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1. 计算$(-2)^{2023} + (-2)^{2024}$所得的结果为(
A.$2^{2023}$
B.$(-2)^{2023}$
C.$-2^{2023}$
D.$-2$
A
).A.$2^{2023}$
B.$(-2)^{2023}$
C.$-2^{2023}$
D.$-2$
答案
1. A
解析
【分析】
观察算式可知，两个项的底数均为-2，指数为相邻的2023和2024，属于同底数幂相加的形式。解题时可先逆用同底数幂的乘法法则，把指数较大的$(-2)^{2024}$拆成$(-2)^{2023}×(-2)$，再逆用乘法分配律提取公共的部分$(-2)^{2023}$，最后结合“负数的奇次幂为负、偶次幂为正”的符号规律计算即可。
【解析】
解：$\begin{aligned}&(-2)^{2023} + (-2)^{2024}\\=&(-2)^{2023} + (-2)^{2023} × (-2) \quad \mathrm{（逆用同底数幂乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$）}\\=&(-2)^{2023} × [1 + (-2)] \quad \mathrm{（逆用乘法分配律）}\\=&(-2)^{2023} × (-1)\end{aligned}$
因为2023是奇数，所以$(-2)^{2023}=-2^{2023}$，代入得：
$\begin{aligned}原式&= (-2^{2023}) × (-1)\\&=2^{2023}\end{aligned}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算，乘法分配律，同底数幂乘法
【点评】
本题是乘方运算的简便计算类题目，解题核心是正确拆分高次幂、找准公共的运算项，同时要注意区分负数奇次幂、偶次幂的符号，掌握对应方法后可快速求解。
【难度系数】
0.7
观察算式可知，两个项的底数均为-2，指数为相邻的2023和2024，属于同底数幂相加的形式。解题时可先逆用同底数幂的乘法法则，把指数较大的$(-2)^{2024}$拆成$(-2)^{2023}×(-2)$，再逆用乘法分配律提取公共的部分$(-2)^{2023}$，最后结合“负数的奇次幂为负、偶次幂为正”的符号规律计算即可。
【解析】
解：$\begin{aligned}&(-2)^{2023} + (-2)^{2024}\\=&(-2)^{2023} + (-2)^{2023} × (-2) \quad \mathrm{（逆用同底数幂乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$）}\\=&(-2)^{2023} × [1 + (-2)] \quad \mathrm{（逆用乘法分配律）}\\=&(-2)^{2023} × (-1)\end{aligned}$
因为2023是奇数，所以$(-2)^{2023}=-2^{2023}$，代入得：
$\begin{aligned}原式&= (-2^{2023}) × (-1)\\&=2^{2023}\end{aligned}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算，乘法分配律，同底数幂乘法
【点评】
本题是乘方运算的简便计算类题目，解题核心是正确拆分高次幂、找准公共的运算项，同时要注意区分负数奇次幂、偶次幂的符号，掌握对应方法后可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 当$a＜0$时，下列等式成立的有(
① $a^2=(-a)^2$；② $a^3=-(-a)^3$；③ $a^2=|a^2|$；④ $a^3=|a^3|$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
).① $a^2=(-a)^2$；② $a^3=-(-a)^3$；③ $a^2=|a^2|$；④ $a^3=|a^3|$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. C
解析
【分析】
已知a＜0，我们可以结合有理数乘方的符号规律（负数的偶次幂为正，奇次幂为负）、绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数），逐个判断4个等式是否成立，最后统计成立的个数即可得到答案。也可以代入具体的负数值（比如a=-1）验证，更直观。
【解析】
已知a＜0，逐个分析如下：
① 平方运算的结果具有非负性，互为相反数的两个数平方相等，因此$a^2=(-a)^2$，该等式成立；
