登录
1. 如图,两车从南北方向的路段AB的A端出发,分别向东、向西行进相同的路程,到达C,D两地,此时可以判断C,D到B的距离相等,用到的数学道理是
.
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
..
答案
1.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：①AB为南北方向，两车分别向东、向西行进，说明CD为东西方向，南北方向与东西方向互相垂直，因此AB⊥CD；②两车行进路程相同，可得AD=AC。结合以上两个结论可推出AB是线段CD的垂直平分线，点B在垂直平分线AB上，再根据线段垂直平分线的性质即可得出C、D到B的距离相等。
【解析】
由题意可知：
1. 南北方向与东西方向互相垂直，因此AB⊥CD；
2. 两车从A出发向东、向西行进的路程相同，因此AD=AC。
由此可得AB垂直平分线段CD，点B在线段CD的垂直平分线AB上，根据线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，即可得BD=BC，即C、D到B的距离相等。
【答案】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【知识点】
线段垂直平分线的性质；垂直的定义
【点评】
本题结合生活中的方位场景考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是结合方位特征和路程条件推导出AB是CD的垂直平分线，属于基础应用类题目，需要熟练掌握垂直平分线的性质并灵活运用到实际问题中。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：①AB为南北方向，两车分别向东、向西行进，说明CD为东西方向，南北方向与东西方向互相垂直，因此AB⊥CD；②两车行进路程相同，可得AD=AC。结合以上两个结论可推出AB是线段CD的垂直平分线，点B在垂直平分线AB上，再根据线段垂直平分线的性质即可得出C、D到B的距离相等。
【解析】
由题意可知：
1. 南北方向与东西方向互相垂直，因此AB⊥CD；
2. 两车从A出发向东、向西行进的路程相同，因此AD=AC。
由此可得AB垂直平分线段CD，点B在线段CD的垂直平分线AB上，根据线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，即可得BD=BC，即C、D到B的距离相等。
【答案】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【知识点】
线段垂直平分线的性质；垂直的定义
【点评】
本题结合生活中的方位场景考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是结合方位特征和路程条件推导出AB是CD的垂直平分线，属于基础应用类题目，需要熟练掌握垂直平分线的性质并灵活运用到实际问题中。
【难度系数】
0.8
2. 如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,若EC=5 cm,则ED的长为 (
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
D
)A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先提取题目已知条件：AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的点，已知EC=5cm，求ED长度。首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。我们发现点E在CD的垂直平分线AB上，因此E到C、D两个端点的距离相等，即ED=EC，代入已知EC的长度就能得到ED的长度。
【解析】
∵AB是线段CD的垂直平分线，且点E在AB上，
∴根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得ED=EC。
又
∵EC=5cm，
∴ED=5cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，只需准确识记性质即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时先提取题目已知条件：AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的点，已知EC=5cm，求ED长度。首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。我们发现点E在CD的垂直平分线AB上，因此E到C、D两个端点的距离相等，即ED=EC，代入已知EC的长度就能得到ED的长度。
【解析】
∵AB是线段CD的垂直平分线，且点E在AB上，
∴根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得ED=EC。
又
∵EC=5cm，
∴ED=5cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，只需准确识记性质即可快速得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.9
3. 兔子的三个洞口A,B,C构成$△ ABC$,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距离都相等,则猎狗应蹲守在$△ ABC$ (
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三个角的平分线的交点
C
)A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点
D.三个角的平分线的交点
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求：找到△ABC中到三个顶点A、B、C距离都相等的点。我们可以结合学过的线段垂直平分线性质推导：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，到B、C距离相等的点在BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就满足到三个顶点距离相等，该点也是三条边垂直平分线的交点。再逐一辨析其他选项对应的交点性质，排除不符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，故A错误；
B. 三角形三条高的交点是垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，故B错误；
C. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。三角形三条边的垂直平分线的交点，同时在三条边的垂直平分线上，因此到A、B、C三个顶点的距离都相等，符合要求，故C正确；
D. 三角形三个角的平分线的交点是内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点距离相等，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形特殊点特征
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确区分三角形不同特殊线段交点的性质，注意区分“到三个顶点距离相等”和“到三边距离相等”对应的点，牢记相关性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干要求：找到△ABC中到三个顶点A、B、C距离都相等的点。我们可以结合学过的线段垂直平分线性质推导：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，到B、C距离相等的点在BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就满足到三个顶点距离相等，该点也是三条边垂直平分线的交点。再逐一辨析其他选项对应的交点性质，排除不符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，故A错误；
B. 三角形三条高的交点是垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，故B错误；
C. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。三角形三条边的垂直平分线的交点，同时在三条边的垂直平分线上，因此到A、B、C三个顶点的距离都相等，符合要求，故C正确；
D. 三角形三个角的平分线的交点是内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点距离相等，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形特殊点特征
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确区分三角形不同特殊线段交点的性质，注意区分“到三个顶点距离相等”和“到三边距离相等”对应的点，牢记相关性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=70°$,$DE$垂直平分$AC$,交$AC$于点$E$,交$BC$于点$D$,且$∠ BAD:∠ BAC=1:3$,则$∠ C$的度数为
44°
.答案
4.44°
解析
【分析】
解题时首先从已知条件DE垂直平分AC入手，根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD，进而推出∠C=∠DAC；再结合∠BAD:∠BAC=1:3的比例关系，可设未知数列方程，最后利用三角形内角和为180°建立等式求解即可。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AC
∴AD=CD，
∴∠C=∠DAC
设∠BAD=x，由∠BAD:∠BAC=1:3可得∠BAC=3x
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=3x - x=2x，即∠C=2x
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，已知∠B=70°
代入得：$70°+3x+2x=180°$
$5x=110°$，解得$x=22°$
∴∠C=2x=$2×22°=44°$
【答案】
$44°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是典型的角度计算类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质完成等角转化，结合比例设未知数的方法可以简化计算，解题时要熟练运用三角形内角和定理建立等量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件DE垂直平分AC入手，根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD，进而推出∠C=∠DAC；再结合∠BAD:∠BAC=1:3的比例关系，可设未知数列方程，最后利用三角形内角和为180°建立等式求解即可。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AC
∴AD=CD，
∴∠C=∠DAC
设∠BAD=x，由∠BAD:∠BAC=1:3可得∠BAC=3x
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=3x - x=2x，即∠C=2x
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，已知∠B=70°
代入得：$70°+3x+2x=180°$
$5x=110°$，解得$x=22°$
∴∠C=2x=$2×22°=44°$
【答案】
$44°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是典型的角度计算类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质完成等角转化，结合比例设未知数的方法可以简化计算，解题时要熟练运用三角形内角和定理建立等量关系。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,DE是AB的垂直平分线,交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若$△ ABC$的周长为24,$AD=5$,则$△ AEC$的周长为
14
.答案
5.14
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“DE是AB的垂直平分线”入手，回忆线段垂直平分线的性质：一是垂直平分线平分线段，可得到AB的长度；二是垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得AE=BE。再结合△ABC的周长，先求出AC+BC的和，最后将△AEC的周长利用AE=BE做等量代换，转化为AC+BC即可求出结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，AD=5
