知识点3）三角形的外角和
三角形的外角和等于.
易错提示
三角形的外角和是指三角形的每个顶点处各取一个外角的和.

360°

【分析】
要解决这道题，首先明确三角形外角和的定义：是三角形每个顶点处各取一个外角的和。我们可以通过两种思路解题：一是利用平角的性质和已学的三角形内角和定理推导计算，二是直接调用三角形外角和的定理结论，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一（推导计算）：
根据平角的定义，三角形每个顶点处的外角与相邻内角的和为180°，因此三个外角加三个内角的总和为：
$3×180°=540°$
又因为三角形的内角和为$180°$，因此三角形外角和为：
$540°-180°=360°$
方法二（定理直接应用）：
根据三角形外角和定理，可直接得出三角形的外角和等于$360°$。
【答案】
$360°$
【知识点】
三角形外角和定理、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对三角形外角和定理的掌握情况，解题时注意区分三角形外角和与内角和的数值，避免混淆。
【难度系数】
0.9

例 如图,在一个三角形花坛的外围走一圈,在每一个拐弯的地方都转了一个角度(∠1,∠2,∠3),那么回到原来位置时(方向与出发时相同),一共转了。
分析:我们将实际问题转化成数学问题:如图,∠1,∠2,∠3是三角形的三个外角,它们的和是多少?由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(或三角形的外角和等于$360°$)得解。
答案:$360°$
方法点拨 将实际问题转化成数学问题。

解：
设该三角形花坛对应的三角形的三个内角分别为∠α、∠β、∠γ。
根据邻补角的定义可得：
∠1 + ∠α = 180°，
∠2 + ∠β = 180°，
∠3 + ∠γ = 180°。
将三个等式左右两边分别相加，得：
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠α + ∠β + ∠γ = 540°。
由三角形内角和定理可知∠α + ∠β + ∠γ = 180°，
代入上式得：∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° - 180° = 360°。
即一共转了$\boldsymbol{360°}$。

【分析】
解题时先将实际场景转化为数学问题：人绕三角形花坛走一圈时拐弯的角度∠1、∠2、∠3恰好是三角形的三个外角，要求总共转的角度，本质就是求三角形三个外角的和。我们可以利用邻补角的性质，先得到每个外角和它相邻的内角相加为180°，将三组邻补角的和相加后，减去三角形的内角和，就能算出三个外角的总度数，也可以直接用三角形外角和定理快速求解。
【解析】
设该三角形花坛对应的三角形的三个内角分别为∠α、∠β、∠γ。
根据邻补角的定义可得：
$∠ 1 + ∠ α = 180°$，
$∠ 2 + ∠ β = 180°$，
$∠ 3 + ∠ \gamma = 180°$。
将三个等式左右两边分别相加，得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + (∠ α + ∠ β + ∠ \gamma) = 540°$。
由三角形内角和定理可知$∠ α + ∠ β + ∠ \gamma = 180°$，
代入上式得：$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 540° - 180° = 360°$。
【答案】
$\boldsymbol{360°}$
【知识点】
三角形外角和定理；三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题是结合生活场景的基础几何题，解题核心是能把实际拐弯的角度对应到三角形的外角，再结合角度相关的定理计算，既考察了基础定理的识记，也考察了将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.8

视野拓展
探究三角形中边与角之间的不等关系
在一个三角形中,不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢?下面是奋进小组的探究过程.
如图①,在$△ ABC$中,已知$AB＞AC$.求证$∠ C＞∠ B$.

证明:如图②,将$△ ABC$折叠,使边$AC$落在$AB$上,点$C$落在$AB$上的点$C'$处,折痕$AD$交$BC$于点$D$,则$∠ AC'D=∠ C$.
$\because \quad ∠ AC'D=\_\_\_\_\_\_+∠ BDC',$
$\therefore \quad ∠ AC'D＞∠ B$.
$\therefore \quad ∠ C＞∠ B$.
类似地,应用这种方法可以证明“在一个三角形中,大角对长边,小角对短边”的问题.
任务一:将上述证明过程的空白部分补充完整.
任务二:上述材料中不论是由边的不等关系推出角的不等关系,还是由角的不等关系推出边的不等关系,都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题,再用三角形的外角的性质或三边关系进而解决,这里主要体现的数学思想是(单选).

A.转化思想
B.方程思想
C.数形结合思想
任务三:根据上述材料得出的结论,判断下列说法正确的有(填序号).
①在$△ ABC$中,$AB＞BC$,则$∠ A＞∠ B$;
②在$△ ABC$中,$AB＞BC＞AC$,$∠ C=89°$,则$△ ABC$是锐角三角形;
③在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,则最长边是$AC$.

任务一:∠B
任务二:A
任务三:②③

【分析】
本题分为三个任务，可逐一梳理思路解题：
1. 任务一：观察图形可知∠AC'D是△BC'D的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可补全空白内容；
2. 任务二：材料中将边角的不等关系，通过折叠转化为已学的外角、全等等量问题解决，符合转化思想的特征，据此即可选择对应选项；
3. 任务三：根据探究得出的“三角形中大边对大角、大角对大边”的结论，逐一判断三个说法的正误：①先确定边对应的角，再根据大边对大角判断；②先确定最长边对应的最大角，根据最大角的类型判断三角形形状；③根据直角三角形中直角对斜边（最长边）的性质判断。
【解析】
任务一
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
观察图形可得，$∠ AC'D$是$△ BC'D$的外角，因此$∠ AC'D = ∠ B + ∠ BDC'$，空白处填$∠ B$。
任务二
材料中将未知的边角不等关系，通过折叠转化为已学的全等、外角性质问题解决，该推导过程体现了转化思想，故选A。
任务三
根据“三角形中，大边对大角，大角对大边”的结论逐一判断：
①在$△ ABC$中，边$AB$对的角是$∠ C$，边$BC$对的角是$∠ A$，若$AB＞BC$，则$∠ C＞∠ A$，故①错误；
②在$△ ABC$中，$AB＞BC＞AC$，则$AB$为最长边，它所对的$∠ C$是最大角，已知$∠ C=89°$为锐角，因此三角形三个内角均为锐角，$△ ABC$是锐角三角形，故②正确；
③在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$是直角，直角所对的边为斜边，是三角形的最长边，因此最长边是$AC$，故③正确。
综上，正确的是②③。
【答案】
任务一：$\boldsymbol{∠B}$；任务二：$\boldsymbol{A}$；任务三：$\boldsymbol{②③}$
【知识点】
三角形外角性质，三角形边角不等关系，直角三角形性质
【点评】
本题围绕三角形边角不等关系的探究展开，结合折叠性质、三角形外角定理考查知识的应用，同时渗透数学思想的辨析，要求学生熟练掌握三角形基础性质，能灵活运用探究结论判断命题正误。
【难度系数】
0.7