② 先计算右边：$-(-a)^3$，因为a＜0，所以$-a＞0$，正数的三次方为正，即$(-a)^3＞0$，因此$-(-a)^3＜0$；左边a是负数，负数的三次方为负，即$a^3＜0$。进一步推导：$(-a)^3=-a^3$，因此$-(-a)^3=-(-a^3)=a^3$，左右两边相等，该等式成立；
③ $a^2$是平方运算的结果，必然是非负数，非负数的绝对值等于它本身，因此$a^2=|a^2|$，该等式成立；
④ a是负数，$a^3＜0$，而绝对值的结果是非负数，即$|a^3|＞0$，负数不可能等于正数，因此该等式不成立。
综上，成立的等式有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
乘方的运算性质；绝对值的化简；负数幂的符号规律
【点评】
本题考查有理数乘方和绝对值的相关性质，解题时既可以通过性质推导判断，也可以代入具体的负数值快速验证，要注意区分负数的奇次幂和偶次幂的符号差异，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
已知a＜0，我们可以结合有理数乘方的符号规律（负数的偶次幂为正，奇次幂为负）、绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数），逐个判断4个等式是否成立，最后统计成立的个数即可得到答案。也可以代入具体的负数值（比如a=-1）验证，更直观。
【解析】
已知a＜0，逐个分析如下：
① 平方运算的结果具有非负性，互为相反数的两个数平方相等，因此$a^2=(-a)^2$，该等式成立；
② 先计算右边：$-(-a)^3$，因为a＜0，所以$-a＞0$，正数的三次方为正，即$(-a)^3＞0$，因此$-(-a)^3＜0$；左边a是负数，负数的三次方为负，即$a^3＜0$。进一步推导：$(-a)^3=-a^3$，因此$-(-a)^3=-(-a^3)=a^3$，左右两边相等，该等式成立；
③ $a^2$是平方运算的结果，必然是非负数，非负数的绝对值等于它本身，因此$a^2=|a^2|$，该等式成立；
④ a是负数，$a^3＜0$，而绝对值的结果是非负数，即$|a^3|＞0$，负数不可能等于正数，因此该等式不成立。
综上，成立的等式有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
乘方的运算性质；绝对值的化简；负数幂的符号规律
【点评】
本题考查有理数乘方和绝对值的相关性质，解题时既可以通过性质推导判断，也可以代入具体的负数值快速验证，要注意区分负数的奇次幂和偶次幂的符号差异，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
3. 在生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约有10%的能量流到下一个营养级. 在$H_1→H_2→H_3→H_4→H_5→H_6$这条生物链中($H_n$表示第$n$个营养级，$n=1,2,3,\dots,6$)，要使$H_6$获得10 kJ的能量，那么需要$H_1$提供的能量约是(
A.$10^4$ kJ
B.$10^5$ kJ
C.$10^6$ kJ
D.$10^7$ kJ
C
).A.$10^4$ kJ
B.$10^5$ kJ
C.$10^6$ kJ
D.$10^7$ kJ
答案
3. C
解析
【分析】
首先明确能量传递规则：每一个营养级的能量只有10%能流入下一个营养级，即下一级能量=上一级能量×10%。现在已知第6营养级H₆的能量，要求第1营养级H₁的能量，我们可以先设H₁的能量为未知数，再根据传递次数推导H₆和H₁的能量关系，列等式计算即可。注意从H₁到H₆一共需要传递5次，不是6次哦。
【解析】
设需要H₁提供的能量为$x$ kJ。
能量传递比例为$10\%=\frac{1}{10}$，从H₁到H₆共经过5次能量传递，因此H₆获得的能量可表示为：
$x × (\frac{1}{10})^5 = 10$
化简得：
$x × \frac{1}{10^5} = 10$
解得：
$x = 10 × 10^5 = 10^6$（kJ）
【答案】
C
【知识点】
乘方的实际应用、百分数计算、列方程解应用题
【点评】
本题结合生态能量传递的场景考查有理数乘方的实际应用，解题的易错点是容易错误计算能量传递次数，需明确相邻两个营养级才完成一次传递，n个营养级共传递n-1次。
【难度系数】
0.7
首先明确能量传递规则：每一个营养级的能量只有10%能流入下一个营养级，即下一级能量=上一级能量×10%。现在已知第6营养级H₆的能量，要求第1营养级H₁的能量，我们可以先设H₁的能量为未知数，再根据传递次数推导H₆和H₁的能量关系，列等式计算即可。注意从H₁到H₆一共需要传递5次，不是6次哦。
【解析】
设需要H₁提供的能量为$x$ kJ。
能量传递比例为$10\%=\frac{1}{10}$，从H₁到H₆共经过5次能量传递，因此H₆获得的能量可表示为：
