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1. (★)某小区在做规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为$900\ \mathrm{m}^2$的矩形绿地，并且长比宽多$10\ \mathrm{m}$. 设绿地的宽为$x\ \mathrm{m}$，则长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$. 根据题意，可列方程为________.
答案
解：
绿地的宽为$x\ \mathrm{m}$，长比宽多$10\ \mathrm{m}$，则长为$\boldsymbol{(x+10)}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积=长×宽，且绿地面积为$900\ \mathrm{m}^2$，可列方程为$\boldsymbol{x(x+10)=900}$。
绿地的宽为$x\ \mathrm{m}$，长比宽多$10\ \mathrm{m}$，则长为$\boldsymbol{(x+10)}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积=长×宽，且绿地面积为$900\ \mathrm{m}^2$，可列方程为$\boldsymbol{x(x+10)=900}$。
解析
【分析】
解题时首先根据题目中长和宽的数量关系表示出长：已知宽为x m，长比宽多10 m，用宽的长度加10即可得到长的表达式；接下来回忆矩形面积计算公式，矩形面积=长×宽，结合题目给出的绿地面积为900 m²，将表示出的长、宽以及已知面积代入公式，就能列出对应的方程。
【解析】
1. 求长的表达式：
已知绿地的宽为$x\ \mathrm{m}$，长比宽多$10\ \mathrm{m}$，因此长为$(x+10)\ \mathrm{m}$。
2. 列方程：
根据矩形面积公式$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知绿地面积为$900\ \mathrm{m}^2$，将长、宽代入公式可得：
$x(x+10)=900$
【答案】
$\boldsymbol{(x+10)}$；$\boldsymbol{x(x+10)=900}$
【知识点】
列代数式，矩形面积计算，实际问题列方程
【点评】
本题属于基础类应用题，重点考查数量关系的转换能力以及结合几何公式列方程的能力，理清长和宽的和差关系、牢记矩形面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据题目中长和宽的数量关系表示出长：已知宽为x m，长比宽多10 m，用宽的长度加10即可得到长的表达式；接下来回忆矩形面积计算公式，矩形面积=长×宽，结合题目给出的绿地面积为900 m²，将表示出的长、宽以及已知面积代入公式，就能列出对应的方程。
【解析】
1. 求长的表达式：
已知绿地的宽为$x\ \mathrm{m}$，长比宽多$10\ \mathrm{m}$，因此长为$(x+10)\ \mathrm{m}$。
2. 列方程：
根据矩形面积公式$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知绿地面积为$900\ \mathrm{m}^2$，将长、宽代入公式可得：
$x(x+10)=900$
【答案】
$\boldsymbol{(x+10)}$；$\boldsymbol{x(x+10)=900}$
【知识点】
列代数式，矩形面积计算，实际问题列方程
【点评】
本题属于基础类应用题，重点考查数量关系的转换能力以及结合几何公式列方程的能力，理清长和宽的和差关系、牢记矩形面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
2. (★)用一根长为 40 m 的细绳,能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域?
设矩形的两邻边的方法有多种.例如:
(1)设矩形的一边长为 x m,由矩形的周长为 40 m,可得此边的邻边长为 m,由矩形的面积为 96 m²,得.
(2)设矩形的一边长为 x m,由矩形的面积为 96 m²,可得此边的邻边长为 m,由矩形的周长为 40 m,得.
(3)设矩形的一边长为(10+x) m,由矩形的周长为 40 m,可得此边的邻边长为 m,由矩形的面积为 96 m²,得.
(4)比较以上设未知数的方法,和同学交流一下它们各自的特点,并求解每个方程.
设矩形的两邻边的方法有多种.例如:
(1)设矩形的一边长为 x m,由矩形的周长为 40 m,可得此边的邻边长为 m,由矩形的面积为 96 m²,得.
(2)设矩形的一边长为 x m,由矩形的面积为 96 m²,可得此边的邻边长为 m,由矩形的周长为 40 m,得.
(3)设矩形的一边长为(10+x) m,由矩形的周长为 40 m,可得此边的邻边长为 m,由矩形的面积为 96 m²,得.
(4)比较以上设未知数的方法,和同学交流一下它们各自的特点,并求解每个方程.
