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1. 一元二次方程$x^2 + 2x = 1$的根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
1. A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$进行判断。解题第一步要先把所给方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），确定$a$、$b$、$c$的取值，再代入判别式计算$\Delta$的值，最后根据$\Delta$的正负对应判断根的情况即可：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得$x^2 + 2x - 1 = 0$，
此时可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-1$，
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8$，
因为$\Delta=8＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的核心是先将方程整理为一般形式，准确识别各项系数后代入判别式计算，再结合判别式的意义判断根的情况，掌握判别式的取值和根的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$进行判断。解题第一步要先把所给方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），确定$a$、$b$、$c$的取值，再代入判别式计算$\Delta$的值，最后根据$\Delta$的正负对应判断根的情况即可：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得$x^2 + 2x - 1 = 0$，
此时可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-1$，
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8$，
因为$\Delta=8＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的核心是先将方程整理为一般形式，准确识别各项系数后代入判别式计算，再结合判别式的意义判断根的情况，掌握判别式的取值和根的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 亮亮在解一元二次方程$x^2 -6x + □ =0$时，发现常数项看不清了。已知这个一元二次方程有实数根，则常数项的最大值是（
A.7
B.8
C.9
D.10
C
）A.7
B.8
C.9
D.10
答案
2. C
解析
【分析】
遇到一元二次方程有实数根的问题，首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：当Δ≥0时，方程有实数根。我们可以先将未知的常数项设为参数，再代入判别式列出不等式，求解参数的取值范围后即可得到常数项的最大值。
【解析】
解：设该一元二次方程的常数项为$ k $。
对于一元二次方程$ ax^2+bx+c=0(a≠0) $，根的判别式为$ \Delta = b^2-4ac $。
在方程$ x^2 -6x +k=0 $中，$ a=1 $，$ b=-6 $，$ c=k $。
因为方程有实数根，所以$ \Delta ≥ 0 $，代入得：
$(-6)^2 - 4×1× k ≥ 0$
计算得：$ 36 - 4k ≥ 0 $
移项得：$ 4k ≤ 36 $
解得：$ k ≤ 9 $
因此常数项的最大值为9，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的典型应用题型，解题关键是牢记方程实根个数与判别式的对应关系，通过列不等式求解参数范围即可得到结果，解题时注意不要弄错判别式的不等号方向。
【难度系数】
0.8
遇到一元二次方程有实数根的问题，首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：当Δ≥0时，方程有实数根。我们可以先将未知的常数项设为参数，再代入判别式列出不等式，求解参数的取值范围后即可得到常数项的最大值。
【解析】
解：设该一元二次方程的常数项为$ k $。
对于一元二次方程$ ax^2+bx+c=0(a≠0) $，根的判别式为$ \Delta = b^2-4ac $。
在方程$ x^2 -6x +k=0 $中，$ a=1 $，$ b=-6 $，$ c=k $。
因为方程有实数根，所以$ \Delta ≥ 0 $，代入得：
$(-6)^2 - 4×1× k ≥ 0$
计算得：$ 36 - 4k ≥ 0 $
移项得：$ 4k ≤ 36 $
解得：$ k ≤ 9 $
因此常数项的最大值为9，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的典型应用题型，解题关键是牢记方程实根个数与判别式的对应关系，通过列不等式求解参数范围即可得到结果，解题时注意不要弄错判别式的不等号方向。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于x的一元二次方程$2x^2 + 3x - m = 0$有两个不相等的实数根.
（1）m的取值范围是________；
（2）若−1是这个方程的一个根，则m=______.
（1）m的取值范围是________；
（2）若−1是这个方程的一个根，则m=______.
