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10. 若一元二次方程$ax^2 = b$（$a＞0$，$b＞0$）的两个实数根分别是$m+1$与$2m-4$，则这两个实数根分别是（
A.1，4
B.1，-1
C.2，-2
D.3，0
C
）A.1，4
B.1，-1
C.2，-2
D.3，0
答案
10. C
解析
【分析】
首先回忆用直接开平方法解一元二次方程$ax^2=b$（$a＞0,b＞0$）的特点：方程变形为$x^2=\frac{b}{a}$后，开平方可得两个互为相反数的实数根，即两根之和为0。结合题目给出的两个根的表达式，我们可以先根据“互为相反数的两个数和为0”列方程求出参数$m$的值，再代入计算得到两个根的具体数值，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2 = b$（$a＞0$，$b＞0$），
两边同时除以$a$可得$x^2=\frac{b}{a}$，
由直接开平方法得，方程的两个实数根互为相反数，即两根之和为0。
已知方程的两个根为$m+1$和$2m-4$，因此：
$(m+1)+(2m-4)=0$
合并同类项得$3m-3=0$，
解得$m=1$。
将$m=1$代入两根表达式：
$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$，
因此两个实数根分别是2和-2。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 相反数的性质
3. 一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质，解题关键是掌握直接开平方法求解的一元二次方程的两根互为相反数的特点，通过列关于参数$m$的方程即可求解，属于基础题型，解题时注意不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7
首先回忆用直接开平方法解一元二次方程$ax^2=b$（$a＞0,b＞0$）的特点：方程变形为$x^2=\frac{b}{a}$后，开平方可得两个互为相反数的实数根，即两根之和为0。结合题目给出的两个根的表达式，我们可以先根据“互为相反数的两个数和为0”列方程求出参数$m$的值，再代入计算得到两个根的具体数值，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2 = b$（$a＞0$，$b＞0$），
两边同时除以$a$可得$x^2=\frac{b}{a}$，
由直接开平方法得，方程的两个实数根互为相反数，即两根之和为0。
已知方程的两个根为$m+1$和$2m-4$，因此：
$(m+1)+(2m-4)=0$
合并同类项得$3m-3=0$，
解得$m=1$。
将$m=1$代入两根表达式：
$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$，
因此两个实数根分别是2和-2。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 相反数的性质
3. 一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质，解题关键是掌握直接开平方法求解的一元二次方程的两根互为相反数的特点，通过列关于参数$m$的方程即可求解，属于基础题型，解题时注意不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7
11. 已知三角形两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程$(x-5)^2 -4=0$的根，求三角形的周长。
答案
11. 解 由$(x-5)^2-4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=7$。根据三角形的三边关系，得3，6，3不能构成三角形，3，6，7能构成三角形。所以该三角形的周长为$3+6+7=16$.
解析
【分析】
解题时首先需要先求解一元二次方程得到第三边的可能取值，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）对求得的根进行验证，舍去不符合三边关系的根，最后将符合条件的三边长相加即可得到三角形周长。
【解析】
第一步：求解一元二次方程$(x-5)^2 -4=0$
移项得：$(x-5)^2=4$
直接开平方得：$x-5=\pm2$
解得：$x_1=3$，$x_2=7$
第二步：根据三角形三边关系验证第三边的取值
三角形已知两边为3和6，
当第三边长为3时，$3+3=6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去；
当第三边长为7时，$3+6＞7$，$6+7＞3$，$3+7＞6$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
第三步：计算三角形周长
周长为$3+6+7=16$
【答案】
16
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程解法与三角形三边关系的综合基础题，解题时需注意求解出方程的根后，要结合三角形三边的实际限制条件对根进行取舍，避免直接代入所有根计算导致错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要先求解一元二次方程得到第三边的可能取值，再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）对求得的根进行验证，舍去不符合三边关系的根，最后将符合条件的三边长相加即可得到三角形周长。
【解析】
第一步：求解一元二次方程$(x-5)^2 -4=0$
移项得：$(x-5)^2=4$
直接开平方得：$x-5=\pm2$
解得：$x_1=3$，$x_2=7$
第二步：根据三角形三边关系验证第三边的取值
三角形已知两边为3和6，
当第三边长为3时，$3+3=6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去；
当第三边长为7时，$3+6＞7$，$6+7＞3$，$3+7＞6$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
第三步：计算三角形周长
周长为$3+6+7=16$
【答案】
16
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程解法与三角形三边关系的综合基础题，解题时需注意求解出方程的根后，要结合三角形三边的实际限制条件对根进行取舍，避免直接代入所有根计算导致错误。
【难度系数】
0.7
12. 阅读下面方程（1）的解题方法，
并按照此方法解方程（2）.
（1）$2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0$；
解：$(\sqrt{2}x)^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 3 + 1$.
$(\sqrt{2}x - 1)^2 = 4$.
$\sqrt{2}x - 1 = \pm 2$.
$x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
（2）$3x^2 - 2\sqrt{6}x = 2$.
并按照此方法解方程（2）.
