例 如图,在$△ ABC$中,$AD$是$△ ABC$的角平分线,$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥ AC$于点$F$,连接$EF$交$AD$于点$G$.
(1)求证$AD$垂直平分$EF$;
(2)若$AB+AC=10$,$DE=3$,求$△ ABC$的面积.

分析:(1)可证点$D$在$EF$的垂直平分线上,再证$△ AED ≌ △ AFD$,从而可证点$A$在$EF$的垂直平分线上,即可得证.
(2)由$S=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF$即可求解.
(1)证明:$\because$ $AD$是$△ ABC$的角平分线,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,
$\therefore ∠ AED=∠ AFD=90°,DE=DF$.
$\therefore$ 点$D$在$EF$的垂直平分线上.
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中,
$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AFD(\mathrm{HL})$.
$\therefore AE=AF$.
$\therefore$ 点$A$在$EF$的垂直平分线上.
$\therefore AD$垂直平分$EF$.
(2)解:$\because DE=DF=3,AB+AC=10$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF$
$=\frac{1}{2}(AB+AC)· DE$
$=15$.
答:$△ ABC$的面积为$15$.
方法点拨 熟练掌握全等三角形的判定及性质、线段的垂直平分线的判定、角的平分线的性质是解决本题的关键.

(1) 证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠ AED = ∠ AFD = 90°$，$DE = DF$。
∴ 点D在EF的垂直平分线上。
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中，
$\begin{cases}AD = AD \\DE = DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AFD(\mathrm{HL})$。
∴ $AE = AF$。
∴ 点A在EF的垂直平分线上。
∴ AD垂直平分EF。
---
(2) 解：
∵ AD是△ABC的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ $DF = DE = 3$。
又∵ $AB + AC = 10$，
$\begin{aligned}S_{△ ABC} &= S_{△ ABD} + S_{△ ACD} \\&= \frac{1}{2} AB · DE + \frac{1}{2} AC · DF \\&= \frac{1}{2}(AB + AC) · DE \\&= \frac{1}{2} × 10 × 3 \\&= 15\end{aligned}$
答：$△ ABC$的面积为15。

【分析】
(1)要证明AD垂直平分EF，需证明A、D两点都在EF的垂直平分线上：首先根据角平分线的性质可得DE=DF，即可推出点D在EF的垂直平分线上；再通过HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得到AE=AF，推出点A也在EF的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此AD垂直平分EF。
(2)求△ABC的面积，可将其拆分为△ABD和△ACD的面积之和，两个三角形的高分别为DE、DF，由角平分线性质可知DE=DF，代入AB+AC的数值即可计算出总面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ $∠ AED = ∠ AFD = 90°$，$DE = DF$。
∴ 点D在EF的垂直平分线上。
在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中，
$\begin{cases}AD = AD \\DE = DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AFD(\mathrm{HL})$。
∴ $AE = AF$。
∴ 点A在EF的垂直平分线上。
∴ AD垂直平分EF。
---
(2) 解：
∵ AD是△ABC的角平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴ $DF = DE = 3$。
又
∵ $AB + AC = 10$，
$\begin{aligned}S_{△ ABC} &= S_{△ ABD} + S_{△ ACD} \\&= \frac{1}{2} AB · DE + \frac{1}{2} AC · DF \\&= \frac{1}{2}(AB + AC) · DE \\&= \frac{1}{2} × 10 × 3 \\&= 15\end{aligned}$
【答案】
(1) 已证AD垂直平分EF；
(2) $\boxed{15}$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题时需要合理转化线段关系、拆分图形面积，既考查了基础性质的识记，也考查了简单的几何推理和面积计算能力，掌握相关性质定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7

如图,平面上的四边形ABCD是一个“风筝”的骨架,其中AB=AD,CB=CD,AC,BD相交于点E.
(1)王林观察了这个“风筝”的骨架后,他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD,并且BE=ED,你同意王林的判断吗？请说明理由.
(2)设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.

(1)同意王林的判断.
理由:
∵ AB=AD,
∴ 点A在BD的垂直平分线上.
∵ CB=CD,
∴ 点C在BD的垂直平分线上.
∴ AC垂直平分BD.
∴ BE=ED,AC⊥BD.
(2)四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}ab$.

【分析】
（1）要判断$AC⊥ BD$且$BE=ED$，可结合线段垂直平分线的判定分析：已知$AB=AD$，说明点A到B、D的距离相等，因此点A在BD的垂直平分线上；同理$CB=CD$，说明点C也在BD的垂直平分线上。根据两点确定一条直线，可知AC就是BD的垂直平分线，因此能推出$AC⊥ BD$、$BE=ED$，故王林的判断正确。
（2）求四边形面积时，借助第一问得出的$AC⊥ BD$的结论，可将四边形拆分为$△ ABD$和$△ BCD$两个三角形，分别计算面积后相加，结合线段和的关系即可推导得到用$a、b$表示的面积公式。
【解析】
(1) 同意王林的判断，理由如下：
$\because AB=AD$，
$\therefore$ 点A在线段BD的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
$\because CB=CD$，
$\therefore$ 点C在线段BD的垂直平分线上，
$\because$ 两点确定一条直线，
$\therefore$ AC是线段BD的垂直平分线，
$\therefore BE=ED,AC⊥ BD$。
(2) 由(1)可知$AC⊥ BD$，
四边形ABCD的面积为$△ ABD$和$△ BCD$的面积之和：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· BD· AE$，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}· BD· CE$
$\therefore S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}· BD· AE+\frac{1}{2}· BD· CE=\frac{1}{2}· BD·(AE+CE)$
又$\because AE+CE=AC=a$，$BD=b$
$\therefore S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}ab$
【答案】
(1) 同意王林的判断，可证得AC垂直平分BD，因此$AC⊥ BD$且$BE=ED$；
(2) 四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}ab$。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 线段垂直平分线的性质
3. 分割法求四边形面积
【点评】
本题结合生活中的风筝模型考查几何知识的应用，解题关键是利用线段垂直平分线的判定确定AC是BD的垂直平分线，同时要掌握将四边形面积拆分为三角形面积之和求解的方法，熟记对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半的结论可提升解题效率。
【难度系数】
0.7