答案
3. (1) $m＞-\frac{9}{8}$ (2) $-1$
解析
【分析】
（1）对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。先确定本题方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围；
（2）若一个数是方程的根，将这个数代入方程可使等式成立。把$x=-1$代入原方程，得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）已知一元二次方程$2x^2 + 3x - m = 0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-m$，
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
代入得：$3^2 - 4×2×(-m) ＞ 0$，
计算得：$9 + 8m ＞ 0$，
移项得：$8m ＞ -9$，
解得：$m ＞ -\frac{9}{8}$。
（2）因为$-1$是方程的一个根，将$x=-1$代入原方程得：
$2×(-1)^2 + 3×(-1) - m = 0$，
计算得：$2×1 - 3 - m = 0$，
即$2 - 3 - m = 0$，
化简得：$-1 - m = 0$，
解得：$m = -1$。
【答案】
(1) $m＞-\frac{9}{8}$；(2) $-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，牢记判别式与根的个数的对应关系、理解方程的根的含义是解题的关键，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
（1）对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。先确定本题方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围；
（2）若一个数是方程的根，将这个数代入方程可使等式成立。把$x=-1$代入原方程，得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）已知一元二次方程$2x^2 + 3x - m = 0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-m$，
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
代入得：$3^2 - 4×2×(-m) ＞ 0$，
计算得：$9 + 8m ＞ 0$，
移项得：$8m ＞ -9$，
解得：$m ＞ -\frac{9}{8}$。
（2）因为$-1$是方程的一个根，将$x=-1$代入原方程得：
$2×(-1)^2 + 3×(-1) - m = 0$，
计算得：$2×1 - 3 - m = 0$，
即$2 - 3 - m = 0$，
化简得：$-1 - m = 0$，
解得：$m = -1$。
【答案】
(1) $m＞-\frac{9}{8}$；(2) $-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，牢记判别式与根的个数的对应关系、理解方程的根的含义是解题的关键，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
4. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + ax + b = 0$，当$a^2 - 4b ≥ 0$时，它的根为
$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$
。答案
4. $x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$
解析
【分析】
本题考查用公式法求一元二次方程的根，解题思路如下：首先明确一元二次方程求根公式的适用条件是判别式Δ≥0，本题已给出a²-4b≥0，满足适用条件；接下来先确定所给方程x²+ax+b=0的各项系数：二次项系数为1，一次项系数为a，常数项为b；最后将对应系数代入求根公式化简即可得到结果，注意代入时不要混淆各系数的对应位置。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + ax + b = 0$，可知：
二次项系数为1，一次项系数为$a$，常数项为$b$，
已知判别式$\Delta = a^2 - 4×1× b = a^2 -4b≥0$，符合公式法求根的条件，
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-\mathrm{一次项系数}\pm\sqrt{\Delta}}{2×\mathrm{二次项系数}}$，代入系数得：
$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2×1}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$
【答案】
$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对一元二次方程求根公式的记忆与应用，解题的关键是准确匹配方程中各项的系数，代入公式时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
本题考查用公式法求一元二次方程的根，解题思路如下：首先明确一元二次方程求根公式的适用条件是判别式Δ≥0，本题已给出a²-4b≥0，满足适用条件；接下来先确定所给方程x²+ax+b=0的各项系数：二次项系数为1，一次项系数为a，常数项为b；最后将对应系数代入求根公式化简即可得到结果，注意代入时不要混淆各系数的对应位置。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + ax + b = 0$，可知：
二次项系数为1，一次项系数为$a$，常数项为$b$，
已知判别式$\Delta = a^2 - 4×1× b = a^2 -4b≥0$，符合公式法求根的条件，
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-\mathrm{一次项系数}\pm\sqrt{\Delta}}{2×\mathrm{二次项系数}}$，代入系数得：
$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2×1}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$
【答案】
$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是对一元二次方程求根公式的记忆与应用，解题的关键是准确匹配方程中各项的系数，代入公式时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
