问题导引
如图,某地有A,B两个居民小区,它们在一条公路l的同侧.现要在公路旁建一超市方便居民购物,若超市与两个居民小区的距离相等,你能用尺规作图的方法准确找到所建超市的位置吗?

解：
作法：
1. 连接AB；
2. 分别以点A、点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两个交点作直线，得到线段AB的垂直平分线；
3. 线段AB的垂直平分线与直线l的交点，就是所求的超市的位置。

【分析】
要找到同时满足“到A、B两个小区距离相等”和“在公路l上”的超市位置，首先结合线段垂直平分线的性质可知：到线段两个端点距离相等的点都在这条线段的垂直平分线上，因此满足到A、B距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上；又因为超市要建在公路l旁，即所求点在直线l上，因此两个条件的公共解就是线段AB的垂直平分线与直线l的交点，只需按尺规作图要求作出AB的垂直平分线，再取其与l的交点即可。
【解析】
我们按以下步骤作图：
1. 用直尺连接A、B两点，得到线段AB；
2. 分别以点A、点B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在线段AB的两侧各交于一个交点，过这两个交点作直线，该直线就是线段AB的垂直平分线；
3. 上述垂直平分线与直线l的交点，就是符合要求的超市位置，因为该点既在AB的垂直平分线上（到A、B距离相等），又在公路l上，满足题目要求。
【答案】
作法：
1. 连接AB；
2. 分别以点A、点B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两个交点作直线，得到线段AB的垂直平分线；
3. 线段AB的垂直平分线与直线l的交点，就是所求的超市的位置。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作垂直平分线；交轨法作图
【点评】
本题是尺规作图的实际应用问题，核心是将实际需求转化为对应的数学性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质，以及尺规作线段垂直平分线的操作规范，体现了数学解决实际问题的应用价值。
【难度系数】
0.8

例 如图,已知$△ ABC$,$AB＜BC$,用尺规作图的方法在$BC$上取一点$P$,使得$PA+PC=BC$,则下列作法正确的是 ()


分析:要使$PA+PC=BC$,因为$PB+PC=BC$,所以只要满足$PA=PB$即可,所以作$AB$的垂直平分线就可以解决问题.
答案:B
方法点拨 在几何作图问题中,如果确定点的位置,且与线段相等有关,可以考虑通过作线段的垂直平分线来解决.在实际操作中,要准确掌握用尺规作线段垂直平分线的方法.

$\boldsymbol{B}$

【分析】
要在BC上找到满足$PA+PC=BC$的点P，首先观察P在BC上的位置特征：点P将BC分为PB和PC两段，因此恒有$PB+PC=BC$。将这个等式和目标等式$PA+PC=BC$对比，可推出只需满足$PA=PB$即可。根据线段垂直平分线的判定，到A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，因此只要作出AB的垂直平分线，它与BC的交点就是所求的点P，对应选出正确的作图选项即可。
【解析】
∵点P在BC边上，
∴$PB+PC=BC$，
又
∵题目要求$PA+PC=BC$，
∴通过等量代换可得$PA=PB$。
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知点P在AB的垂直平分线上。
因此只需用尺规作出AB的垂直平分线，该线与BC的交点即为符合要求的点P，对应作法正确的是选项B。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
1.线段垂直平分线的判定与性质
2.尺规作线段的垂直平分线
【点评】
本题将线段和的等量关系与线段垂直平分线的性质相结合，考查尺规作图的应用能力，解题核心是通过等量代换将陌生的线段和条件转化为熟悉的线段相等条件，进而关联垂直平分线的相关知识解决问题。
【难度系数】
0.7