的公因式，最后整理得到最简结果即可。
(2)代入求值前需先保证原分式有意义：分式的分母不能为0，且作为除式的分式的分子不能为0，据此先排除不符合条件的a的取值，再选择合适的数代入化简后的式子计算M的值。
【解析】
(1)将除法转化为乘法，再因式分解约分：
$M=\dfrac{(a-3)^2}{a+2} · \dfrac{(a+2)(a-2)}{a-3}$
约去公因式$(a+2)$和$(a-3)$，得：
$M=(a-3)(a-2)=a^2 -5a +6$
(2)要使原分式有意义，需满足各分母和除式的分子不为0：
即$a+2≠0$，$a^2-4=(a+2)(a-2)≠0$，$a-3≠0$，解得$a≠\pm2$且$a≠3$。
因此在给出的四个数中只能选$a=-3$，代入化简后的式子：
$M=(-3)^2 -5×(-3)+6=9+15+6=30$
【答案】
(1)$M=a^2-5a+6$；(2)选$a=-3$时，$M=30$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题的关键是先确定未知数的取值范围，需保证代入的数使原分式所有分母、除式都有意义，避免直接代入化简后的式子导致错误。
【难度系数】
0.8