5. 方程$x^2 -4x -12=0$的解是
$x_1=6,\ x_2=-2$
。答案
5. $x_1=6,\ x_2=-2$
解析
【分析】
这是一道一元二次方程求解的题目，所属章节为公式法相关内容，解题时优先按照公式法的步骤思考：首先将给定方程与一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，确定$a、b、c$的取值；接着计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程实数根的存在情况；最后若$\Delta≥0$，代入求根公式即可算出方程的解。
【解析】
解：方程$x^2 -4x -12=0$符合一元二次方程一般形式，对应可得$a=1$，$b=-4$，$c=-12$。
第一步：计算判别式
$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×1×(-12) = 16 + 48 = 64 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
第二步：代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算
$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{64}}{2×1}=\frac{4\pm8}{2}$
即$x_1=\frac{4+8}{2}=6$，$x_2=\frac{4-8}{2}=-2$。
【答案】
$x_1=6,\ x_2=-2$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法的解题步骤即可快速得分，也可根据方程的特征选择因式分解等更简便的方法求解。
【难度系数】
0.9
这是一道一元二次方程求解的题目，所属章节为公式法相关内容，解题时优先按照公式法的步骤思考：首先将给定方程与一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，确定$a、b、c$的取值；接着计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程实数根的存在情况；最后若$\Delta≥0$，代入求根公式即可算出方程的解。
【解析】
解：方程$x^2 -4x -12=0$符合一元二次方程一般形式，对应可得$a=1$，$b=-4$，$c=-12$。
第一步：计算判别式
$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×1×(-12) = 16 + 48 = 64 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
第二步：代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算
$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{64}}{2×1}=\frac{4\pm8}{2}$
即$x_1=\frac{4+8}{2}=6$，$x_2=\frac{4-8}{2}=-2$。
【答案】
$x_1=6,\ x_2=-2$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法的解题步骤即可快速得分，也可根据方程的特征选择因式分解等更简便的方法求解。
【难度系数】
0.9
6. 已知关于$x$的方程$x^2 + 3mx + m^2 = 0$的一个根是1，那么$m =$
$\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
答案
6. $\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。首先将已知根x=1代入原方程，可得到关于m的一元二次方程，再运用公式法求解该方程即可得到m的取值。具体步骤为：先代入x=1得到关于m的方程，再整理为一元二次方程一般形式，最后用公式法计算求解。
【解析】
解：
∵x=1是方程$x^2 + 3mx + m^2 = 0$的根
∴将x=1代入原方程，等式成立，可得：
$1^2 + 3m×1 + m^2 = 0$
整理为一元二次方程的一般形式：$m^2 + 3m + 1 = 0$
其中$a=1$，$b=3$，$c=1$
先计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 5＞0$
根据求根公式$m=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入数值计算得：
$m = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1} = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查方程根的性质的应用，求解时注意代入已知根后得到的是关于m的方程，运用公式法计算时不要漏掉“±”，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。首先将已知根x=1代入原方程，可得到关于m的一元二次方程，再运用公式法求解该方程即可得到m的取值。具体步骤为：先代入x=1得到关于m的方程，再整理为一元二次方程一般形式，最后用公式法计算求解。
【解析】
解：
∵x=1是方程$x^2 + 3mx + m^2 = 0$的根
∴将x=1代入原方程，等式成立，可得：
$1^2 + 3m×1 + m^2 = 0$
整理为一元二次方程的一般形式：$m^2 + 3m + 1 = 0$
其中$a=1$，$b=3$，$c=1$
先计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×1×1 = 5＞0$
根据求根公式$m=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入数值计算得：
$m = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1} = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查方程根的性质的应用，求解时注意代入已知根后得到的是关于m的方程，运用公式法计算时不要漏掉“±”，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
7. 用公式法解方程：
(1) $3x^2 + 2x - 2 = 0$；
(2) $2x^2 - 9x + 8 = 0$。
(1) $3x^2 + 2x - 2 = 0$；
(2) $2x^2 - 9x + 8 = 0$。
答案
7. 解（1）因为$a=3,\ b=2,\ c=-2$，
所以$\Delta=2^2 -4×3×(-2)=4+24=28＞0$. 所以$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{3}$.