（1）$2x^2 - 2\sqrt{2}x - 3 = 0$；
解：$(\sqrt{2}x)^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 3 + 1$.
$(\sqrt{2}x - 1)^2 = 4$.
$\sqrt{2}x - 1 = \pm 2$.
$x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
（2）$3x^2 - 2\sqrt{6}x = 2$.
答案
12. 解 $(\sqrt{3}x)^2-2\sqrt{6}x+2=2+2$.
$(\sqrt{3}x-\sqrt{2})^2=4$. $\sqrt{3}x-\sqrt{2}=\pm2$.
$x_1=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{3}$.
$(\sqrt{3}x-\sqrt{2})^2=4$. $\sqrt{3}x-\sqrt{2}=\pm2$.
$x_1=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
本题属于阅读理解类解方程问题，需先掌握例题的特殊配方法再类比求解：①首先观察例题解法，是将二次项拆成含根号的整式的平方形式，再结合一次项凑完全平方公式；②对于方程（2），先把$3x^2$变形为$(\sqrt{3}x)^2$，再结合一次项$-2\sqrt{6}x$，找到完全平方公式中对应的常数项，等式两边同时加该常数项凑成完全平方式；③最后开方求解，结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：将方程$3x^2 - 2\sqrt{6}x = 2$变形配方：
$(\sqrt{3}x)^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 2 + 2$
左边利用完全平方公式化简得：
$(\sqrt{3}x - \sqrt{2})^2 = 4$
两边开平方得：
$\sqrt{3}x - \sqrt{2} = \pm 2$
移项得$\sqrt{3}x = \sqrt{2} \pm 2$，两边同时除以$\sqrt{3}$并分母有理化：
$x = \frac{\sqrt{2} \pm 2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} \pm 2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$x_1=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式 3.二次根式化简
【点评】
本题考查知识迁移和类比应用能力，需要先读懂例题的配方法技巧再应用到新方程中，解题时要注意配方时等式两边需同时加相同的常数，最后运算结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
本题属于阅读理解类解方程问题，需先掌握例题的特殊配方法再类比求解：①首先观察例题解法，是将二次项拆成含根号的整式的平方形式，再结合一次项凑完全平方公式；②对于方程（2），先把$3x^2$变形为$(\sqrt{3}x)^2$，再结合一次项$-2\sqrt{6}x$，找到完全平方公式中对应的常数项，等式两边同时加该常数项凑成完全平方式；③最后开方求解，结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：将方程$3x^2 - 2\sqrt{6}x = 2$变形配方：
$(\sqrt{3}x)^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 2 + 2$
左边利用完全平方公式化简得：
$(\sqrt{3}x - \sqrt{2})^2 = 4$
两边开平方得：
$\sqrt{3}x - \sqrt{2} = \pm 2$
移项得$\sqrt{3}x = \sqrt{2} \pm 2$，两边同时除以$\sqrt{3}$并分母有理化：
$x = \frac{\sqrt{2} \pm 2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} \pm 2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$x_1=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\frac{\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式 3.二次根式化简
【点评】
本题考查知识迁移和类比应用能力，需要先读懂例题的配方法技巧再应用到新方程中，解题时要注意配方时等式两边需同时加相同的常数，最后运算结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7
13. 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法.
问题：解方程 $x(x + 4)=6$.
解：原方程变形得 $[(x + 2)-2]·[(x + 2)+2]=6$.
$(x + 2)^2 - 2^2 = 6$. $(x + 2)^2 = 10$.
直接开平方并整理，
得 $x_1=-2+\sqrt{10}$，$x_2=-2-\sqrt{10}$.
我们称这种解法为“平均数法”.
（1）下面是小明用“平均数法”解方程 $(x + 3)(x + 7)=5$ 时的解题过程.
解：原方程变形得 $[(x + a)-b]·[(x + a)+b]=5$.
$(x + a)^2 - b^2 =5$. $(x + a)^2=5 + b^2$.
直接开平方并整理，得 $x_1 = c$，$x_2 = d$.
上述过程中的 $a$，$b$，$c$，$d$ 表示的数分别为 $\_\_\_\_\_\_$， $\_\_\_\_\_\_$， $\_\_\_\_\_\_$， $\_\_\_\_\_\_$.
（2）请用“平均数法”解方程：
$(x - 5)(x + 3)=6$.
问题：解方程 $x(x + 4)=6$.
解：原方程变形得 $[(x + 2)-2]·[(x + 2)+2]=6$.
$(x + 2)^2 - 2^2 = 6$. $(x + 2)^2 = 10$.
直接开平方并整理，
得 $x_1=-2+\sqrt{10}$，$x_2=-2-\sqrt{10}$.
我们称这种解法为“平均数法”.
（1）下面是小明用“平均数法”解方程 $(x + 3)(x + 7)=5$ 时的解题过程.
解：原方程变形得 $[(x + a)-b]·[(x + a)+b]=5$.
$(x + a)^2 - b^2 =5$. $(x + a)^2=5 + b^2$.
直接开平方并整理，得 $x_1 = c$，$x_2 = d$.