答案
解：
(1) 邻边长为$\boldsymbol{(20 - x)}$ m，得方程$\boldsymbol{x(20 - x) = 96}$。
(2) 邻边长为$\boldsymbol{\dfrac{96}{x}}$ m，得方程$\boldsymbol{2(x + \dfrac{96}{x}) = 40}$。
(3) 邻边长为$\boldsymbol{(10 - x)}$ m，得方程$\boldsymbol{(10 + x)(10 - x) = 96}$。
(4) 求解各方程：
① 解方程$x(20 - x) = 96$：
整理得：$x^2 - 20x + 96 = 0$
因式分解得：$(x - 8)(x - 12) = 0$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = 12$
两个根均为正数，符合实际意义。
② 解方程$2(x + \dfrac{96}{x}) = 40$：
方程两边同乘$x$（$x＞0$）得：$2x^2 + 192 = 40x$
整理得：$x^2 - 20x + 96 = 0$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = 12$
两个根均为正数，符合实际意义。
③ 解方程$(10 + x)(10 - x) = 96$：
整理得：$100 - x^2 = 96$
即$x^2 = 4$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = -2$
矩形边长为正，舍去$x_2=-2$，得$x=2$。
综上，可得矩形两邻边长分别为12 m和8 m，因此长为40 m的细绳能围成面积为96 m²的矩形区域。
(1) 邻边长为$\boldsymbol{(20 - x)}$ m，得方程$\boldsymbol{x(20 - x) = 96}$。
(2) 邻边长为$\boldsymbol{\dfrac{96}{x}}$ m，得方程$\boldsymbol{2(x + \dfrac{96}{x}) = 40}$。
(3) 邻边长为$\boldsymbol{(10 - x)}$ m，得方程$\boldsymbol{(10 + x)(10 - x) = 96}$。
(4) 求解各方程：
① 解方程$x(20 - x) = 96$：
整理得：$x^2 - 20x + 96 = 0$
因式分解得：$(x - 8)(x - 12) = 0$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = 12$
两个根均为正数，符合实际意义。
② 解方程$2(x + \dfrac{96}{x}) = 40$：
方程两边同乘$x$（$x＞0$）得：$2x^2 + 192 = 40x$
整理得：$x^2 - 20x + 96 = 0$
解得：$x_1 = 8$，$x_2 = 12$
两个根均为正数，符合实际意义。
③ 解方程$(10 + x)(10 - x) = 96$：
整理得：$100 - x^2 = 96$
即$x^2 = 4$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = -2$
矩形边长为正，舍去$x_2=-2$，得$x=2$。
综上，可得矩形两邻边长分别为12 m和8 m，因此长为40 m的细绳能围成面积为96 m²的矩形区域。
解析
【分析】
本题是一元二次方程在矩形周长、面积问题中的应用，解题核心是结合矩形周长、面积公式，根据不同的设元方式表示对应未知量，再列方程求解，最后验证根是否符合“边长为正”的实际要求：
1. 首先明确矩形的基本公式：周长=2×(邻边长度和)，面积=邻边长度的乘积；由周长40m可直接得到矩形邻边和为20m。
2. 第(1)问：已知一边长x，用邻边和直接减x即可得到邻边长，再代入面积公式列方程；
3. 第(2)问：已知面积96m²，用面积除以已知边长x即可得到邻边长，再代入周长公式列方程；
4. 第(3)问：已知一边长为(10+x)m，用邻边和20减去该边长得到邻边长，再代入面积公式列方程，这种对称设元可利用平方差公式简化计算；
5. 求解所有方程后，舍去负根，若存在符合要求的正根，说明可以围成对应面积的矩形。
【解析】
(1) 矩形邻边和为$40÷2=20\ \mathrm{m}$，一边长为$x\ \mathrm{m}$，则邻边长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，根据面积公式得方程：$x(20-x)=96$。
解方程$x(20-x)=96$：
整理得$x^2-20x+96=0$，
因式分解得$(x-8)(x-12)=0$，
解得$x_1=8$，$x_2=12$，两个根均为正数，符合实际意义。
(2) 矩形面积为$96\ \mathrm{m}^2$，一边长为$x\ \mathrm{m}$，则邻边长为$\dfrac{96}{x}\ \mathrm{m}$，根据周长公式得方程：$2(x+\dfrac{96}{x})=40$。
解方程$2(x+\dfrac{96}{x})=40$：
因为边长为正，$x＞0$，方程两边同乘$x$得$2x^2+192=40x$，
整理得$x^2-20x+96=0$，
解得$x_1=8$，$x_2=12$，两个根均为正数，符合实际意义。