∴AB=2AD=10，且AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∵△ABC的周长为24，即$AB + BC + AC = 24$
∴$BC + AC = 24 - AB = 24 - 10 = 14$
∵△AEC的周长 = $AE + EC + AC$
将AE替换为BE，可得：
△AEC的周长 = $BE + EC + AC = BC + AC = 14$
【答案】
14
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是通过等量代换将所求周长转化为已知条件可求解的形式，掌握转化思想对解决这类问题十分重要。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“DE是AB的垂直平分线”入手，回忆线段垂直平分线的性质：一是垂直平分线平分线段，可得到AB的长度；二是垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得AE=BE。再结合△ABC的周长，先求出AC+BC的和，最后将△AEC的周长利用AE=BE做等量代换，转化为AC+BC即可求出结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，AD=5
∴AB=2AD=10，且AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∵△ABC的周长为24，即$AB + BC + AC = 24$
∴$BC + AC = 24 - AB = 24 - 10 = 14$
∵△AEC的周长 = $AE + EC + AC$
将AE替换为BE，可得：
△AEC的周长 = $BE + EC + AC = BC + AC = 14$
【答案】
14
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是通过等量代换将所求周长转化为已知条件可求解的形式，掌握转化思想对解决这类问题十分重要。
【难度系数】
0.8
6. 如图，直线$PO$与$AB$交于点$O$，$PA=PB$，则下列结论中正确的是（
A.$AO=BO$
B.$PO⊥ AB$
C.$PO$是$AB$的垂直平分线
D.点$P$在$AB$的垂直平分线上
D
）A.$AO=BO$
B.$PO⊥ AB$
C.$PO$是$AB$的垂直平分线
D.点$P$在$AB$的垂直平分线上
答案
6.D
解析
【分析】
解题思路：首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。再逐一分析选项：已知条件仅给出PA=PB，没有说明PO与AB的位置关系，也没有给出O是AB中点的相关条件，因此无法推导AO=BO、PO⊥AB，也无法判定PO是AB的垂直平分线，只有点P在AB垂直平分线上是可以由已知直接判定的。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知PA=PB，因此点P在AB的垂直平分线上，故D选项正确。
对于其他选项：题目仅给出PA=PB，未说明PO⊥AB，也未证明O是AB的中点，因此无法得到AO=BO、PO⊥AB，A、B选项错误；要判定PO是AB的垂直平分线，需要同时满足PO垂直AB且PO平分AB，现有条件无法证明，因此C选项错误。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题易错点是误将过点P的直线直接当作AB的垂直平分线，解题时要注意：仅知道单个点到线段两端距离相等时，只能判定该点在这条线段的垂直平分线上，不能直接判定过该点的任意直线都是线段的垂直平分线，需同时满足垂直、平分两个条件才能判定直线是垂直平分线。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。再逐一分析选项：已知条件仅给出PA=PB，没有说明PO与AB的位置关系，也没有给出O是AB中点的相关条件，因此无法推导AO=BO、PO⊥AB，也无法判定PO是AB的垂直平分线，只有点P在AB垂直平分线上是可以由已知直接判定的。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知PA=PB，因此点P在AB的垂直平分线上，故D选项正确。
对于其他选项：题目仅给出PA=PB，未说明PO⊥AB，也未证明O是AB的中点，因此无法得到AO=BO、PO⊥AB，A、B选项错误；要判定PO是AB的垂直平分线，需要同时满足PO垂直AB且PO平分AB，现有条件无法证明，因此C选项错误。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定
【点评】
本题易错点是误将过点P的直线直接当作AB的垂直平分线，解题时要注意：仅知道单个点到线段两端距离相等时，只能判定该点在这条线段的垂直平分线上，不能直接判定过该点的任意直线都是线段的垂直平分线，需同时满足垂直、平分两个条件才能判定直线是垂直平分线。
【难度系数】
0.8
7. 下列命题的逆命题成立的是 (
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C.对顶角相等
D.线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
D
)A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C.对顶角相等
D.线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
答案
7.D
解析
【分析】
要判断各选项命题的逆命题是否成立，首先需掌握逆命题的构造方法：将原命题的题设（条件）和结论互换位置，即可得到原命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可。解题时先拆分每个选项原命题的题设和结论，改写得到逆命题后，结合已学的几何、代数性质判断逆命题是否正确即可。
【解析】
首先明确逆命题的定义：若一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题为互逆命题。逐一分析各选项：
选项A：原命题的题设为“两个三角形是全等三角形”，结论为“它们的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”。仅对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定全等，逆命题不成立，故A错误。
选项B：原命题的题设为“两个数相等”，结论为“它们的绝对值相等”，逆命题为“绝对值相等的两个数相等”。例如3和-3的绝对值相等，但两个数不相等，逆命题不成立，故B错误。
