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9. 如图（示意图），一幅画在装裱前的尺寸是12 dm×7 dm，装裱后，上下边框等宽，左右边框等宽，且上边框宽度是左边框宽度的一半。若装裱前的面积是装裱后面积的$\frac{3}{4}$，求左边框的宽度。根据此问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式。
答案
9. 解 设左边衬的宽度为 $x$ dm，则上边衬的宽度为 $\frac{1}{2}x$ dm.
根据题意得 $(12+2x)(7+2×\frac{1}{2}x)×\frac{3}{4}=12×7$. 化成一般形式为 $x^{2}+13x-14=0$.
根据题意得 $(12+2x)(7+2×\frac{1}{2}x)×\frac{3}{4}=12×7$. 化成一般形式为 $x^{2}+13x-14=0$.
解析
【分析】
这是结合长方形面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 先将所求的左边框宽度设为未知数x，再根据“上边框宽度是左边框宽度的一半”表示出上边框的宽度；2. 推导装裱后长方形的长和宽：左右边框各宽x，因此装裱后长为原长加2x，上下边框各宽$\frac{1}{2}x$，因此装裱后宽为原宽加$2×\frac{1}{2}x=x$；3. 找准等量关系：装裱前面积 = 装裱后面积$×\frac{3}{4}$，代入对应量列出方程，最后整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：设左边框的宽度为$x$ dm，则上边框的宽度为$\frac{1}{2}x$ dm。
装裱前画的面积为：$12×7=84\ \mathrm{dm}^2$
装裱后长方形的长为$(12+2x)$ dm，宽为$(7+2×\frac{1}{2}x)=(7+x)$ dm，装裱后的面积为$(12+2x)(7+x)\ \mathrm{dm}^2$。
根据题意列方程：
$\frac{3}{4}(12+2x)(7+x)=12×7$
化简为一般形式：
两边同乘4得：$3(12+2x)(7+x)=336$
两边同除以3得：$(12+2x)(7+x)=112$
展开左边：$84+12x+14x+2x^2=112$
移项、合并同类项并化简：$x^2+13x-14=0$
【答案】
所列方程为$\frac{3}{4}(12+2x)(7+x)=84$，一元二次方程的一般形式为$x^2+13x-14=0$
【知识点】
列一元二次方程、一元二次方程的一般形式、长方形面积计算
【点评】
本题属于基础实际应用类题型，解题核心是结合边框宽度正确表示出装裱后图形的边长，再根据面积的等量关系列方程，化简过程需注意运算准确性。
【难度系数】
0.7
这是结合长方形面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 先将所求的左边框宽度设为未知数x，再根据“上边框宽度是左边框宽度的一半”表示出上边框的宽度；2. 推导装裱后长方形的长和宽：左右边框各宽x，因此装裱后长为原长加2x，上下边框各宽$\frac{1}{2}x$，因此装裱后宽为原宽加$2×\frac{1}{2}x=x$；3. 找准等量关系：装裱前面积 = 装裱后面积$×\frac{3}{4}$，代入对应量列出方程，最后整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：设左边框的宽度为$x$ dm，则上边框的宽度为$\frac{1}{2}x$ dm。
装裱前画的面积为：$12×7=84\ \mathrm{dm}^2$
装裱后长方形的长为$(12+2x)$ dm，宽为$(7+2×\frac{1}{2}x)=(7+x)$ dm，装裱后的面积为$(12+2x)(7+x)\ \mathrm{dm}^2$。
根据题意列方程：
$\frac{3}{4}(12+2x)(7+x)=12×7$
化简为一般形式：
两边同乘4得：$3(12+2x)(7+x)=336$
两边同除以3得：$(12+2x)(7+x)=112$
展开左边：$84+12x+14x+2x^2=112$
移项、合并同类项并化简：$x^2+13x-14=0$
【答案】
所列方程为$\frac{3}{4}(12+2x)(7+x)=84$，一元二次方程的一般形式为$x^2+13x-14=0$
【知识点】
列一元二次方程、一元二次方程的一般形式、长方形面积计算
【点评】
本题属于基础实际应用类题型，解题核心是结合边框宽度正确表示出装裱后图形的边长，再根据面积的等量关系列方程，化简过程需注意运算准确性。
【难度系数】
0.7
10. 如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）满足$a-b+c=0$，那么我们称这个方程为“凤凰方程”。
（1）判断一元二次方程$3x^2+4x+1=0$是否为“凤凰方程”，并说明理由；
（2）若关于$x$的方程$x^2+mx-5=0$是“凤凰方程”，求$m$的值。
（1）判断一元二次方程$3x^2+4x+1=0$是否为“凤凰方程”，并说明理由；
（2）若关于$x$的方程$x^2+mx-5=0$是“凤凰方程”，求$m$的值。
答案
10. 解 由题意知 “凤凰方程” 有一个根为 $x=-1$.
