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8. 计算、观察、猜想与应用：
（1）算一算：两组算式$(3×5)^2$与$3^2×5^2$，$[(-2)×3]^2$与$(-2)^2×3^2$，每组两个算式的结果是否相同？
（2）想一想：$(ab)^3$等于什么？
（3）猜一猜：当$n$为正整数时，$(ab)^n$等于什么？
（4）用一用：利用上述结论，求$(-8)^{2028}×(\frac{1}{8})^{2027}$的值。
（1）算一算：两组算式$(3×5)^2$与$3^2×5^2$，$[(-2)×3]^2$与$(-2)^2×3^2$，每组两个算式的结果是否相同？
（2）想一想：$(ab)^3$等于什么？
（3）猜一猜：当$n$为正整数时，$(ab)^n$等于什么？
（4）用一用：利用上述结论，求$(-8)^{2028}×(\frac{1}{8})^{2027}$的值。
答案
8. (1) 相同
(2) $a^3b^3$
(3) $a^nb^n$
(4) 8
(2) $a^3b^3$
(3) $a^nb^n$
(4) 8
解析
【分析】
1. 第(1)问：按照有理数运算顺序，分别计算每组两个算式的结果，直接对比即可判断是否相等，先算括号内乘法再算乘方，或者先算乘方再算乘法均可。
2. 第(2)问：根据乘方的定义，将$(ab)^3$展开为3个$ab$连乘，再用乘法交换律、结合律把相同底数归类相乘，即可推导结果。
3. 第(3)问：把第(2)问的规律推广到任意正整数$n$的情况，同理可得$n$个$ab$连乘的结果，也就是积的乘方通用法则。
4. 第(4)问：逆用积的乘方法则，把指数更高的$(-8)^{2028}$拆分为$(-8)×(-8)^{2027}$，让两个幂的指数相同后，先把底数相乘再算乘方，简化计算。
【解析】
(1) 计算第一组：
$(3×5)^2=15^2=225$，$3^2×5^2=9×25=225$，二者结果相等；
计算第二组：
$[(-2)×3]^2=(-6)^2=36$，$(-2)^2×3^2=4×9=36$，二者结果相等；
因此每组两个算式的结果相同。
(2) 由乘方定义可得：
$(ab)^3=ab×ab×ab=(a×a×a)×(b×b×b)=a^3b^3$
(3) 当$n$为正整数时：
$(ab)^n=\underbrace{ab×ab×\dots×ab}_{n个ab}=(\underbrace{a×a×\dots×a}_{n个a})×(\underbrace{b×b×\dots×b}_{n个b})=a^nb^n$
(4) 逆用上述积的乘方法则计算：
$\begin{aligned}(-8)^{2028}×(\frac{1}{8})^{2027}&=(-8)×(-8)^{2027}×(\frac{1}{8})^{2027}\\&=(-8)×[(-8)×\frac{1}{8}]^{2027}\\&=(-8)×(-1)^{2027}\\&=(-8)×(-1)\\&=8\end{aligned}$
【答案】
(1) 相同
(2) $a^3b^3$
(3) $a^nb^n$
(4) 8
【知识点】
积的乘方法则，有理数乘方运算，幂的运算逆用
【点评】
本题从具体运算切入，引导学生自主归纳积的乘方运算规律，同时考查规律的灵活逆用，能够有效锻炼学生的逻辑推理能力和简便运算能力。
【难度系数】
0.8
1. 第(1)问：按照有理数运算顺序，分别计算每组两个算式的结果，直接对比即可判断是否相等，先算括号内乘法再算乘方，或者先算乘方再算乘法均可。
2. 第(2)问：根据乘方的定义，将$(ab)^3$展开为3个$ab$连乘，再用乘法交换律、结合律把相同底数归类相乘，即可推导结果。
3. 第(3)问：把第(2)问的规律推广到任意正整数$n$的情况，同理可得$n$个$ab$连乘的结果，也就是积的乘方通用法则。
4. 第(4)问：逆用积的乘方法则，把指数更高的$(-8)^{2028}$拆分为$(-8)×(-8)^{2027}$，让两个幂的指数相同后，先把底数相乘再算乘方，简化计算。
【解析】
(1) 计算第一组：
$(3×5)^2=15^2=225$，$3^2×5^2=9×25=225$，二者结果相等；
计算第二组：
$[(-2)×3]^2=(-6)^2=36$，$(-2)^2×3^2=4×9=36$，二者结果相等；
因此每组两个算式的结果相同。
(2) 由乘方定义可得：
$(ab)^3=ab×ab×ab=(a×a×a)×(b×b×b)=a^3b^3$
(3) 当$n$为正整数时：
$(ab)^n=\underbrace{ab×ab×\dots×ab}_{n个ab}=(\underbrace{a×a×\dots×a}_{n个a})×(\underbrace{b×b×\dots×b}_{n个b})=a^nb^n$
(4) 逆用上述积的乘方法则计算：
$\begin{aligned}(-8)^{2028}×(\frac{1}{8})^{2027}&=(-8)×(-8)^{2027}×(\frac{1}{8})^{2027}\\&=(-8)×[(-8)×\frac{1}{8}]^{2027}\\&=(-8)×(-1)^{2027}\\&=(-8)×(-1)\\&=8\end{aligned}$
【答案】
(1) 相同
(2) $a^3b^3$
(3) $a^nb^n$
(4) 8
【知识点】
积的乘方法则，有理数乘方运算，幂的运算逆用
【点评】
本题从具体运算切入，引导学生自主归纳积的乘方运算规律，同时考查规律的灵活逆用，能够有效锻炼学生的逻辑推理能力和简便运算能力。
【难度系数】
0.8
9. 这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了. 国王问阿基米德：“你要什么奖赏？”阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放1粒米，第二格放2粒，第三格放4粒，第四格放8粒……按这个方法放满整个棋盘就行.”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了. 计算完米粒数后，国王惊呆了.