所以$x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{3},\ x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$.
（2）因为$a=2,\ b=-9,\ c=8$，
所以$\Delta=(-9)^2 -4×2×8=17＞0$.
所以$x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4}$.
所以$x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},\ x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$.
所以$\Delta=2^2 -4×3×(-2)=4+24=28＞0$. 所以$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{3}$.
所以$x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{3},\ x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$.
（2）因为$a=2,\ b=-9,\ c=8$，
所以$\Delta=(-9)^2 -4×2×8=17＞0$.
所以$x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4}$.
所以$x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},\ x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$.
解析
【分析】
要使用公式法解一元二次方程，需按固定步骤思考：首先将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确对应找到$a、b、c$的取值，注意不要搞错系数的正负符号；接着计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，通过$\Delta$的正负判断方程是否有实数根；若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将计算结果化简为最简形式即可。
【解析】
(1) 对于方程$3x^2 + 2x - 2 = 0$：
可知$a=3,\ b=2,\ c=-2$，
计算判别式：$\Delta=2^2 -4×3×(-2)=4+24=28＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{3}$，
即$x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{3},\ x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$。
(2) 对于方程$2x^2 - 9x + 8 = 0$：
可知$a=2,\ b=-9,\ c=8$，
计算判别式：$\Delta=(-9)^2 -4×2×8=81-64=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4}$，
即$x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},\ x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{3},\ x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$
(2) $x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},\ x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式应用，二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，主要考查求根公式的掌握和基础运算能力，解题时需注意准确识别系数的正负，避免符号错误，最终结果要化简为最简形式。
【难度系数】
0.8
要使用公式法解一元二次方程，需按固定步骤思考：首先将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确对应找到$a、b、c$的取值，注意不要搞错系数的正负符号；接着计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，通过$\Delta$的正负判断方程是否有实数根；若$\Delta≥0$，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将计算结果化简为最简形式即可。
【解析】
(1) 对于方程$3x^2 + 2x - 2 = 0$：
可知$a=3,\ b=2,\ c=-2$，
计算判别式：$\Delta=2^2 -4×3×(-2)=4+24=28＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{3}$，
即$x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{3},\ x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$。
(2) 对于方程$2x^2 - 9x + 8 = 0$：
可知$a=2,\ b=-9,\ c=8$，
计算判别式：$\Delta=(-9)^2 -4×2×8=81-64=17＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：$x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4}$，
即$x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},\ x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-1+\sqrt{7}}{3},\ x_2=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$
(2) $x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},\ x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式应用，二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题型，主要考查求根公式的掌握和基础运算能力，解题时需注意准确识别系数的正负，避免符号错误，最终结果要化简为最简形式。
【难度系数】
0.8
8. 关于$x$的一元二次方程$mx^2 + mx + m - 1 = 0$有两个相等的实数根，则$m$的值为
