1. 一元二次方程$2x^2=8$的解为（）

A.$x_1=x_2=-2$
B.$x_1=x_2=2$
C.$x_1=2, x_2=-2$
D.$x_1=0, x_2=2$

1. C

【分析】
这道题考查一元二次方程的解法，解题思路是先利用等式的基本性质将方程化简为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再用直接开平方法求出方程的解，最后匹配对应选项即可。具体思考步骤：第一步先消除$x^2$的系数，把方程化为最简形式，第二步对常数项开平方，注意正数的平方根有两个、互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：对原方程$2x^2=8$进行求解：
1. 系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2=4$；
2. 直接开平方：根据平方根的定义，4的平方根为$\pm2$，因此$x=\pm2$；
即方程的解为$x_1=2$，$x_2=-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 等式的基本性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免漏解，是巩固一元二次方程解法的基础练习。
【难度系数】
0.9

2. 下列方程不能直接开平方求解的是（）

A.$x^2 - 4 = 0$
B.$x^2 + 3x = 0$
C.$(x - 1)^2 - 9 = 0$
D.$(x - 1)^2 = (2x + 1)^2$

2. B

【分析】
解题时首先要明确直接开平方法的适用条件：方程可变形为“一个完全平方式等于非负常数”，或者“两个完全平方式相等”这两类形式时，就可以直接开平方求解。接下来只需对四个选项的方程逐一做简单变形，判断是否符合上述特征，不符合要求的即为正确答案。
【解析】
直接开平方法适用的方程需满足：可化为$a^2=b$（$b≥0$）或$a^2=c^2$的形式，对各选项逐一分析：
A. $x^2-4=0$，移项得$x^2=4$，符合$a^2=b$（$b=4≥0$），可直接开平方求解，不符合题意；
B. $x^2+3x=0$，左边无法整理为完全平方式，不能变形为可直接开平方的两类形式，无法直接开平方求解，符合题意；
C. $(x-1)^2-9=0$，移项得$(x-1)^2=9$，符合$a^2=b$（$b=9≥0$），可直接开平方求解，不符合题意；
D. $(x-1)^2=(2x+1)^2$，符合$a^2=c^2$的形式，可直接开平方得$x-1=\pm(2x+1)$求解，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 直接开平方法 2. 一元二次方程求解
【点评】
本题考查直接开平方法的适用范围，解题核心是熟练掌握可使用直接开平方法的方程的结构特征，通过简单变形就能快速判断选项，是一元二次方程解法的基础考查题。
【难度系数】
0.8

3. 方程$x^2 + 2x - 4 = 0$可以配方成$(x+m)^2 = n$的形式，则（）

A.$m=1$，$n=5$
B.$m=-1$，$n=5$
C.$m=2$，$n=5$
D.$m=-2$，$n=3$

3. A

【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程变形为指定形式的方法，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将常数项移到方程等号的右侧，第二步给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后将得到的式子和题干给出的$(x+m)^2 = n$形式对比，即可求出$m$和$n$的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 2x - 4 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 + 2x = 4$
2. 给等号左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即$1^2=1$：
$x^2 + 2x + 1 = 4 + 1$
3. 左侧根据完全平方公式写成平方形式，右侧计算常数项，得：
$(x+1)^2 = 5$
将该式与$(x+m)^2 = n$对比，可得$m=1$，$n=5$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时需要注意移项要变号，配方时要给等式左右两边同时加相同的数，避免只加左侧导致计算错误。
【难度系数】
0.8

4. 一元二次方程$x^2 - 2x + 1 = 0$的解是（）

A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x_1=x_2=1$
D.$x_1=x_2=-1$

4. C

【分析】
拿到这道题，结合当前所学的配方法解一元二次方程的知识点思考：首先观察方程左边的结构，发现$x^2-2x+1$刚好符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，可先把左边因式分解为完全平方式，再通过开方求解；也可以按照配方法的常规步骤：移项、配方、开方逐步计算，最终得到方程的解后匹配选项即可。
【解析】
我们用配方法的标准步骤求解：
1. 移项：将常数项移到等式右侧，得$x^2-2x=-1$；
2. 配方：等式两边同时加一次项系数一半的平方，一次项系数为$-2$，一半的平方为$(-1)^2=1$，可得$x^2-2x+1=-1+1$；
3. 整理得完全平方式：$(x-1)^2=0$；
4. 开方求解：对等式两边开平方得$x-1=0$，即$x=1$，该方程有两个相等的实数根，因此解为$x_1=x_2=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、一元二次方程的解
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构，或牢记配方法的基本步骤，此类基础题是后续解复杂一元二次方程的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9

5. 用配方法解方程 $3x^2 + 8x - 3 = 0$，下列配方结果正确的是（）

A.$(x+4)^2=\frac{19}{3}$
B.$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{17}{3}$
C.$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{25}{9}$
D.$(x+4)^2=17$

5. C

【分析】
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，需按固定步骤操作：第一步先将二次项系数化为1，第二步把常数项移到方程右侧，第三步给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方形式，最后对比选项得出结果即可。
【解析】
解：对原方程$3x^2 + 8x - 3 = 0$按配方法步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得$x^2 + \frac{8}{3}x - 1 = 0$；
2. 移项：将常数项移到方程右边，得$x^2 + \frac{8}{3}x = 1$；
3. 配方：一次项系数为$\frac{8}{3}$，它的一半是$\frac{4}{3}$，平方为$\frac{16}{9}$，给方程两边同时加$\frac{16}{9}$，得：
$x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 1 + \frac{16}{9}$
左侧根据完全平方公式整理为$(x+\frac{4}{3})^2$，右侧计算得$\frac{25}{9}$，即$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{25}{9}$。
对比选项可知C正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的基础应用，解题时需注意要先把二次项系数化为1再进行配方，配方时所加常数为一次项系数一半的平方，避免因步骤遗漏或计算错误失分。
【难度系数】
0.8