(3) 矩形邻边和为20m，一边长为$(10+x)\ \mathrm{m}$，则邻边长为$20-(10+x)=(10-x)\ \mathrm{m}$，根据面积公式得方程：$(10+x)(10-x)=96$。
解方程$(10+x)(10-x)=96$：
利用平方差公式整理得$100-x^2=96$，即$x^2=4$，
解得$x_1=2$，$x_2=-2$，矩形边长为正，舍去$x_2=-2$，得$x=2$。
综上，求得矩形两邻边长分别为8m和12m，均为正数，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20-x}$，$\boldsymbol{x(20-x)=96}$；
(2) $\boldsymbol{\dfrac{96}{x}}$，$\boldsymbol{2(x+\dfrac{96}{x})=40}$；
(3) $\boldsymbol{10-x}$，$\boldsymbol{(10+x)(10-x)=96}$；
(4) 方程①的解为$x_1=8$，$x_2=12$；方程②的解为$x_1=8$，$x_2=12$；方程③的解为$x=2$（舍去负根）；长40m的细绳能围成面积为96m²的矩形区域，矩形两邻边长分别为8m和12m。
【知识点】
矩形周长与面积计算，一元二次方程解法，列方程解应用题
【点评】
本题通过三种不同的设元方式，引导学生体会不同设元思路的特点：第一种设元思路直接，符合常规解题逻辑；第二种设元从面积出发，会得到分式方程，求解时需注意验根；第三种对称设元利用平方差公式简化了计算过程，解方程更便捷。同时本题也考察了实际问题中根的取舍规则，即几何边长必须为正数。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程在矩形周长、面积问题中的应用，解题核心是结合矩形周长、面积公式，根据不同的设元方式表示对应未知量，再列方程求解，最后验证根是否符合“边长为正”的实际要求：
1. 首先明确矩形的基本公式：周长=2×(邻边长度和)，面积=邻边长度的乘积；由周长40m可直接得到矩形邻边和为20m。
2. 第(1)问：已知一边长x，用邻边和直接减x即可得到邻边长，再代入面积公式列方程；
3. 第(2)问：已知面积96m²，用面积除以已知边长x即可得到邻边长，再代入周长公式列方程；
4. 第(3)问：已知一边长为(10+x)m，用邻边和20减去该边长得到邻边长，再代入面积公式列方程，这种对称设元可利用平方差公式简化计算；
5. 求解所有方程后，舍去负根，若存在符合要求的正根，说明可以围成对应面积的矩形。
【解析】
(1) 矩形邻边和为$40÷2=20\ \mathrm{m}$，一边长为$x\ \mathrm{m}$，则邻边长为$(20-x)\ \mathrm{m}$，根据面积公式得方程：$x(20-x)=96$。
解方程$x(20-x)=96$：
整理得$x^2-20x+96=0$，
因式分解得$(x-8)(x-12)=0$，
解得$x_1=8$，$x_2=12$，两个根均为正数，符合实际意义。
(2) 矩形面积为$96\ \mathrm{m}^2$，一边长为$x\ \mathrm{m}$，则邻边长为$\dfrac{96}{x}\ \mathrm{m}$，根据周长公式得方程：$2(x+\dfrac{96}{x})=40$。
解方程$2(x+\dfrac{96}{x})=40$：
因为边长为正，$x＞0$，方程两边同乘$x$得$2x^2+192=40x$，
整理得$x^2-20x+96=0$，
解得$x_1=8$，$x_2=12$，两个根均为正数，符合实际意义。
(3) 矩形邻边和为20m，一边长为$(10+x)\ \mathrm{m}$，则邻边长为$20-(10+x)=(10-x)\ \mathrm{m}$，根据面积公式得方程：$(10+x)(10-x)=96$。
解方程$(10+x)(10-x)=96$：
利用平方差公式整理得$100-x^2=96$，即$x^2=4$，
解得$x_1=2$，$x_2=-2$，矩形边长为正，舍去$x_2=-2$，得$x=2$。
综上，求得矩形两邻边长分别为8m和12m，均为正数，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20-x}$，$\boldsymbol{x(20-x)=96}$；
(2) $\boldsymbol{\dfrac{96}{x}}$，$\boldsymbol{2(x+\dfrac{96}{x})=40}$；
(3) $\boldsymbol{10-x}$，$\boldsymbol{(10+x)(10-x)=96}$；
(4) 方程①的解为$x_1=8$，$x_2=12$；方程②的解为$x_1=8$，$x_2=12$；方程③的解为$x=2$（舍去负根）；长40m的细绳能围成面积为96m²的矩形区域，矩形两邻边长分别为8m和12m。
【知识点】
矩形周长与面积计算，一元二次方程解法，列方程解应用题
【点评】
本题通过三种不同的设元方式，引导学生体会不同设元思路的特点：第一种设元思路直接，符合常规解题逻辑；第二种设元从面积出发，会得到分式方程，求解时需注意验根；第三种对称设元利用平方差公式简化了计算过程，解方程更便捷。同时本题也考察了实际问题中根的取舍规则，即几何边长必须为正数。
【难度系数】
0.8
3. (★)一个矩形的长比宽多4 cm，面积为$60\ \mathrm{cm}^2$，则这个矩形的周长是 cm.
