9. 如图，AB-AC=2 cm，BC 的垂直平分线交AB于点 D，交 BC 于点 E，△ACD 的周长是14 cm，求 AB 和 AC 的长。

9.
∵ DE 垂直平分 BC，
∴ BD=CD.
∴ △ACD 的周长=AD+AC+CD
=AD+AC+BD
=AB+AC
=14 cm.
解方程组$\begin{cases} AB+AC=14, \\ AB-AC=2, \end{cases}$
得$\begin{cases} AB=8, \\ AC=6. \end{cases}$
∴ AB 的长为 8 cm,AC 的长为 6 cm.

【分析】
解题时首先观察题干条件，看到“BC的垂直平分线”，优先联想线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得BD=CD。接下来分析△ACD的周长，把周长里的CD用相等的线段BD替换，即可将△ACD的周长转化为AB与AC的和，结合已知的△ACD周长为14cm，得到AB+AC=14cm，再联立题干给出的AB-AC=2cm，建立二元一次方程组求解，就能得到AB和AC的长度。
【解析】
∵ DE垂直平分BC，
∴ BD=CD。
∴ △ACD的周长 = AD + AC + CD
= AD + AC + BD
= AB + AC
= 14 cm。
根据题意列方程组：$\begin{cases} AB+AC=14 \\ AB-AC=2 \end{cases}$，
两式相加得2AB=16，解得AB=8，
将AB=8代入AB-AC=2，解得AC=6。
【答案】
AB的长为8 cm，AC的长为6 cm。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算、二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于基础应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质做线段等量转换，把未知三角形周长转化为两条目标线段的和，结合已知线段差建立方程求解，能很好地考查基础性质的灵活应用能力和方程思想。
【难度系数】
0.8

10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C$,点$D$,$E$,$F$分别在边$AB$,$BC$,$AC$上,且$BD=CE$,$BE=CF$. 求证点$E$在线段$DF$的垂直平分线上.

10. 在$△ BDE$ 和$△ CEF$ 中,
$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠ B=∠ C, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CEF$.
∴ $DE=EF$.
∴ 点 E 在线段 DF 的垂直平分线上.

【分析】
要证明点E在线段DF的垂直平分线上，首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此我们只需证明DE=EF即可。观察已知条件，有BD=CE，∠B=∠C，BE=CF，符合全等三角形SAS的判定条件，因此可以先证明△BDE和△CEF全等，再利用全等三角形对应边相等得到DE=EF，最终推导出结论。
【解析】
证明：在$△ BDE$ 和$△ CEF$ 中,
$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠ B=∠ C, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CEF(\mathrm{SAS})$.
$\therefore DE=EF$.
根据线段垂直平分线的判定定理，可得点E在线段DF的垂直平分线上。
【答案】
在$△ BDE$ 和$△ CEF$ 中,
$\begin{cases} BD=CE, \\ ∠ B=∠ C, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CEF$.
∴ $DE=EF$.
∴ 点 E 在线段 DF 的垂直平分线上.
【知识点】
全等三角形的判定（SAS）；全等三角形的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是明确线段垂直平分线的判定条件，通过全等三角形得到边相等的关系，侧重考察基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8

11. 如图, 在$△ ABC$中,边$AB$的垂直平分线$l_1$交$BC$于点$D$,边$AC$的垂直平分线$l_2$交$BC$于点$E$,$l_1$与$l_2$相交于点$O$,连接$AD$,$AE$,$△ ADE$的周长为$12\ \mathrm{cm}$.
(1)求$BC$的长;
(2)试判断点$O$是否在边$BC$的垂直平分线上,并说明理由.

11.(1)
∵ $l_1$ 垂直平分$AB$,$l_2$ 垂直平分$AC$,
∴ $DB=DA$,$EA=EC$.
∵ $△ ADE$ 的周长为 12 cm,
∴ $DA+DE+EA=12$ cm.
∴ $BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=12$ cm.
(2)点 O 在边 BC 的垂直平分线上. 理由如下:
如图,连接 OA,OB,OC.

