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1. 若方程$6x - 2 = □$是关于$x$的一元二次方程，则“$□$”可以是（
A.$-2^2$
B.$-3x^2$
C.$-2y^2$
D.$-x$
B
）A.$-2^2$
B.$-3x^2$
C.$-2y^2$
D.$-x$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的判定，解题的核心是先明确一元二次方程的三个判定条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程。解题时可将各选项依次代入“”的位置，将方程移项整理为右边为0的形式，再对照判定条件逐一验证，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐一分析选项：
A. 若“”为$-2^2=-4$，方程整理为$6x+2=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求；
B. 若“”为$-3x^2$，方程移项整理为$3x^2+6x-2=0$，只含有未知数$x$，$x$的最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程的定义；
C. 若“”为$-2y^2$，方程中含有$x、y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
D. 若“”为$-x$，方程整理为$7x-2=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的判定；方程的化简整理
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时需注意要先将方程化简为标准形式再做判断，不能只看局部的项就下结论，同时要牢记一元二次方程的三个核心判定条件，避免误选含其他未知数或次数不符合的选项。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的判定，解题的核心是先明确一元二次方程的三个判定条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程。解题时可将各选项依次代入“”的位置，将方程移项整理为右边为0的形式，再对照判定条件逐一验证，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐一分析选项：
A. 若“”为$-2^2=-4$，方程整理为$6x+2=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求；
B. 若“”为$-3x^2$，方程移项整理为$3x^2+6x-2=0$，只含有未知数$x$，$x$的最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程的定义；
C. 若“”为$-2y^2$，方程中含有$x、y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
D. 若“”为$-x$，方程整理为$7x-2=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的判定；方程的化简整理
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时需注意要先将方程化简为标准形式再做判断，不能只看局部的项就下结论，同时要牢记一元二次方程的三个核心判定条件，避免误选含其他未知数或次数不符合的选项。
【难度系数】
0.8
2. 若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$中的$a$，$b$，$c$满足$a+b+c=0$，则这个方程的根必有（
A.$x=0$
B.$x=-1$
C.$x=1$
D.$x=\pm1$
C
）A.$x=0$
B.$x=-1$
C.$x=1$
D.$x=\pm1$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断一元二次方程必有哪个根，可根据方程根的定义解题：若某个x的值代入方程后能使左边等于右边的0，则该值是方程的根。已知条件给出a+b+c=0，我们只需找到代入ax²+bx+c后结果为a+b+c的x值即可，也可逐一将选项的x值代入验证是否符合已知条件。
【解析】
根据方程根的定义，将各选项的x值代入方程左边ax²+bx+c验证：
选项A：当x=0时，左边 = a×0² + b×0 + c = c，仅当c=0时等于0，不符合“必有”的要求，故A错误；
选项B：当x=-1时，左边 = a×(-1)² + b×(-1) + c = a - b + c，仅当b=0时才等于0，不满足所有a+b+c=0的情况，故B错误；
选项C：当x=1时，左边 = a×1² + b×1 + c = a + b + c，已知a+b+c=0，即左边=右边=0，因此x=1一定是该方程的根，故C正确；
选项D：由选项B的推导可知x=-1不一定是方程的根，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
方程根的定义；代数式代入求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查对根的定义的应用，代入验证法是解决这类问题的常用方法，熟练掌握根的定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程必有哪个根，可根据方程根的定义解题：若某个x的值代入方程后能使左边等于右边的0，则该值是方程的根。已知条件给出a+b+c=0，我们只需找到代入ax²+bx+c后结果为a+b+c的x值即可，也可逐一将选项的x值代入验证是否符合已知条件。
