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1. 一艘轮船顺水航行时速度为$a$ km/h，逆水航行时速度为$b$ km/h，则水流速度为(
A.$(a - b)\mathrm{km/h}$
B.$(\dfrac{1}{2}a - b)\mathrm{km/h}$
C.$(\dfrac{a - b}{2})\mathrm{km/h}$
D.$(\dfrac{a + b}{2})\mathrm{km/h}$
C
)。A.$(a - b)\mathrm{km/h}$
B.$(\dfrac{1}{2}a - b)\mathrm{km/h}$
C.$(\dfrac{a - b}{2})\mathrm{km/h}$
D.$(\dfrac{a + b}{2})\mathrm{km/h}$
答案
1. C
解析
【分析】
解题前先明确流水行船问题的核心速度关系：顺水航行速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水航行速度=船在静水中的速度-水流速度。我们可以通过设未知数表示船速和水流速度，列出两个等量关系式，再消去船在静水中的速度，即可推导出水流速度的表达式。
【解析】
设船在静水中的速度为$x$ km/h，水流速度为$y$ km/h。
根据题意可得：
$\begin{cases}x + y = a \quad ① \\x - y = b \quad ②\end{cases}$
用①式减去②式，左边为$(x+y)-(x-y)=2y$，右边为$a - b$，因此：
$2y = a - b$
两边同时除以2，得$y=\dfrac{a - b}{2}$，即水流速度为$\dfrac{a - b}{2}$ km/h。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
流水行船速度关系；二元一次方程组应用；代数式化简
【点评】
本题是流水行船类基础题型，核心是掌握顺水、逆水速度的组成逻辑，通过列等式消去无关量（船的静水速度）即可求解，平时要熟记行程类特殊场景的速度公式。
【难度系数】
0.8
解题前先明确流水行船问题的核心速度关系：顺水航行速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水航行速度=船在静水中的速度-水流速度。我们可以通过设未知数表示船速和水流速度，列出两个等量关系式，再消去船在静水中的速度，即可推导出水流速度的表达式。
【解析】
设船在静水中的速度为$x$ km/h，水流速度为$y$ km/h。
根据题意可得：
$\begin{cases}x + y = a \quad ① \\x - y = b \quad ②\end{cases}$
用①式减去②式，左边为$(x+y)-(x-y)=2y$，右边为$a - b$，因此：
$2y = a - b$
两边同时除以2，得$y=\dfrac{a - b}{2}$，即水流速度为$\dfrac{a - b}{2}$ km/h。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
流水行船速度关系；二元一次方程组应用；代数式化简
【点评】
本题是流水行船类基础题型，核心是掌握顺水、逆水速度的组成逻辑，通过列等式消去无关量（船的静水速度）即可求解，平时要熟记行程类特殊场景的速度公式。
【难度系数】
0.8
2. 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完。大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头。问大、小和尚各有多少人？若设大和尚有$ x $人，小和尚有$ y $人。则下列方程或方程组正确的是(
① $\begin{cases} x + y = 100, \\ \dfrac{1}{3}x + 3y = 100; \end{cases}$
② $\begin{cases} x + y = 100, \\ 3x + \dfrac{1}{3}y = 100; \end{cases}$
③ $3x + \dfrac{1}{3}(100 - x) = 100;$
④ $\dfrac{1}{3}x + 3(100 - x) = 100.$
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
C
).① $\begin{cases} x + y = 100, \\ \dfrac{1}{3}x + 3y = 100; \end{cases}$
② $\begin{cases} x + y = 100, \\ 3x + \dfrac{1}{3}y = 100; \end{cases}$
③ $3x + \dfrac{1}{3}(100 - x) = 100;$
④ $\dfrac{1}{3}x + 3(100 - x) = 100.$
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案
2. C
解析
【分析】