∵ $l_1$ 垂直平分$AB$,$l_2$ 垂直平分$AC$,
∴ $OB=OA$,$OA=OC$.
∴ $OB=OC$.
∴ 点 O 在边 BC 的垂直平分线上.

【分析】
（1）求解第一问需运用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。已知$l_1$是$AB$的垂直平分线，点$D$在$l_1$上，因此$AD=BD$；$l_2$是$AC$的垂直平分线，点$E$在$l_2$上，因此$AE=CE$。$△ ADE$的周长为$AD+DE+AE$，将$AD$、$AE$等量替换为$BD$、$CE$后，刚好对应$BC$的长度，代入周长数值即可求出$BC$。
（2）求解第二问需运用线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。要判断点$O$是否在$BC$的垂直平分线上，只需证明$OB=OC$即可。连接$OA$、$OB$、$OC$，由点$O$在$l_1$上可得$OB=OA$，点$O$在$l_2$上可得$OA=OC$，通过等量代换得到$OB=OC$，即可得出结论。
【解析】
(1)
∵ $l_1$ 垂直平分$AB$，$l_2$ 垂直平分$AC$，
∴ $DB=DA$，$EA=EC$。
∵ $△ ADE$ 的周长为 12 cm，
∴ $DA+DE+EA=12$ cm。
∴ $BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=12$ cm。
(2) 点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接OA，OB，OC。

∵ $l_1$ 垂直平分$AB$，$l_2$ 垂直平分$AC$，
∴ $OB=OA$，$OA=OC$。
∴ $OB=OC$。
∴ 点O在边BC的垂直平分线上。
【答案】
(1) $BC$的长为$12\ \mathrm{cm}$；
(2) 点O在边BC的垂直平分线上，理由见解析，辅助线图如下：

【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的基础应用题，通过垂直平分线的性质实现线段的等量代换求解边长，再通过垂直平分线的判定判断点的位置，解题时结合图形梳理线段关系即可顺利求解，熟练掌握性质和判定是解题的关键。
【难度系数】
0.8

12. 如图，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上。若PM=2.5 cm，PN=3 cm，MN=4 cm，求线段QR的长.

12.
∵ 点 P,Q 关于 OA 对称,
∴ OA 垂直平分 PQ.
∴ PM=QM.
∵ PM=2.5 cm,
∴ QM=2.5 cm.
∵ MN=4 cm,
∴ QN=MN-QM=4-2.5=1.5(cm).
∵ 点 P,R 关于 OB 对称,
∴ OB 垂直平分 PR.
∴ PN=RN.
∵ PN=3 cm,
∴ RN=3 cm.
∴ QR=QN+RN=1.5+3=4.5(cm).

【分析】
解题时先结合题目给出的“点关于直线对称”的条件，联想到轴对称的性质：对称轴是对称点连线的垂直平分线，而线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此可得到PM=QM、PN=RN两组相等线段。接下来先根据已知的PM、MN的长度求出QN的长度，再结合PN的长度得到RN的长度，最后利用线段和差关系，将QN与RN相加即可得到QR的长度。
【解析】
∵ 点P,Q关于OA对称，
∴ OA垂直平分PQ，
∴ PM=QM，
∵ PM=2.5 cm，
∴ QM=2.5 cm，
∵ MN=4 cm，
∴ QN=MN-QM=4-2.5=1.5(cm)，
∵ 点P,R关于OB对称，
∴ OB垂直平分PR，
∴ PN=RN，
∵ PN=3 cm，
∴ RN=3 cm，
∴ QR=QN+RN=1.5+3=4.5(cm)。
【答案】
4.5 cm
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练运用轴对称和线段垂直平分线的性质，完成已知线段和待求线段之间的长度转化，计算量小，理清线段间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7