【解析】
根据方程根的定义，将各选项的x值代入方程左边ax²+bx+c验证：
选项A：当x=0时，左边 = a×0² + b×0 + c = c，仅当c=0时等于0，不符合“必有”的要求，故A错误；
选项B：当x=-1时，左边 = a×(-1)² + b×(-1) + c = a - b + c，仅当b=0时才等于0，不满足所有a+b+c=0的情况，故B错误；
选项C：当x=1时，左边 = a×1² + b×1 + c = a + b + c，已知a+b+c=0，即左边=右边=0，因此x=1一定是该方程的根，故C正确；
选项D：由选项B的推导可知x=-1不一定是方程的根，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
方程根的定义；代数式代入求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查对根的定义的应用，代入验证法是解决这类问题的常用方法，熟练掌握根的定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. 已知$(|n| - 4)y^2 + (n - 4)y - 2 = 0$是关于y的一元二次方程，则n的取值范围是
$n≠\pm4$
。答案
3. $n≠\pm4$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确一元二次方程的判定核心要求：一元二次方程必须存在二次项，也就是二次项的系数不能为0。因此我们先定位给定方程的二次项系数，令其不等于0，求解对应的不等式就能得到n的取值范围。
【解析】
解：
∵$(|n| - 4)y^2 + (n - 4)y - 2 = 0$是关于y的一元二次方程
∴ 二次项系数不能为0，可列不等式：
$|n| - 4 ≠ 0$
移项得$|n| ≠ 4$
根据绝对值的性质，绝对值等于4的数是$\pm4$，因此$n ≠ 4$且$n ≠ -4$，即$n ≠ \pm4$
【答案】
$n≠\pm4$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于一元二次方程概念的基础应用题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的要求，或者解绝对值不等式时漏了n=-4的情况，解题时要抓住一元二次方程“最高次数为2、二次项系数不为0”的核心特征即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确一元二次方程的判定核心要求：一元二次方程必须存在二次项，也就是二次项的系数不能为0。因此我们先定位给定方程的二次项系数，令其不等于0，求解对应的不等式就能得到n的取值范围。
【解析】
解：
∵$(|n| - 4)y^2 + (n - 4)y - 2 = 0$是关于y的一元二次方程
∴ 二次项系数不能为0，可列不等式：
$|n| - 4 ≠ 0$
移项得$|n| ≠ 4$
根据绝对值的性质，绝对值等于4的数是$\pm4$，因此$n ≠ 4$且$n ≠ -4$，即$n ≠ \pm4$
【答案】
$n≠\pm4$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值的性质
【点评】
本题属于一元二次方程概念的基础应用题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的要求，或者解绝对值不等式时漏了n=-4的情况，解题时要抓住一元二次方程“最高次数为2、二次项系数不为0”的核心特征即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
4. 已知$x^m + x -1 = 0$是关于x的一元二次方程，则代数式$(m - 3)^{2027} = $
$-1$
。答案
4. $-1$
解析
【分析】
解题需先明确一元二次方程的核心定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。本题中方程的二次项为$x^m$，其系数为1≠0，因此只需令最高次数$m=2$即可求出参数$m$的值，再将$m$代入待求代数式，根据乘方的运算规则计算结果即可。
【解析】
解：
∵ $x^m + x - 1 = 0$ 是关于$x$的一元二次方程
∴ 未知数$x$的最高次数为2，即$m = 2$
将$m=2$代入$(m - 3)^{2027}$得：
$(2 - 3)^{2027} = (-1)^{2027}$
∵2027是奇数，负数的奇数次幂为负数
∴$(-1)^{2027} = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 有理数的乘方运算
【点评】
本题是基础概念类题型，重点考查对一元二次方程定义的理解，只要抓住“未知数最高次数为2”的核心条件确定参数，再结合乘方的符号规律计算即可得分。
【难度系数】
0.85
解题需先明确一元二次方程的核心定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。本题中方程的二次项为$x^m$，其系数为1≠0，因此只需令最高次数$m=2$即可求出参数$m$的值，再将$m$代入待求代数式，根据乘方的运算规则计算结果即可。
【解析】
解：
∵ $x^m + x - 1 = 0$ 是关于$x$的一元二次方程
∴ 未知数$x$的最高次数为2，即$m = 2$
将$m=2$代入$(m - 3)^{2027}$得：
$(2 - 3)^{2027} = (-1)^{2027}$
∵2027是奇数，负数的奇数次幂为负数
∴$(-1)^{2027} = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 有理数的乘方运算
【点评】