解决这道题的核心是找准两个等量关系：一是和尚总人数为100人，二是馒头总数量为100个。我们先根据设的未知数，分别对应两个等量关系列方程，再判断给出的方程/方程组是否正确即可。首先总人数等量关系：大和尚人数+小和尚人数=100，可得x+y=100；然后馒头等量关系：大和尚分的馒头总数+小和尚分的馒头总数=100，大和尚1人分3个，x人共分3x个，小和尚3人分1个，即1人分$\frac{1}{3}$个，y人共分$\frac{1}{3}y$个，据此就能判断方程组的正确性。如果列一元一次方程，只需要把小和尚人数用(100-x)替换，代入馒头等量关系就能判断一元一次方程的正确性。
【解析】
首先梳理题目中的等量关系：
1. 人数关系：大和尚人数+小和尚人数=100，即$x+y=100$；
2. 馒头关系：大和尚分得的馒头总数+小和尚分得的馒头总数=100，大和尚每人分3个，x个大和尚共分$3x$个；小和尚3人分1个，每个小和尚分$\frac{1}{3}$个，y个小和尚共分$\frac{1}{3}y$个，因此馒头关系可列方程$3x+\frac{1}{3}y=100$。
联立可得二元一次方程组$\begin{cases} x + y = 100, \\ 3x + \dfrac{1}{3}y = 100; \end{cases}$，故②正确，①错误。
若列一元一次方程，由人数关系可知小和尚人数为$(100-x)$人，代入馒头等量关系可得：$3x + \dfrac{1}{3}(100 - x) = 100$，故③正确，④错误。
综上，正确的是②③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 一元一次方程的应用
3. 找等量关系列方程
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查根据实际问题列方程的能力，解题的关键是准确区分大小和尚分得的馒头数量，避免将两者的分配量搞反，只要找准人数和馒头总数两个等量关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是找准两个等量关系：一是和尚总人数为100人，二是馒头总数量为100个。我们先根据设的未知数，分别对应两个等量关系列方程，再判断给出的方程/方程组是否正确即可。首先总人数等量关系：大和尚人数+小和尚人数=100，可得x+y=100；然后馒头等量关系：大和尚分的馒头总数+小和尚分的馒头总数=100，大和尚1人分3个，x人共分3x个，小和尚3人分1个，即1人分$\frac{1}{3}$个，y人共分$\frac{1}{3}y$个，据此就能判断方程组的正确性。如果列一元一次方程，只需要把小和尚人数用(100-x)替换，代入馒头等量关系就能判断一元一次方程的正确性。
【解析】
首先梳理题目中的等量关系：
1. 人数关系：大和尚人数+小和尚人数=100，即$x+y=100$；
2. 馒头关系：大和尚分得的馒头总数+小和尚分得的馒头总数=100，大和尚每人分3个，x个大和尚共分$3x$个；小和尚3人分1个，每个小和尚分$\frac{1}{3}$个，y个小和尚共分$\frac{1}{3}y$个，因此馒头关系可列方程$3x+\frac{1}{3}y=100$。
联立可得二元一次方程组$\begin{cases} x + y = 100, \\ 3x + \dfrac{1}{3}y = 100; \end{cases}$，故②正确，①错误。
若列一元一次方程，由人数关系可知小和尚人数为$(100-x)$人，代入馒头等量关系可得：$3x + \dfrac{1}{3}(100 - x) = 100$，故③正确，④错误。
综上，正确的是②③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 一元一次方程的应用
3. 找等量关系列方程
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查根据实际问题列方程的能力，解题的关键是准确区分大小和尚分得的馒头数量，避免将两者的分配量搞反，只要找准人数和馒头总数两个等量关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
3. 小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下：
时刻 12:00 13:00 14:30
里程表上的数 是一个两位数，数字之和为6 十位与
位数字与12:00时所看到的正好颠倒了 比12:00时看到的两位数中间多了个0
则12:00看到的两位数是(
A.15
B.24
C.33
D.42
时刻 12:00 13:00 14:30
里程表上的数 是一个两位数，数字之和为6 十位与
位数字与12:00时所看到的正好颠倒了 比12:00时看到的两位数中间多了个0则12:00看到的两位数是(
A
).A.15
B.24
C.33
D.42
答案
3. A
解析
【分析】
我们可以通过设未知数表示不同时刻里程表的数字，结合题干条件列方程求解。首先设12:00看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，第一步根据“数字之和为6”可得到第一个等量关系x+y=6；再结合摩托车匀速行驶的特点，不同时间段的行驶速度相等，也就是“路程÷时间=速度”，分别表示出12:00-13:00、13:00-14:30这两个时间段的行驶路程和对应时间，根据速度相等列第二个方程，联立两个方程即可解出x、y的值，得到12:00看到的两位数。也可以直接将选项代入验证，判断是否符合匀速行驶的条件。
