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1. 如图,下列关于△ABC的外角的说法正确的是 (
A.∠HBA是△ABC的外角
B.∠HBG是△ABC的外角
C.∠DCE是△ABC的外角
D.∠GBA是△ABC的外角
D
)A.∠HBA是△ABC的外角
B.∠HBG是△ABC的外角
C.∠DCE是△ABC的外角
D.∠GBA是△ABC的外角
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个角是△ABC的外角，首先要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，需同时满足三个条件：顶点是三角形的一个顶点；一条边是三角形的一条边；另一条边是三角形某条边的延长线。我们只需将每个选项的角对照这三个条件逐一验证即可。
【解析】
根据三角形外角的定义逐一分析选项：
A. ∠HBA：边HB不是△ABC任意边的延长线，不满足外角条件，不是△ABC的外角，该选项错误；
B. ∠HBG：顶点B虽然是△ABC的顶点，但HB、BG都不是△ABC的边，不满足外角条件，该选项错误；
C. ∠DCE：顶点C是△ABC的顶点，但CE不是△ABC的边，DC是BC的延长线，两条边没有一条是△ABC除BC外的另一边，不满足外角条件，该选项错误；
D. ∠GBA：顶点B是△ABC的顶点，BA是△ABC的边，BG是△ABC的边BC的反向延长线，完全符合三角形外角的定义，是△ABC的外角，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对三角形外角定义的理解，只要熟记外角的三个判定要素，就能快速准确做出判断。
【难度系数】
0.85
要判断哪个角是△ABC的外角，首先要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，需同时满足三个条件：顶点是三角形的一个顶点；一条边是三角形的一条边；另一条边是三角形某条边的延长线。我们只需将每个选项的角对照这三个条件逐一验证即可。
【解析】
根据三角形外角的定义逐一分析选项：
A. ∠HBA：边HB不是△ABC任意边的延长线，不满足外角条件，不是△ABC的外角，该选项错误；
B. ∠HBG：顶点B虽然是△ABC的顶点，但HB、BG都不是△ABC的边，不满足外角条件，该选项错误；
C. ∠DCE：顶点C是△ABC的顶点，但CE不是△ABC的边，DC是BC的延长线，两条边没有一条是△ABC除BC外的另一边，不满足外角条件，该选项错误；
D. ∠GBA：顶点B是△ABC的顶点，BA是△ABC的边，BG是△ABC的边BC的反向延长线，完全符合三角形外角的定义，是△ABC的外角，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对三角形外角定义的理解，只要熟记外角的三个判定要素，就能快速准确做出判断。
【难度系数】
0.85
2. 如图，直线AB，CD被BC所截，若AB//CD，∠1 = 45°，∠2 = 35°，则∠3 的度数为
80°
.答案
2. 80°
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步，根据AB平行CD的条件，利用平行线内错角相等的性质求出∠C的度数；第二步，观察到∠3是△CDE的外角，根据三角形外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角的度数即可算出∠3的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠1=45°
∴∠C=∠1=45°（两直线平行，内错角相等）
∵∠3是△CDE的外角，∠2=35°
∴∠3=∠C+∠2=45°+35°=80°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
【答案】
80°
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是准确识别平行线截得的相等内错角，正确判断所求角的外角属性，结合对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路分两步：第一步，根据AB平行CD的条件，利用平行线内错角相等的性质求出∠C的度数；第二步，观察到∠3是△CDE的外角，根据三角形外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角的度数即可算出∠3的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠1=45°
∴∠C=∠1=45°（两直线平行，内错角相等）
∵∠3是△CDE的外角，∠2=35°
∴∠3=∠C+∠2=45°+35°=80°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
【答案】
80°
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是准确识别平行线截得的相等内错角，正确判断所求角的外角属性，结合对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则∠5是∠1的（
A.2倍
B.3倍
C.4倍
D.6倍
C
）A.2倍
B.3倍
C.4倍
D.6倍
答案
3. C
解析
【分析】
要推导∠5和∠1的倍数关系，我们可以利用三角形外角的性质逐步转化：首先观察图形，∠3是包含∠1、∠2的小三角形的外角，结合∠1=∠2可先得出∠3与∠1的关系；再看∠5是右侧三角形的外角，结合∠3=∠4，就能进一步推导出∠5和∠1的数量关系。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
1. 首先观察左侧小三角形，∠3是它的外角，因此：
$∠3 = ∠1 + ∠2$
已知$∠1=∠2$，代入得：$∠3 = ∠1 + ∠1 = 2∠1$
2. 由题目给出的$∠3=∠4$，可得$∠4=2∠1$
3. 再观察右侧三角形，∠5是它的外角，因此：
$∠5 = ∠3 + ∠4$
将$∠3=2∠1$、$∠4=2∠1$代入上式，得：
$∠5 = 2∠1 + 2∠1 = 4∠1$
因此∠5是∠1的4倍。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，等量代换，角的和差计算
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题，解题的关键是准确识别图形中的外角，明确外角对应的两个不相邻内角，结合已知的等角条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
要推导∠5和∠1的倍数关系，我们可以利用三角形外角的性质逐步转化：首先观察图形，∠3是包含∠1、∠2的小三角形的外角，结合∠1=∠2可先得出∠3与∠1的关系；再看∠5是右侧三角形的外角，结合∠3=∠4，就能进一步推导出∠5和∠1的数量关系。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
1. 首先观察左侧小三角形，∠3是它的外角，因此：