本题是基础概念类题型，重点考查对一元二次方程定义的理解，只要抓住“未知数最高次数为2”的核心条件确定参数，再结合乘方的符号规律计算即可得分。
【难度系数】
0.85
5. 已知关于x的一元二次方程$2x^2 - kx + 4 = 0$的一个根为2，则k的值为
$6$
。答案
5. $6$
解析
【分析】
解题的关键是利用一元二次方程根的定义求解。一元二次方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，已知方程的一个根是2，我们只需将x=2代入原方程，就可以得到一个只含有未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵ 2是关于x的一元二次方程$2x^2 - kx + 4 = 0$的根
∴ 将$x=2$代入方程，得：
$2× 2^2 - 2k + 4 = 0$
计算得：$8 - 2k + 4 = 0$
合并同类项：$12 - 2k = 0$
移项得：$2k = 12$
系数化为1得：$k = 6$
【答案】
$6$
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，代入求值时注意运算准确性即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
解题的关键是利用一元二次方程根的定义求解。一元二次方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，已知方程的一个根是2，我们只需将x=2代入原方程，就可以得到一个只含有未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵ 2是关于x的一元二次方程$2x^2 - kx + 4 = 0$的根
∴ 将$x=2$代入方程，得：
$2× 2^2 - 2k + 4 = 0$
计算得：$8 - 2k + 4 = 0$
合并同类项：$12 - 2k = 0$
移项得：$2k = 12$
系数化为1得：$k = 6$
【答案】
$6$
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的定义的应用，代入求值时注意运算准确性即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
6. 已知a是方程$x^2 + 3x -5=0$的一个实数根，则$a^2 + 3a + 202$的值为
$207$
.答案
6. $207$
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程根的定义思考：如果一个数是一元二次方程的根，那么将这个数代入方程后等式成立。因此我们可以先把x=a代入原方程，求出a²+3a的整体值，再将其代入待求的代数式即可算出结果，不需要单独求解a的具体数值，用整体代入法更简便。
【解析】
∵a是方程$x^2 + 3x -5=0$的一个实数根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 + 3a -5=0$，
移项可得：$a^2 + 3a =5$，
将$a^2 + 3a =5$代入$a^2 + 3a + 202$得：
原式$=5 + 202 = 207$。
【答案】
$207$
【知识点】
1. 一元二次方程的根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题是基础常考题型，核心是理解一元二次方程根的含义，解题时运用整体代入的思想可简化计算，避免求解方程根的复杂运算。
【难度系数】
0.9
解题时先利用一元二次方程根的定义思考：如果一个数是一元二次方程的根，那么将这个数代入方程后等式成立。因此我们可以先把x=a代入原方程，求出a²+3a的整体值，再将其代入待求的代数式即可算出结果，不需要单独求解a的具体数值，用整体代入法更简便。
【解析】
∵a是方程$x^2 + 3x -5=0$的一个实数根，
∴将x=a代入方程得：$a^2 + 3a -5=0$，
移项可得：$a^2 + 3a =5$，
将$a^2 + 3a =5$代入$a^2 + 3a + 202$得：
原式$=5 + 202 = 207$。
【答案】
$207$
【知识点】
1. 一元二次方程的根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题是基础常考题型，核心是理解一元二次方程根的含义，解题时运用整体代入的思想可简化计算，避免求解方程根的复杂运算。
【难度系数】
0.9
7. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) $(3x+1)^2 - 2x = 0$；
(2) $3x^2 - 2x = x^2 + 1$.
(1) $(3x+1)^2 - 2x = 0$；
(2) $3x^2 - 2x = x^2 + 1$.
答案
7. 解（1）去括号，得 $9x^{2}+6x+1-2x=0$.
合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 $9x^{2}+4x+1=0$. 它的二次项系数为 9，一次项系数为 4，常数项为 1.
（2）移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 $2x^{2}-2x-1=0$. 它的二次项系数为 2，一次项系数为 $-2$，常数项为$-1$.
合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 $9x^{2}+4x+1=0$. 它的二次项系数为 9，一次项系数为 4，常数项为 1.
（2）移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 $2x^{2}-2x-1=0$. 它的二次项系数为 2，一次项系数为 $-2$，常数项为$-1$.