【解析】
设12:00看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可得：
1. 由数字之和为6，列方程：$x + y = 6$ ①
2. 12:00里程表读数为$10x+y$，13:00读数为数字颠倒后的两位数$10y+x$，12:00到13:00经过1小时，行驶路程为$(10y+x)-(10x+y)=9y-9x$
3. 14:30读数为中间多0的三位数$100x+y$，13:00到14:30经过1.5小时，行驶路程为$(100x+y)-(10y+x)=99x-9y$
因为车辆匀速行驶，两段路程的速度相等，因此：
$\frac{9y - 9x}{1}=\frac{99x - 9y}{1.5}$
化简方程：两边同时除以9得$\frac{y-x}{1}=\frac{11x - y}{1.5}$
交叉相乘得：$1.5(y - x)=11x - y$
展开整理：$1.5y -1.5x =11x - y$，移项合并得$2.5y=12.5x$，即$y=5x$ ②
将②代入①：$x+5x=6$，解得$x=1$，则$y=5×1=5$
因此12:00看到的两位数是$10×1 +5=15$。
也可代入选项验证：A选项12点看到15，13点看到51，1小时行驶$51-15=36$公里，1.5小时行驶$36×1.5=54$公里，14:30读数为$51+54=105$，正好是15中间加0，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用，数字的代数式表示，匀速行程问题
【点评】
本题属于方程应用的常见题型，解题的核心是正确用代数式表示不同数位组成的多位数，同时抓住匀速行驶时速度不变的特点列等量关系，也可以用代入排除法快速得到答案，锻炼学生的逻辑分析和应用能力。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数表示不同时刻里程表的数字，结合题干条件列方程求解。首先设12:00看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，第一步根据“数字之和为6”可得到第一个等量关系x+y=6；再结合摩托车匀速行驶的特点，不同时间段的行驶速度相等，也就是“路程÷时间=速度”，分别表示出12:00-13:00、13:00-14:30这两个时间段的行驶路程和对应时间，根据速度相等列第二个方程，联立两个方程即可解出x、y的值，得到12:00看到的两位数。也可以直接将选项代入验证，判断是否符合匀速行驶的条件。
【解析】
设12:00看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可得：
1. 由数字之和为6，列方程：$x + y = 6$ ①
2. 12:00里程表读数为$10x+y$，13:00读数为数字颠倒后的两位数$10y+x$，12:00到13:00经过1小时，行驶路程为$(10y+x)-(10x+y)=9y-9x$
3. 14:30读数为中间多0的三位数$100x+y$，13:00到14:30经过1.5小时，行驶路程为$(100x+y)-(10y+x)=99x-9y$
因为车辆匀速行驶，两段路程的速度相等，因此：
$\frac{9y - 9x}{1}=\frac{99x - 9y}{1.5}$
化简方程：两边同时除以9得$\frac{y-x}{1}=\frac{11x - y}{1.5}$
交叉相乘得：$1.5(y - x)=11x - y$
展开整理：$1.5y -1.5x =11x - y$，移项合并得$2.5y=12.5x$，即$y=5x$ ②
将②代入①：$x+5x=6$，解得$x=1$，则$y=5×1=5$
因此12:00看到的两位数是$10×1 +5=15$。
也可代入选项验证：A选项12点看到15，13点看到51，1小时行驶$51-15=36$公里，1.5小时行驶$36×1.5=54$公里，14:30读数为$51+54=105$，正好是15中间加0，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用，数字的代数式表示，匀速行程问题
【点评】
本题属于方程应用的常见题型，解题的核心是正确用代数式表示不同数位组成的多位数，同时抓住匀速行驶时速度不变的特点列等量关系，也可以用代入排除法快速得到答案，锻炼学生的逻辑分析和应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 小明去商店买东西，下面是他与售货员阿姨的对话：“我买这种牙膏3支，这种牙刷5把.”“一共15元6角.”付款后，小明说：“阿姨，这支牙膏我不要了，换一把牙刷吧！”“还需找你2元.”从他们的对话中你能知道牙刷、牙膏的单价分别是
1.2
元和3.2
元.答案
4. 1.2 3.2
解析
【分析】