$x × (\frac{1}{10})^5 = 10$
化简得：
$x × \frac{1}{10^5} = 10$
解得：
$x = 10 × 10^5 = 10^6$（kJ）
【答案】
C
【知识点】
乘方的实际应用、百分数计算、列方程解应用题
【点评】
本题结合生态能量传递的场景考查有理数乘方的实际应用，解题的易错点是容易错误计算能量传递次数，需明确相邻两个营养级才完成一次传递，n个营养级共传递n-1次。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 当$ a = -1 $时，$ a + a^2 + a^3 + \dots + a^{100} = $
4. 当$ a = -1 $时，$ a + a^2 + a^3 + \dots + a^{100} = $
0
。答案
4. 0
解析
【分析】
解题时先明确-1的乘方的符号规律：-1的奇数次幂为-1，偶数次幂为1。观察所求式子，是从a的1次方到a的100次方的和，共100项，我们可以利用加法结合律，将相邻的奇次幂项和偶次幂项分为一组，每组的和都是固定值，再计算总组数即可快速求出结果。
【解析】
解：已知$a=-1$，根据乘方的性质：
$-1$的奇数次幂为$-1$，偶数次幂为$1$，即$a^{2n-1}=-1$，$a^{2n}=1$（$n$为正整数）。
对原式分组可得：
$\begin{aligned}a + a^2 + a^3 + \dots + a^{100}&=(a+a^2)+(a^3+a^4)+\dots+(a^{99}+a^{100})\\&=(-1+1)+(-1+1)+\dots+(-1+1)\\&=0+0+\dots+0\end{aligned}$
总共有$100÷2=50$组，每组的和为0，因此原式结果为$50×0=0$。
【答案】
0
【知识点】
有理数的乘方；有理数的加法运算；加法结合律
【点评】
本题解题核心是掌握-1的乘方的符号规律，通过合理分组将复杂的连加运算简化，避免逐项计算的繁琐，考查了学生观察算式规律、灵活运用运算律简化计算的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确-1的乘方的符号规律：-1的奇数次幂为-1，偶数次幂为1。观察所求式子，是从a的1次方到a的100次方的和，共100项，我们可以利用加法结合律，将相邻的奇次幂项和偶次幂项分为一组，每组的和都是固定值，再计算总组数即可快速求出结果。
【解析】
解：已知$a=-1$，根据乘方的性质：
$-1$的奇数次幂为$-1$，偶数次幂为$1$，即$a^{2n-1}=-1$，$a^{2n}=1$（$n$为正整数）。
对原式分组可得：
$\begin{aligned}a + a^2 + a^3 + \dots + a^{100}&=(a+a^2)+(a^3+a^4)+\dots+(a^{99}+a^{100})\\&=(-1+1)+(-1+1)+\dots+(-1+1)\\&=0+0+\dots+0\end{aligned}$
总共有$100÷2=50$组，每组的和为0，因此原式结果为$50×0=0$。
【答案】
0
【知识点】
有理数的乘方；有理数的加法运算；加法结合律
【点评】
本题解题核心是掌握-1的乘方的符号规律，通过合理分组将复杂的连加运算简化，避免逐项计算的繁琐，考查了学生观察算式规律、灵活运用运算律简化计算的能力。
【难度系数】
0.7
5. 右图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过 30 min 便由 1 个分裂成 2 个. 根据此规律可得：
（1）这样的一个细胞经过第 4 个 30 min 后可分裂成
（2）这样的一个细胞经过 3 h 后可分裂成
（3）这样的一个细胞经过 n h 后可分裂成
（1）这样的一个细胞经过第 4 个 30 min 后可分裂成
16
个细胞；（2）这样的一个细胞经过 3 h 后可分裂成
64
个细胞；（3）这样的一个细胞经过 n h 后可分裂成
$2^{2n}$
个细胞（n 为正整数）.答案
5. (1) 16
(2) 64
(3) $2^{2n}$
(2) 64
(3) $2^{2n}$
解析
【分析】
解决本题的核心是先理清细胞分裂的规律：每经过1个30min，细胞数量就变为原来的2倍，即分裂m次（对应m个30min）后，细胞总数为2的m次方。解题时先根据题干给出的时间换算出对应的分裂次数，再代入规律计算即可：
1. 第(1)问直接给出了是第4个30min，即分裂次数为4，直接计算2的4次方即可；
2. 第(2)问要先把3小时换算为多少个30min，得到分裂次数后再计算乘方；
3. 第(3)问先把n小时换算为2n个30min，得到分裂次数为2n，再写出对应的乘方形式。
【解析】
由题意可知，细胞每经过1个30min分裂1次，每次分裂后数量为原来的2倍，即经过m个30min（分裂m次）后，细胞数量为$\boldsymbol{2^m}$个。