解析
【分析】
解题前首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题思路如下：第一步对原方程进行整式运算，有括号先去括号，再将所有项移到等号左侧，合并同类项后使等号右侧为0，得到一般形式；第二步对应提取各项的系数，注意系数需包含本身的正负号。
【解析】
(1) 对$(3x+1)^2 - 2x = 0$去括号，根据完全平方公式得：
$9x^{2}+6x+1-2x=0$
合并同类项，得到一元二次方程的一般形式：
$9x^{2}+4x+1=0$
其中二次项系数为9，一次项系数为4，常数项为1。
(2) 对$3x^2 - 2x = x^2 + 1$移项，将右侧所有项移到左侧得：
$3x^2 - 2x - x^2 - 1 = 0$
合并同类项，得到一元二次方程的一般形式：
$2x^{2}-2x-1=0$
其中二次项系数为2，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$。
【答案】
(1) 一般形式：$9x^2+4x+1=0$，二次项系数9，一次项系数4，常数项1；
(2) 一般形式：$2x^2-2x-1=0$，二次项系数2，一次项系数$-2$，常数项$-1$。
【知识点】
一元二次方程一般形式；整式运算；合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础考查题，重点要求熟练掌握方程化简的运算步骤，需注意整理一般形式时等号右侧必须为0，写各项系数时不要遗漏符号，是学习一元二次方程后续内容的必备基础。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题思路如下：第一步对原方程进行整式运算，有括号先去括号，再将所有项移到等号左侧，合并同类项后使等号右侧为0，得到一般形式；第二步对应提取各项的系数，注意系数需包含本身的正负号。
【解析】
(1) 对$(3x+1)^2 - 2x = 0$去括号，根据完全平方公式得：
$9x^{2}+6x+1-2x=0$
合并同类项，得到一元二次方程的一般形式：
$9x^{2}+4x+1=0$
其中二次项系数为9，一次项系数为4，常数项为1。
(2) 对$3x^2 - 2x = x^2 + 1$移项，将右侧所有项移到左侧得：
$3x^2 - 2x - x^2 - 1 = 0$
合并同类项，得到一元二次方程的一般形式：
$2x^{2}-2x-1=0$
其中二次项系数为2，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$。
【答案】
(1) 一般形式：$9x^2+4x+1=0$，二次项系数9，一次项系数4，常数项1；
(2) 一般形式：$2x^2-2x-1=0$，二次项系数2，一次项系数$-2$，常数项$-1$。
【知识点】
一元二次方程一般形式；整式运算；合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础考查题，重点要求熟练掌握方程化简的运算步骤，需注意整理一般形式时等号右侧必须为0，写各项系数时不要遗漏符号，是学习一元二次方程后续内容的必备基础。
【难度系数】
0.8
8. 若关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + 2 = 0$（$a≠0$）有一个根为225，则关于x的一元二次方程$a(x-1)^2 + bx - b + 2 = 0$必有一个根为
$226$
。答案
8. 226
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据一元二次方程根的定义，将已知根225代入第一个方程，得到关于a、b的等式；第二步，观察第二个方程的结构，对含b的项提取公因式，将第二个方程变形为和第一个方程结构完全一致的形式；第三步，利用整体换元的思想，令y=x-1，结合第一个方程的根，即可求出第二个方程对应的特根。解题时不需要计算a、b的具体值，通过整体代入能大幅简化计算。
【解析】
1. 把x=225代入方程$ax^2+bx+2=0$，根据方程根的定义可得：
$a× 225^2 + b× 225 + 2 = 0$ ①
2. 对目标方程$a(x-1)^2 + bx - b + 2 = 0$变形，将$bx-b$提取公因式$b$，得：
$a(x-1)^2 + b(x-1) + 2 = 0$ ②
3. 设$y=x-1$，则方程②可化为$ay^2 + by + 2 = 0$，和第一个方程形式完全相同。
4. 由①可知$y=225$是$ay^2 + by + 2 = 0$的一个根，因此：
$x-1=225$，解得$x=226$
【答案】
226
【知识点】
1. 一元二次方程的根的定义
2. 整体代入思想
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的典型应用，核心解题技巧是通过代数变形将待求方程转化为已知根的方程形式，利用整体代换避免求解未知参数，是考察方程根概念的常见考法。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：第一步，根据一元二次方程根的定义，将已知根225代入第一个方程，得到关于a、b的等式；第二步，观察第二个方程的结构，对含b的项提取公因式，将第二个方程变形为和第一个方程结构完全一致的形式；第三步，利用整体换元的思想，令y=x-1，结合第一个方程的根，即可求出第二个方程对应的特根。解题时不需要计算a、b的具体值，通过整体代入能大幅简化计算。
【解析】
1. 把x=225代入方程$ax^2+bx+2=0$，根据方程根的定义可得：
$a× 225^2 + b× 225 + 2 = 0$ ①
2. 对目标方程$a(x-1)^2 + bx - b + 2 = 0$变形，将$bx-b$提取公因式$b$，得：
$a(x-1)^2 + b(x-1) + 2 = 0$ ②
3. 设$y=x-1$，则方程②可化为$ay^2 + by + 2 = 0$，和第一个方程形式完全相同。
4. 由①可知$y=225$是$ay^2 + by + 2 = 0$的一个根，因此：
$x-1=225$，解得$x=226$
【答案】
226
【知识点】
1. 一元二次方程的根的定义
2. 整体代入思想
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的典型应用，核心解题技巧是通过代数变形将待求方程转化为已知根的方程形式，利用整体代换避免求解未知参数，是考察方程根概念的常见考法。
【难度系数】
0.6