6. 若关于$x$的一元二次方程$(x+3)^2=k$有实数根，则$k$的取值范围是。

6. $k≥0$

【分析】
解题时先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即取值大于等于0。本题中方程左边是完全平方式$(x+3)^2$，它的取值恒大于等于0，要让方程有实数根，等号右侧的k的取值需要和左侧的取值范围匹配，因此只需让k满足非负的要求即可。
【解析】
∵ 对于任意实数x，都有$(x+3)^2 ≥ 0$（任何实数的平方为非负数），
又
∵ 一元二次方程$(x+3)^2 = k$有实数根，
∴ $k ≥ 0$。
【答案】
$k ≥ 0$
【知识点】
平方的非负性；一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查平方非负性的应用，不需要复杂计算，掌握实数平方的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

7. 一元二次方程$(x-2)^2 -16=0$的解是.

7. $x_1=6，x_2=-2$

【分析】
本题可采用直接开平方法求解，观察方程形式，左边是含未知数的完全平方式，移项后右边为正的常数，符合直接开平方法的适用条件。解题思路如下：第一步先将常数项移到方程等号右侧，第二步对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，第三步分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x-2)^2=16$
两边同时开平方，得：
$x-2=\pm4$
即 $x-2=4$ 或 $x-2=-4$
分别求解两个一元一次方程，得：
$x_1=6$，$x_2=-2$
【答案】
$x_1=6，x_2=-2$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是根据方程的结构特征选择简便的求解方法，开平方时注意不要遗漏负根，即可顺利求出结果。
【难度系数】
0.85

8. 解方程：$(3x + 1)^2 = 9(2x + 3)^2.$

8. $x_1=-\frac{8}{3}$，$x_2=-\frac{10}{9}$

【分析】观察方程特征，左右两边均为完全平方式，可采用直接开平方法求解：两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，据此将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解，该方法可避免展开式运算，简化计算过程。
【解析】用直接开平方法求解：
对等式两边同时开平方，可得：
$3x + 1 = \pm 3(2x + 3)$
分两种情况分别求解：
① 当$3x + 1 = 3(2x + 3)$时：
展开右侧得 $3x + 1 = 6x + 9$
移项、合并同类项得 $-3x = 8$
系数化为1得 $x_1 = -\frac{8}{3}$
② 当$3x + 1 = -3(2x + 3)$时：
展开右侧得 $3x + 1 = -6x - 9$
移项、合并同类项得 $9x = -10$
系数化为1得 $x_2 = -\frac{10}{9}$
【答案】$x_1=-\frac{8}{3}$，$x_2=-\frac{10}{9}$
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元一次方程求解
【点评】本题考查一元二次方程的基础解法，解题关键是根据方程结构选择简便的计算方法，开平方时注意不要遗漏互为相反数的情况，避免出现漏解。
【难度系数】0.8

9. 解下列方程：
(1) $3x^2 - 2x - 6 = 0$；
(2) $(x - 1)^2 - 2(x - 1) = 24$。

9. (1) $x_1=\frac{1+\sqrt{19}}{3}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{19}}{3}$.
(2) $x_1=7$，$x_2=-3$.

【分析】
本题考查一元二次方程的求解，(1)为一般形式的一元二次方程，可通过配方法求解，解题思路为：先将二次项系数化为1，再将常数项移到等号右侧，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方完成配方，最后开方计算即可得到方程的根；(2)可将$(x-1)$看作一个整体，将原方程转化为关于这个整体的一元二次方程，先求解整体的值，再计算$x$的取值，利用整体思想可简化计算，避免展开后计算量过大。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 - 2x - 6 = 0$：
第一步，移项得：$3x^2 - 2x = 6$
第二步，将二次项系数化为1，两边同时除以3得：$x^2 - \frac{2}{3}x = 2$
第三步，配方，两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$得：
$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 2 + \frac{1}{9}$
整理得：$(x - \frac{1}{3})^2 = \frac{19}{9}$
第四步，开平方得：$x - \frac{1}{3} = \pm \frac{\sqrt{19}}{3}$
解得：$x_1=\frac{1+\sqrt{19}}{3}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{19}}{3}$
(2) 解方程$(x - 1)^2 - 2(x - 1) = 24$：
设$y = x - 1$，则原方程转化为：$y^2 - 2y = 24$
移项得：$y^2 - 2y - 24 = 0$
因式分解得：$(y - 6)(y + 4) = 0$
所以$y - 6 = 0$或$y + 4 = 0$，解得$y_1=6$，$y_2=-4$
当$y=6$时，$x - 1 = 6$，解得$x=7$
当$y=-4$时，$x - 1 = -4$，解得$x=-3$
即方程的解为$x_1=7$，$x_2=-3$
【答案】
(1) $x_1=\frac{1+\sqrt{19}}{3}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{19}}{3}$；
(2) $x_1=7$，$x_2=-3$。
【知识点】
配方法解一元二次方程，换元法解方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础练习题，第一题考查配方法的标准步骤，第二题考查整体思想的应用，熟练掌握各类解法的适用场景，能提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.75