上述过程中的 $a$，$b$，$c$，$d$ 表示的数分别为 $\_\_\_\_\_\_$， $\_\_\_\_\_\_$， $\_\_\_\_\_\_$， $\_\_\_\_\_\_$.
（2）请用“平均数法”解方程：
$(x - 5)(x + 3)=6$.
答案
13. 解 (1) 5 2 -2 -8（或5 2 -8 -2）
(2) 原方程变形得$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$. $(x-1)^2-4^2=6$. $(x-1)^2=22$.
直接开平方并整理，
得$x_1=1+\sqrt{22}$，$x_2=1-\sqrt{22}$.
(2) 原方程变形得$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$. $(x-1)^2-4^2=6$. $(x-1)^2=22$.
直接开平方并整理，
得$x_1=1+\sqrt{22}$，$x_2=1-\sqrt{22}$.
解析
【分析】
（1）“平均数法”的核心是将两个一次因式转化为平方差的形式：先计算两个一次因式中常数项的平均数，即可得到$a$的值，常数项与平均数的差的绝对值就是$b$的值，再利用平方差公式化简后用直接开平方法求解，就能得到根$c$、$d$。
（2）解方程$(x-5)(x+3)$时，先计算常数项$-5$和$3$的平均数，据此将两个因式改写为平方差的结构，再套用平方差公式化简，最后用直接开平方法求出方程的根即可。
【解析】
（1）对于方程$(x+3)(x+7)=5$，两个常数项为3和7，平均数为$\frac{3+7}{2}=5$，因此$a=5$；常数项与平均数的差为$5-3=2$，因此$b=2$。
代入得$(x+5)^2=5+2^2=9$，开平方得$x+5=\pm3$，整理得$x_1=-5+3=-2$，$x_2=-5-3=-8$，因此$c=-2$、$d=-8$（或$c=-8$、$d=-2$）。
（2）解方程$(x-5)(x+3)=6$：
原方程变形得 $[(x-1)-4]·[(x-1)+4]=6$
利用平方差公式展开：$(x-1)^2 - 4^2=6$
整理得：$(x-1)^2=22$
直接开平方得：$x-1=\pm\sqrt{22}$
整理得两个根：$x_1=1+\sqrt{22}$，$x_2=1-\sqrt{22}$
【答案】
（1）$\boxed{5}$，$\boxed{2}$，$\boxed{-2}$，$\boxed{-8}$（或$\boxed{5}$，$\boxed{2}$，$\boxed{-8}$，$\boxed{-2}$）
（2）$\boxed{x_1=1+\sqrt{22}}$，$\boxed{x_2=1-\sqrt{22}}$
【知识点】
平方差公式；配方法解一元二次方程；直接开平方法
【点评】
本题通过新定义“平均数法”考查一元二次方程的解法，本质是借助平方差公式简化配方法的计算过程，重点考查对新方法的阅读理解能力和知识迁移能力，解题关键是准确找到两个一次因式常数项的平均数，构造平方差结构简化计算。
【难度系数】
0.7
（1）“平均数法”的核心是将两个一次因式转化为平方差的形式：先计算两个一次因式中常数项的平均数，即可得到$a$的值，常数项与平均数的差的绝对值就是$b$的值，再利用平方差公式化简后用直接开平方法求解，就能得到根$c$、$d$。
（2）解方程$(x-5)(x+3)$时，先计算常数项$-5$和$3$的平均数，据此将两个因式改写为平方差的结构，再套用平方差公式化简，最后用直接开平方法求出方程的根即可。
【解析】
（1）对于方程$(x+3)(x+7)=5$，两个常数项为3和7，平均数为$\frac{3+7}{2}=5$，因此$a=5$；常数项与平均数的差为$5-3=2$，因此$b=2$。
代入得$(x+5)^2=5+2^2=9$，开平方得$x+5=\pm3$，整理得$x_1=-5+3=-2$，$x_2=-5-3=-8$，因此$c=-2$、$d=-8$（或$c=-8$、$d=-2$）。
（2）解方程$(x-5)(x+3)=6$：
原方程变形得 $[(x-1)-4]·[(x-1)+4]=6$
利用平方差公式展开：$(x-1)^2 - 4^2=6$
整理得：$(x-1)^2=22$
直接开平方得：$x-1=\pm\sqrt{22}$
整理得两个根：$x_1=1+\sqrt{22}$，$x_2=1-\sqrt{22}$
【答案】
（1）$\boxed{5}$，$\boxed{2}$，$\boxed{-2}$，$\boxed{-8}$（或$\boxed{5}$，$\boxed{2}$，$\boxed{-8}$，$\boxed{-2}$）
（2）$\boxed{x_1=1+\sqrt{22}}$，$\boxed{x_2=1-\sqrt{22}}$
【知识点】
平方差公式；配方法解一元二次方程；直接开平方法
【点评】
本题通过新定义“平均数法”考查一元二次方程的解法，本质是借助平方差公式简化配方法的计算过程，重点考查对新方法的阅读理解能力和知识迁移能力，解题关键是准确找到两个一次因式常数项的平均数，构造平方差结构简化计算。
【难度系数】
0.7