(1) 经过第4个30min时，分裂次数m=4，因此细胞数量为：
$2^4=16$
(2) $3\mathrm{h}=3×60\mathrm{min}=180\mathrm{min}$，包含的30min个数为$180÷30=6$，即分裂次数m=6，因此细胞数量为：
$2^6=64$
(3) n小时包含的30min个数为$n×2=2n$，即分裂次数m=2n，因此细胞数量为：
$2^{2n}$
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{64}$；(3) $\boxed{2^{2n}}$
【知识点】
乘方的应用，规律探究
【点评】
本题是乘方在实际生活中的应用类题目，解题的关键点是准确换算时间对应的分裂次数，理解“每次分裂数量翻倍”对应乘方中底数为2的规律，整体逻辑清晰，只要细心换算时间就可以顺利解答。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是先理清细胞分裂的规律：每经过1个30min，细胞数量就变为原来的2倍，即分裂m次（对应m个30min）后，细胞总数为2的m次方。解题时先根据题干给出的时间换算出对应的分裂次数，再代入规律计算即可：
1. 第(1)问直接给出了是第4个30min，即分裂次数为4，直接计算2的4次方即可；
2. 第(2)问要先把3小时换算为多少个30min，得到分裂次数后再计算乘方；
3. 第(3)问先把n小时换算为2n个30min，得到分裂次数为2n，再写出对应的乘方形式。
【解析】
由题意可知，细胞每经过1个30min分裂1次，每次分裂后数量为原来的2倍，即经过m个30min（分裂m次）后，细胞数量为$\boldsymbol{2^m}$个。
(1) 经过第4个30min时，分裂次数m=4，因此细胞数量为：
$2^4=16$
(2) $3\mathrm{h}=3×60\mathrm{min}=180\mathrm{min}$，包含的30min个数为$180÷30=6$，即分裂次数m=6，因此细胞数量为：
$2^6=64$
(3) n小时包含的30min个数为$n×2=2n$，即分裂次数m=2n，因此细胞数量为：
$2^{2n}$
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{64}$；(3) $\boxed{2^{2n}}$
【知识点】
乘方的应用，规律探究
【点评】
本题是乘方在实际生活中的应用类题目，解题的关键点是准确换算时间对应的分裂次数，理解“每次分裂数量翻倍”对应乘方中底数为2的规律，整体逻辑清晰，只要细心换算时间就可以顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 我们常用的数是十进制数，如$2639 = 2 × 10^{3} + 6 × 10^{2} + 3 × 10^{1} + 9$. 表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9. 在电子计算机中用的是二进制，只要用两个数码：0和1，如二进制中的101等于十进制的5，即$101_{(2)} = 1 × 2^{2} + 0 × 2^{1} + 1$，二进制中的10 111等于十进制的23，即$10\ 111_{(2)} = 1 × 2^{4} + 0 × 2^{3} + 1 × 2^{2} + 1 × 2^{1} + 1$，那么二进制中的1 101等于十进制中的数是
13
.答案
6. 13
解析
【分析】
首先需要读懂题目给出的二进制转十进制的运算规则：二进制数的每个数位上的数字，从右往左依次对应乘2的0次幂、2的1次幂、2的2次幂……最高位对应的幂次等于数位总个数减1，最后把所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。接下来先确定二进制数1101各个数位的数字，再按规则代入计算即可。
【解析】
根据二进制转十进制的规则可得：
$1101_{(2)} = 1 × 2^3 + 1 × 2^2 + 0 × 2^1 + 1 × 2^0$
分别计算每一项：
$2^3=8$，$2^2=4$，$2^1=2$，$2^0=1$
代入计算：
原式$=1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 8+4+0+1=13$
【答案】
13
【知识点】
进制转换，有理数乘方运算，有理数加法运算
【点评】
本题属于新定义运算类题型，解题关键是读懂题目给出的运算规则，将陌生的进制转换问题转化为已学的乘方、加法运算即可解决，侧重考察信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先需要读懂题目给出的二进制转十进制的运算规则：二进制数的每个数位上的数字，从右往左依次对应乘2的0次幂、2的1次幂、2的2次幂……最高位对应的幂次等于数位总个数减1，最后把所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。接下来先确定二进制数1101各个数位的数字，再按规则代入计算即可。