（1）一元二次方程 $3x^{2}+4x+1=0$ 是 “凤凰方程”. 理由如下：因为当 $x=-1$ 时，一元二次方程 $3x^{2}+4x+1=0$ 满足 $3-4+1=0$，所以一元二次方程 $3x^{2}+4x+1=0$ 是“凤凰方程”.
（2）若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx-5=0$ 是“凤凰方程”，则 $x=-1$，代入方程得 $1-m-5=0$，解得 $m=-4$.
（1）一元二次方程 $3x^{2}+4x+1=0$ 是 “凤凰方程”. 理由如下：因为当 $x=-1$ 时，一元二次方程 $3x^{2}+4x+1=0$ 满足 $3-4+1=0$，所以一元二次方程 $3x^{2}+4x+1=0$ 是“凤凰方程”.
（2）若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx-5=0$ 是“凤凰方程”，则 $x=-1$，代入方程得 $1-m-5=0$，解得 $m=-4$.
解析
【分析】
首先理解“凤凰方程”的定义：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）满足$a-b+c=0$，即为凤凰方程。将$x=-1$代入一元二次方程左边，可得$a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a-b+c$，因此凤凰方程的本质是$x=-1$是方程的一个根。（1）问只需将$x=-1$代入方程$3x^2+4x+1=0$，验证左边计算结果是否等于0，即可判断是否为凤凰方程；（2）问利用凤凰方程的特征，将$x=-1$代入方程$x^2+mx-5=0$，得到关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
由“凤凰方程”的定义可知，当$x=-1$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$可化为$a-b+c=0$，即凤凰方程必有一个根为$x=-1$。
（1）将$x=-1$代入方程$3x^2+4x+1=0$，
左边$=3×(-1)^2 + 4×(-1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0$，和右边相等，满足$a-b+c=0$的条件，因此该方程是凤凰方程。
（2）已知方程$x^2+mx-5=0$是凤凰方程，因此$x=-1$是该方程的根，
将$x=-1$代入方程得：$(-1)^2 + m×(-1) -5 = 0$，
整理得：$1 - m - 5 = 0$，
移项解得：$m = -4$。
【答案】
（1）一元二次方程$3x^2+4x+1=0$是“凤凰方程”；（2）$m=-4$
【知识点】
一元二次方程的根，新定义应用，解一元一次方程
【点评】
本题为新定义类基础题型，解题关键是读懂新定义的内涵，将“凤凰方程”的条件转化为$x=-1$是方程的根，再代入计算即可，侧重考查对新定义的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.85
首先理解“凤凰方程”的定义：若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）满足$a-b+c=0$，即为凤凰方程。将$x=-1$代入一元二次方程左边，可得$a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a-b+c$，因此凤凰方程的本质是$x=-1$是方程的一个根。（1）问只需将$x=-1$代入方程$3x^2+4x+1=0$，验证左边计算结果是否等于0，即可判断是否为凤凰方程；（2）问利用凤凰方程的特征，将$x=-1$代入方程$x^2+mx-5=0$，得到关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
由“凤凰方程”的定义可知，当$x=-1$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$可化为$a-b+c=0$，即凤凰方程必有一个根为$x=-1$。
（1）将$x=-1$代入方程$3x^2+4x+1=0$，
左边$=3×(-1)^2 + 4×(-1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0$，和右边相等，满足$a-b+c=0$的条件，因此该方程是凤凰方程。
（2）已知方程$x^2+mx-5=0$是凤凰方程，因此$x=-1$是该方程的根，
将$x=-1$代入方程得：$(-1)^2 + m×(-1) -5 = 0$，
整理得：$1 - m - 5 = 0$，
移项解得：$m = -4$。
【答案】
（1）一元二次方程$3x^2+4x+1=0$是“凤凰方程”；（2）$m=-4$
【知识点】
一元二次方程的根，新定义应用，解一元一次方程
【点评】
本题为新定义类基础题型，解题关键是读懂新定义的内涵，将“凤凰方程”的条件转化为$x=-1$是方程的根，再代入计算即可，侧重考查对新定义的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.85