这是一道生活购物类的应用题，解题核心是从对话中提取两个等量关系。首先统一单位，将15元6角换算为15.6元。第一个等量关系：3支牙膏的总费用+5把牙刷的总费用=15.6元；第二个等量关系：1支牙膏换成1把牙刷可退回2元，说明1支牙膏的单价比1把牙刷的单价多2元。接下来我们设牙刷、牙膏的单价为未知数，根据等量关系列二元一次方程组，用代入消元法求解即可得到单价。
【解析】
首先统一单位：15元6角=15.6元。
设牙刷的单价为$x$元，牙膏的单价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 3y = 15.6 \\ y - x = 2 \end{cases}$
由第二个方程可得$y=x+2$，将其代入第一个方程：
$5x + 3(x+2) = 15.6$
展开计算：$5x + 3x + 6 = 15.6$
合并同类项得：$8x = 9.6$
解得：$x=1.2$
将$x=1.2$代入$y=x+2$，得$y=1.2+2=3.2$
【答案】
1.2；3.2
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法
【点评】
本题结合实际购物场景出题，解题关键是准确读懂对话内容，提取隐藏的等量关系建立方程组，计算量小，细心审题即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
这是一道生活购物类的应用题，解题核心是从对话中提取两个等量关系。首先统一单位，将15元6角换算为15.6元。第一个等量关系：3支牙膏的总费用+5把牙刷的总费用=15.6元；第二个等量关系：1支牙膏换成1把牙刷可退回2元，说明1支牙膏的单价比1把牙刷的单价多2元。接下来我们设牙刷、牙膏的单价为未知数，根据等量关系列二元一次方程组，用代入消元法求解即可得到单价。
【解析】
首先统一单位：15元6角=15.6元。
设牙刷的单价为$x$元，牙膏的单价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 3y = 15.6 \\ y - x = 2 \end{cases}$
由第二个方程可得$y=x+2$，将其代入第一个方程：
$5x + 3(x+2) = 15.6$
展开计算：$5x + 3x + 6 = 15.6$
合并同类项得：$8x = 9.6$
解得：$x=1.2$
将$x=1.2$代入$y=x+2$，得$y=1.2+2=3.2$
【答案】
1.2；3.2
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法
【点评】
本题结合实际购物场景出题，解题关键是准确读懂对话内容，提取隐藏的等量关系建立方程组，计算量小，细心审题即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
5. 如图所示，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的面积是
675 cm²
.（第5题）答案
5. 675 cm²
解析
【分析】
我们可以通过设未知数、找图形中的等量关系求解本题。首先观察图形可得两个等量关系：一是大长方形的宽为60cm，恰好等于1块小长方形地砖的长与1块小长方形地砖的宽之和；二是小长方形地砖的长等于3块小长方形地砖的宽。我们设小长方形地砖的长、宽分别为x cm、y cm，列出方程组求解得到长和宽后，即可计算单块地砖的面积。
【解析】
设每块长方形地砖的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据图形特征列方程组：
$\begin{cases}x + y = 60 \\x = 3y\end{cases}$
将$x=3y$代入$x+y=60$，得：
$3y + y = 60$
$4y = 60$
解得$y=15$
把$y=15$代入$x=3y$，得$x=3×15=45$
则每块长方形地砖的面积为：$x· y = 45×15 = 675(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$675\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二元一次方程组的应用；长方形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题核心是仔细观察图形，挖掘出隐藏的长与宽的数量关系，再结合方程思想求解，掌握图形分析方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
我们可以通过设未知数、找图形中的等量关系求解本题。首先观察图形可得两个等量关系：一是大长方形的宽为60cm，恰好等于1块小长方形地砖的长与1块小长方形地砖的宽之和；二是小长方形地砖的长等于3块小长方形地砖的宽。我们设小长方形地砖的长、宽分别为x cm、y cm，列出方程组求解得到长和宽后，即可计算单块地砖的面积。
【解析】
设每块长方形地砖的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据图形特征列方程组：
$\begin{cases}x + y = 60 \\x = 3y\end{cases}$
将$x=3y$代入$x+y=60$，得：
$3y + y = 60$