【解析】
根据二进制转十进制的规则可得：
$1101_{(2)} = 1 × 2^3 + 1 × 2^2 + 0 × 2^1 + 1 × 2^0$
分别计算每一项：
$2^3=8$，$2^2=4$，$2^1=2$，$2^0=1$
代入计算：
原式$=1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 8+4+0+1=13$
【答案】
13
【知识点】
进制转换，有理数乘方运算，有理数加法运算
【点评】
本题属于新定义运算类题型，解题关键是读懂题目给出的运算规则，将陌生的进制转换问题转化为已学的乘方、加法运算即可解决，侧重考察信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
三、解答题
7. 计算：
(1) $|-8| + 2^2 + (-3)^2 - (-1)^3$；
(2) $(\dfrac{1}{2})^3 × 9 × 8 - 3 ÷ (-1)^3$。
7. 计算：
(1) $|-8| + 2^2 + (-3)^2 - (-1)^3$；
(2) $(\dfrac{1}{2})^3 × 9 × 8 - 3 ÷ (-1)^3$。
答案
7. (1) 22
(2) 12
(2) 12
解析
【分析】
本题是有理数混合运算计算题，解题思路遵循有理数混合运算的规则：①先处理绝对值、乘方运算，②再计算乘除，③最后计算加减，运算过程中需重点注意符号的变化，比如负数的奇次幂为负、减去负数等于加上对应的正数。
第(1)题先分别计算绝对值、各数的乘方，再按从左到右的顺序计算加减即可；第(2)题先计算乘方，再计算乘除运算，最后计算加减即可。
【解析】
(1) 先分别计算各部分：
$|-8|=8$，$2^2=4$，$(-3)^2=9$，$(-1)^3=-1$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=8 + 4 + 9 - (-1)\\&=8+4+9+1\\&=22\end{aligned}$
(2) 先计算乘方部分：
$(\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{1}{8}$，$(-1)^3=-1$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{8} × 9 × 8 - 3 ÷ (-1)\\&=(\dfrac{1}{8}×8)×9 - (-3)\\&=9 + 3\\&=12\end{aligned}$
【答案】
(1) 22；(2) 12
【知识点】
绝对值化简；有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题属于有理数运算的常规题型，主要考查运算顺序的掌握和符号处理能力，计算时注意优先计算乘方和绝对值，遇到负数运算时多留意符号变化，细心计算即可拿到满分。
【难度系数】
0.8
本题是有理数混合运算计算题，解题思路遵循有理数混合运算的规则：①先处理绝对值、乘方运算，②再计算乘除，③最后计算加减，运算过程中需重点注意符号的变化，比如负数的奇次幂为负、减去负数等于加上对应的正数。
第(1)题先分别计算绝对值、各数的乘方，再按从左到右的顺序计算加减即可；第(2)题先计算乘方，再计算乘除运算，最后计算加减即可。
【解析】
(1) 先分别计算各部分：
$|-8|=8$，$2^2=4$，$(-3)^2=9$，$(-1)^3=-1$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=8 + 4 + 9 - (-1)\\&=8+4+9+1\\&=22\end{aligned}$
(2) 先计算乘方部分：
$(\dfrac{1}{2})^3=\dfrac{1}{8}$，$(-1)^3=-1$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1}{8} × 9 × 8 - 3 ÷ (-1)\\&=(\dfrac{1}{8}×8)×9 - (-3)\\&=9 + 3\\&=12\end{aligned}$
【答案】
(1) 22；(2) 12
【知识点】
绝对值化简；有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题属于有理数运算的常规题型，主要考查运算顺序的掌握和符号处理能力，计算时注意优先计算乘方和绝对值，遇到负数运算时多留意符号变化，细心计算即可拿到满分。
【难度系数】
0.8