选项C：原命题的题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”，逆命题为“相等的角是对顶角”。例如两直线平行时的同位角也相等，但不是对顶角，逆命题不成立，故C错误。
选项D：原命题的题设为“一个点在某线段的垂直平分线上”，结论为“这个点到该线段两个端点的距离相等”，逆命题为“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，这是线段垂直平分线的判定定理，逆命题成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
逆命题的定义；线段垂直平分线的性质与判定；真假命题判断
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查互逆命题的改写与真假辨析，解题关键是准确拆分原命题的条件和结论，同时要熟练区分常见数学性质和对应的判定定理，避免二者混淆。
【难度系数】
0.7
要判断各选项命题的逆命题是否成立，首先需掌握逆命题的构造方法：将原命题的题设（条件）和结论互换位置，即可得到原命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可。解题时先拆分每个选项原命题的题设和结论，改写得到逆命题后，结合已学的几何、代数性质判断逆命题是否正确即可。
【解析】
首先明确逆命题的定义：若一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题为互逆命题。逐一分析各选项：
选项A：原命题的题设为“两个三角形是全等三角形”，结论为“它们的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”。仅对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定全等，逆命题不成立，故A错误。
选项B：原命题的题设为“两个数相等”，结论为“它们的绝对值相等”，逆命题为“绝对值相等的两个数相等”。例如3和-3的绝对值相等，但两个数不相等，逆命题不成立，故B错误。
选项C：原命题的题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”，逆命题为“相等的角是对顶角”。例如两直线平行时的同位角也相等，但不是对顶角，逆命题不成立，故C错误。
选项D：原命题的题设为“一个点在某线段的垂直平分线上”，结论为“这个点到该线段两个端点的距离相等”，逆命题为“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，这是线段垂直平分线的判定定理，逆命题成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
逆命题的定义；线段垂直平分线的性质与判定；真假命题判断
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查互逆命题的改写与真假辨析，解题关键是准确拆分原命题的条件和结论，同时要熟练区分常见数学性质和对应的判定定理，避免二者混淆。
【难度系数】
0.7
8. 下列定理有逆定理的是 (
A.对顶角相等
B.内错角相等,两直线平行
C.全等三角形的对应角相等
D.同角的余角相等
B
)A.对顶角相等
B.内错角相等,两直线平行
C.全等三角形的对应角相等
D.同角的余角相等
答案
8.B
解析
【分析】
要判断一个定理是否存在逆定理，核心思路是：先写出原定理的逆命题，再判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，则原定理有逆定理；若逆命题为假命题，则原定理没有逆定理，接下来我们逐个分析选项即可。
【解析】
判断定理是否有逆定理，需验证其逆命题是否为真命题：
1. 选项A：原命题为“对顶角相等”，逆命题是“相等的角是对顶角”。相等的角不一定是对顶角（例如两直线平行形成的同位角也相等），逆命题为假命题，故A没有逆定理。
2. 选项B：原命题为“内错角相等，两直线平行”，逆命题是“两直线平行，内错角相等”，这是平行线的性质定理，属于真命题，故B有逆定理。
3. 选项C：原命题为“全等三角形的对应角相等”，逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”。仅对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定全等，逆命题为假命题，故C没有逆定理。
4. 选项D：原命题为“同角的余角相等”，逆命题是“相等的角是同一个角的余角”。相等的角也可能是对顶角等，不一定是同一个角的余角，逆命题为假命题，故D没有逆定理。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
逆定理判定；命题与逆命题；真假命题判断
【点评】
本题考查逆定理的相关判断，解题的关键是掌握逆命题的改写方法，以及常见几何定理的性质，做题时要注意区分定理的条件和结论，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
要判断一个定理是否存在逆定理，核心思路是：先写出原定理的逆命题，再判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，则原定理有逆定理；若逆命题为假命题，则原定理没有逆定理，接下来我们逐个分析选项即可。
【解析】
判断定理是否有逆定理，需验证其逆命题是否为真命题：
1. 选项A：原命题为“对顶角相等”，逆命题是“相等的角是对顶角”。相等的角不一定是对顶角（例如两直线平行形成的同位角也相等），逆命题为假命题，故A没有逆定理。
2. 选项B：原命题为“内错角相等，两直线平行”，逆命题是“两直线平行，内错角相等”，这是平行线的性质定理，属于真命题，故B有逆定理。
3. 选项C：原命题为“全等三角形的对应角相等”，逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”。仅对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定全等，逆命题为假命题，故C没有逆定理。
4. 选项D：原命题为“同角的余角相等”，逆命题是“相等的角是同一个角的余角”。相等的角也可能是对顶角等，不一定是同一个角的余角，逆命题为假命题，故D没有逆定理。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
逆定理判定；命题与逆命题；真假命题判断
【点评】
本题考查逆定理的相关判断，解题的关键是掌握逆命题的改写方法，以及常见几何定理的性质，做题时要注意区分定理的条件和结论，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