（1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少粒米（用幂表示）？
（2）求国王输给阿基米德的米粒数（用幂表示）.
（1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少粒米（用幂表示）？
（2）求国王输给阿基米德的米粒数（用幂表示）.
答案
(1) $2^{63}$
(2) $2^{64}-1$
(2) $2^{64}-1$
解析
【分析】
（1）先观察前几格米粒数的规律：第1格1粒=$2^0$，第2格2粒=$2^1$，第3格4粒=$2^2$，第4格8粒=$2^3$，可发现每一格的米粒数都是以2为底的幂，幂的指数比格数小1，据此可直接写出第64格的米粒数。
（2）求总米粒数就是求$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{63}$的和，可通过错位相减法计算：先设总和为S，再给等式两边同乘2，将得到的新等式与原等式相减，消去中间相同的项，即可快速算出结果。
【解析】
（1）观察各格米粒数的规律：
第1格：$1=2^{0}$
第2格：$2=2^{1}$
第3格：$4=2^{2}$
第4格：$8=2^{3}$
……
由此可得，第$n$格的米粒数为$2^{n-1}$
当$n=64$时，第64格的米粒数为$2^{64-1}=2^{63}$
（2）设国王输给阿基米德的总米粒数为$S$，则：
$S=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{63}$ ①
将①式两边同时乘2，得：
$2S=2+2^2+2^3+\dots+2^{63}+2^{64}$ ②
用②式减去①式，左右两边分别相减：
$2S - S = (2+2^2+2^3+\dots+2^{63}+2^{64}) - (1+2+2^2+2^3+\dots+2^{63})$
化简后可得：$S=2^{64}-1$
【答案】
（1）$2^{63}$
（2）$2^{64}-1$
【知识点】
乘方的意义；数字规律探究；错位相减求和
【点评】
本题以经典故事为背景，考查乘方的实际应用，解题的关键是先通过特例找到米粒数和格数的对应规律，求和用到的错位相减法是处理此类同倍数递增数列求和的常用方法，计算时要注意指数的对应关系，避免出现指数多算或者少算的错误。
【难度系数】
0.6
（1）先观察前几格米粒数的规律：第1格1粒=$2^0$，第2格2粒=$2^1$，第3格4粒=$2^2$，第4格8粒=$2^3$，可发现每一格的米粒数都是以2为底的幂，幂的指数比格数小1，据此可直接写出第64格的米粒数。
（2）求总米粒数就是求$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{63}$的和，可通过错位相减法计算：先设总和为S，再给等式两边同乘2，将得到的新等式与原等式相减，消去中间相同的项，即可快速算出结果。
【解析】
（1）观察各格米粒数的规律：
第1格：$1=2^{0}$
第2格：$2=2^{1}$
第3格：$4=2^{2}$
第4格：$8=2^{3}$
……
由此可得，第$n$格的米粒数为$2^{n-1}$
当$n=64$时，第64格的米粒数为$2^{64-1}=2^{63}$
（2）设国王输给阿基米德的总米粒数为$S$，则：
$S=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{63}$ ①
将①式两边同时乘2，得：
$2S=2+2^2+2^3+\dots+2^{63}+2^{64}$ ②
用②式减去①式，左右两边分别相减：
$2S - S = (2+2^2+2^3+\dots+2^{63}+2^{64}) - (1+2+2^2+2^3+\dots+2^{63})$
化简后可得：$S=2^{64}-1$
【答案】
（1）$2^{63}$
（2）$2^{64}-1$
【知识点】
乘方的意义；数字规律探究；错位相减求和
【点评】
本题以经典故事为背景，考查乘方的实际应用，解题的关键是先通过特例找到米粒数和格数的对应规律，求和用到的错位相减法是处理此类同倍数递增数列求和的常用方法，计算时要注意指数的对应关系，避免出现指数多算或者少算的错误。
【难度系数】
0.6