$∠3 = ∠1 + ∠2$
已知$∠1=∠2$，代入得：$∠3 = ∠1 + ∠1 = 2∠1$
2. 由题目给出的$∠3=∠4$，可得$∠4=2∠1$
3. 再观察右侧三角形，∠5是它的外角，因此：
$∠5 = ∠3 + ∠4$
将$∠3=2∠1$、$∠4=2∠1$代入上式，得：
$∠5 = 2∠1 + 2∠1 = 4∠1$
因此∠5是∠1的4倍。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，等量代换，角的和差计算
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题，解题的关键是准确识别图形中的外角，明确外角对应的两个不相邻内角，结合已知的等角条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
4. 张明一笔画成了如图所示的图形，若∠A=60°,∠B=40°,∠C=30°,则∠D+∠E=（
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
B
）A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
答案
4. B
解析
【分析】
本题可利用三角形外角的性质、对顶角相等以及三角形内角和定理求解。首先找到已知角所在三角形对应的外角，将∠A、∠B、∠C的和转化为与∠D、∠E所在三角形相关的角，再结合三角形内角和为180°建立等式，即可求出∠D+∠E的度数。
【解析】
设AB与CE的交点为F，AB与CD的交点为G。
1. 根据三角形外角的性质，∠BGC是△AGC的外角，因此$∠ BGC = ∠ A + ∠ C = 60° + 30° = 90°$。
2. 在△BFG中，根据三角形内角和为180°，可得$∠ BFG = 180° - ∠ B - ∠ BGF = 180° - 40° - (180° - 90°) = 70°$。
3. ∠BFG与∠DFE是对顶角，因此$∠ DFE = ∠ BFG = 70°$。
4. 在△DEF中，$∠ D + ∠ E = 180° - ∠ DFE = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于三角形角的性质综合应用题，核心是通过外角性质将分散的已知角关联到所求角所在的三角形中，是对基础几何性质应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
本题可利用三角形外角的性质、对顶角相等以及三角形内角和定理求解。首先找到已知角所在三角形对应的外角，将∠A、∠B、∠C的和转化为与∠D、∠E所在三角形相关的角，再结合三角形内角和为180°建立等式，即可求出∠D+∠E的度数。
【解析】
设AB与CE的交点为F，AB与CD的交点为G。
1. 根据三角形外角的性质，∠BGC是△AGC的外角，因此$∠ BGC = ∠ A + ∠ C = 60° + 30° = 90°$。
2. 在△BFG中，根据三角形内角和为180°，可得$∠ BFG = 180° - ∠ B - ∠ BGF = 180° - 40° - (180° - 90°) = 70°$。
3. ∠BFG与∠DFE是对顶角，因此$∠ DFE = ∠ BFG = 70°$。
4. 在△DEF中，$∠ D + ∠ E = 180° - ∠ DFE = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于三角形角的性质综合应用题，核心是通过外角性质将分散的已知角关联到所求角所在的三角形中，是对基础几何性质应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$△ ABC$的外角$∠ CAE$的平分线$AD$交$BC$的延长线于点$D$，$∠ B=35°$，$∠ DAE=60°$，求$∠ ACD$的度数.
答案
5.
∵ AD 是∠CAE 的平分线，∠DAE = 60°,
∴ ∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°.
∴ ∠BAC = 180°−∠CAE = 180°−120°=60°.
∵ ∠ACD 是 △ABC 的一个外角，∠B=35°,
∴ ∠ACD=∠BAC+∠B=60°+35°=95°.
∵ AD 是∠CAE 的平分线，∠DAE = 60°,
∴ ∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°.
∴ ∠BAC = 180°−∠CAE = 180°−120°=60°.
∵ ∠ACD 是 △ABC 的一个外角，∠B=35°,
∴ ∠ACD=∠BAC+∠B=60°+35°=95°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AD是∠CAE的平分线，已知∠DAE的度数，可先根据角平分线的定义求出∠CAE的度数；再根据∠CAE与∠BAC是邻补角、和为180°，求出∠BAC的度数；最后∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入∠B和∠BAC的度数即可求出∠ACD的度数。
【解析】
∵ AD是∠CAE的平分线，∠DAE = 60°，
∴ ∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°，
∵ ∠BAC与∠CAE互为邻补角，
∴ ∠BAC = 180°−∠CAE = 180°−120°=60°，
又
∵ ∠ACD是△ABC的外角，∠B=35°，
∴ ∠ACD=∠BAC+∠B=60°+35°=95°。
【答案】
$95°$
【知识点】
角平分线的定义；邻补角互补；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查角平分线定义和三角形外角性质的综合运用，解题时需理清各个角之间的位置和数量关系，计算过程简单。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先AD是∠CAE的平分线，已知∠DAE的度数，可先根据角平分线的定义求出∠CAE的度数；再根据∠CAE与∠BAC是邻补角、和为180°，求出∠BAC的度数；最后∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入∠B和∠BAC的度数即可求出∠ACD的度数。
【解析】
∵ AD是∠CAE的平分线，∠DAE = 60°，
∴ ∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°，
∵ ∠BAC与∠CAE互为邻补角，
∴ ∠BAC = 180°−∠CAE = 180°−120°=60°，
又
∵ ∠ACD是△ABC的外角，∠B=35°，
∴ ∠ACD=∠BAC+∠B=60°+35°=95°。
【答案】
$95°$
【知识点】
角平分线的定义；邻补角互补；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查角平分线定义和三角形外角性质的综合运用，解题时需理清各个角之间的位置和数量关系，计算过程简单。
【难度系数】
0.8