$4y = 60$
解得$y=15$
把$y=15$代入$x=3y$，得$x=3×15=45$
则每块长方形地砖的面积为：$x· y = 45×15 = 675(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$675\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二元一次方程组的应用；长方形面积计算
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题核心是仔细观察图形，挖掘出隐藏的长与宽的数量关系，再结合方程思想求解，掌握图形分析方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
6. 国庆期间，小明去超市购物，恰逢超市“满1400减99元”促销活动，小明准备购置A和B两种货物，已知A和B的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购货物总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额。于是小明又购买了A，B各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元。小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A和B的单价看反了，那么小明实际总共买了
22
件货物。答案
6. 22
解析
【分析】
解题时先明确促销活动的规则：满1400减99，实付1305即可推算出所有商品的原价总和；再通过设未知数表示出看错单价的测算总价、实际购买的原价两个等量关系，将两式相加后提取公因式，得到单价和与购买数量相关的乘积，最后结合单价和的取值范围确定对应因数，即可求出总件数。
【解析】
解：设A货物单价为$a$元，B货物单价为$b$元，最初准备购买A货物$x$件，B货物$y$件。
1. 计算实际购买货物的原价总和：参与促销后实付1305元，对应原价为$1305+99=1404$元。
2. 根据题意列等式：
① 测算时把A、B单价看反，总价为1305元：$\boldsymbol{bx + ay = 1305}$
② 实际购买$(x+1)$件A、$(y+1)$件B，原价为1404元：$a(x+1)+b(y+1)=1404$，展开得：$\boldsymbol{ax + by + a + b = 1404}$
3. 将两个等式相加整理：
$bx + ay + ax + by + a + b = 1305 + 1404$
提取公因式得：$\boldsymbol{(a+b)(x+y+1) = 2709}$
4. 分解因数求取值：$2709=3×3×7×43$，已知$a+b$是100到200之间的整数，可推出符合条件的因数只有$3×43=129$，即$a+b=129$。
5. 计算总件数：
$x+y+1=2709÷129=21$，得$x+y=20$
实际总件数为$(x+1)+(y+1)=x+y+2=20+2=22$
【答案】
22
【知识点】
二元一次方程应用，因数分解，整数解求解
【点评】
本题结合生活促销场景出题，解题核心是梳理两类总价的等量关系，通过两式相加的技巧简化运算，再结合限定条件筛选出符合要求的因数，考验学生的信息提取能力和代数化简思维。
【难度系数】
0.4
解题时先明确促销活动的规则：满1400减99，实付1305即可推算出所有商品的原价总和；再通过设未知数表示出看错单价的测算总价、实际购买的原价两个等量关系，将两式相加后提取公因式，得到单价和与购买数量相关的乘积，最后结合单价和的取值范围确定对应因数，即可求出总件数。
【解析】
解：设A货物单价为$a$元，B货物单价为$b$元，最初准备购买A货物$x$件，B货物$y$件。
1. 计算实际购买货物的原价总和：参与促销后实付1305元，对应原价为$1305+99=1404$元。
2. 根据题意列等式：
① 测算时把A、B单价看反，总价为1305元：$\boldsymbol{bx + ay = 1305}$
② 实际购买$(x+1)$件A、$(y+1)$件B，原价为1404元：$a(x+1)+b(y+1)=1404$，展开得：$\boldsymbol{ax + by + a + b = 1404}$
3. 将两个等式相加整理：
$bx + ay + ax + by + a + b = 1305 + 1404$
提取公因式得：$\boldsymbol{(a+b)(x+y+1) = 2709}$
4. 分解因数求取值：$2709=3×3×7×43$，已知$a+b$是100到200之间的整数，可推出符合条件的因数只有$3×43=129$，即$a+b=129$。
5. 计算总件数：
$x+y+1=2709÷129=21$，得$x+y=20$
实际总件数为$(x+1)+(y+1)=x+y+2=20+2=22$
【答案】
22
【知识点】
二元一次方程应用，因数分解，整数解求解
【点评】
本题结合生活促销场景出题，解题核心是梳理两类总价的等量关系，通过两式相加的技巧简化运算，再结合限定条件筛选出符合要求的因数，考验学生的信息提取能力和代数化简思维。
【难度系数】
0.4