$\frac{4}{3}$
.答案
8. $\frac{4}{3}$
解析
【分析】
首先明确题目给出的是一元二次方程且有两个相等的实数根，解题需兼顾两个核心条件：第一，一元二次方程的二次项系数不能为0，即$m≠0$；第二，一元二次方程有两个相等实根时，根的判别式$\Delta=0$。我们先确定方程中$a、b、c$的对应值，代入判别式公式列方程求解，最后结合二次项系数不为0的条件筛选出符合要求的$m$值即可。
【解析】
∵ 方程$mx^2 + mx + m - 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m ≠ 0$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中$a=m$，$b=m$，$c=m-1$，代入得：
$\Delta = m^2 - 4 × m × (m - 1) = 0$
展开整理：
$m^2 - 4m^2 + 4m = 0$
$-3m^2 + 4m = 0$
$m(-3m + 4) = 0$
解得$m_1=0$，$m_2=\frac{4}{3}$
又
∵ $m ≠ 0$，故舍去$m=0$
∴ $m$的值为$\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，结合根的判别式列方程求解，避免因忽略二次项系数的限制条件出现错解。
【难度系数】
0.7
首先明确题目给出的是一元二次方程且有两个相等的实数根，解题需兼顾两个核心条件：第一，一元二次方程的二次项系数不能为0，即$m≠0$；第二，一元二次方程有两个相等实根时，根的判别式$\Delta=0$。我们先确定方程中$a、b、c$的对应值，代入判别式公式列方程求解，最后结合二次项系数不为0的条件筛选出符合要求的$m$值即可。
【解析】
∵ 方程$mx^2 + mx + m - 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m ≠ 0$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中$a=m$，$b=m$，$c=m-1$，代入得：
$\Delta = m^2 - 4 × m × (m - 1) = 0$
展开整理：
$m^2 - 4m^2 + 4m = 0$
$-3m^2 + 4m = 0$
$m(-3m + 4) = 0$
解得$m_1=0$，$m_2=\frac{4}{3}$
又
∵ $m ≠ 0$，故舍去$m=0$
∴ $m$的值为$\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，结合根的判别式列方程求解，避免因忽略二次项系数的限制条件出现错解。
【难度系数】
0.7
9. 规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$. 例如
$\begin{vmatrix}1&2\\-3&4\end{vmatrix}=1×4 -2×(-3)=10$. 若$\begin{vmatrix}2x^2 -3&x\\6&1\end{vmatrix}=0$，则$x=$ ______ .
$\begin{vmatrix}1&2\\-3&4\end{vmatrix}=1×4 -2×(-3)=10$. 若$\begin{vmatrix}2x^2 -3&x\\6&1\end{vmatrix}=0$，则$x=$ ______ .
答案
9. $\frac{3\pm\sqrt{15}}{2}$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题型，解题思路分为三步：首先准确理解题干给出的二阶行列式运算规则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$；其次将待求行列式的对应项代入运算规则，转化为关于$x$的一元二次方程；最后将方程整理为一般形式，用公式法求解即可得到$x$的值。
【解析】
根据二阶行列式的运算规则展开式子：
$\begin{vmatrix}2x^2 -3&x\\6&1\end{vmatrix}=(2x^2 - 3)×1 - x×6 = 0$
整理得一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 6x - 3 = 0$
其中$a=2$，$b=-6$，$c=-3$，先计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×2×(-3) = 36 + 24 = 60 ＞ 0$
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算：
$x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{2×2}=\frac{6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{2}$
【答案】
$\frac{3\pm\sqrt{15}}{2}$
【知识点】
新定义运算，公式法解一元二次方程，二次根式化简
【点评】
本题结合新定义考察一元二次方程的解法，解题关键是正确理解新运算规则，将陌生形式转化为熟悉的方程求解，侧重考察知识迁移能力和基础运算能力，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题型，解题思路分为三步：首先准确理解题干给出的二阶行列式运算规则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$；其次将待求行列式的对应项代入运算规则，转化为关于$x$的一元二次方程；最后将方程整理为一般形式，用公式法求解即可得到$x$的值。
【解析】
根据二阶行列式的运算规则展开式子：
$\begin{vmatrix}2x^2 -3&x\\6&1\end{vmatrix}=(2x^2 - 3)×1 - x×6 = 0$
整理得一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 6x - 3 = 0$
其中$a=2$，$b=-6$，$c=-3$，先计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×2×(-3) = 36 + 24 = 60 ＞ 0$
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算：
$x=\frac{6\pm\sqrt{60}}{2×2}=\frac{6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{2}$
【答案】
$\frac{3\pm\sqrt{15}}{2}$
【知识点】
新定义运算，公式法解一元二次方程，二次根式化简
【点评】
本题结合新定义考察一元二次方程的解法，解题关键是正确理解新运算规则，将陌生形式转化为熟悉的方程求解，侧重考察知识迁移能力和基础运算能力，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