答案
$\boldsymbol{32}$
解析
【分析】
这是一道结合矩形性质的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先根据长与宽的数量关系设未知数，通常设较小的量（宽）为$ x $，即可用含$ x $的式子表示长；再以矩形面积公式作为等量关系列一元二次方程；接着解方程，注意边长为正数，要舍去不符合实际意义的负根；最后根据求得的长和宽，代入矩形周长公式计算即可。
【解析】
设矩形的宽为$ x\ \mathrm{cm} $，则长为$ (x+4)\ \mathrm{cm} $。
根据矩形面积公式列方程：
$ x(x+4)=60 $
整理得：$ x^2 + 4x - 60 = 0 $
因式分解得：$ (x+10)(x-6)=0 $
解得：$ x_1=6 $，$ x_2=-10 $（边长为正数，舍去负根）
因此矩形的宽为$ 6\ \mathrm{cm} $，长为$ 6+4=10\ \mathrm{cm} $。
矩形周长为：$ 2×(10+6)=32\ \mathrm{cm} $
【答案】
$\boldsymbol{32}$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；矩形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查方程思想在几何问题中的运用，解题关键是找准面积等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.85
这是一道结合矩形性质的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先根据长与宽的数量关系设未知数，通常设较小的量（宽）为$ x $，即可用含$ x $的式子表示长；再以矩形面积公式作为等量关系列一元二次方程；接着解方程，注意边长为正数，要舍去不符合实际意义的负根；最后根据求得的长和宽，代入矩形周长公式计算即可。
【解析】
设矩形的宽为$ x\ \mathrm{cm} $，则长为$ (x+4)\ \mathrm{cm} $。
根据矩形面积公式列方程：
$ x(x+4)=60 $
整理得：$ x^2 + 4x - 60 = 0 $
因式分解得：$ (x+10)(x-6)=0 $
解得：$ x_1=6 $，$ x_2=-10 $（边长为正数，舍去负根）
因此矩形的宽为$ 6\ \mathrm{cm} $，长为$ 6+4=10\ \mathrm{cm} $。
矩形周长为：$ 2×(10+6)=32\ \mathrm{cm} $
【答案】
$\boldsymbol{32}$
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；矩形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查方程思想在几何问题中的运用，解题关键是找准面积等量关系列方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.85
4. (★)已知一个直角三角形的两条直角边长的和是14，面积是24，则较长直角边的长为
【 】
A.6
B.8
C.7
D.10
【 】
A.6
B.8
C.7
D.10
答案
B
解析
【分析】
本题可通过方程思想求解，首先设其中一条直角边长为x，结合两条直角边长的和为14，可将另一条直角边长表示为(14-x)，再根据直角三角形的面积公式列出一元二次方程，解方程得到两条直角边的长度后，选取较长的边即可得到答案。
【解析】
设一条直角边长为$ x $，则另一条直角边长为$ 14 - x $，根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(14 - x) = 24$
方程两边同乘2得：$ x(14 - x) = 48 $
整理为标准一元二次方程形式：$ x^2 - 14x + 48 = 0 $
因式分解得：$ (x - 6)(x - 8) = 0 $
解得：$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 8 $
则两条直角边长分别为6和8，较长直角边的长为8。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，直角三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，考查将几何问题转化为方程问题的能力，解题核心是熟练运用直角三角形面积公式列方程，准确求解一元二次方程后判断边长即可。
【难度系数】
0.8
本题可通过方程思想求解，首先设其中一条直角边长为x，结合两条直角边长的和为14，可将另一条直角边长表示为(14-x)，再根据直角三角形的面积公式列出一元二次方程，解方程得到两条直角边的长度后，选取较长的边即可得到答案。
【解析】
设一条直角边长为$ x $，则另一条直角边长为$ 14 - x $，根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(14 - x) = 24$
方程两边同乘2得：$ x(14 - x) = 48 $
整理为标准一元二次方程形式：$ x^2 - 14x + 48 = 0 $
因式分解得：$ (x - 6)(x - 8) = 0 $
解得：$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 8 $
则两条直角边长分别为6和8，较长直角边的长为8。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，直角三角形面积计算
【点评】
本题是基础题型，考查将几何问题转化为方程问题的能力，解题核心是熟练运用直角三角形面积公式列方程，准确求解一元二次方程后判断边长即可。
【难度系数】
0.8
5. (★)如图,在长为100 m,宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7 644 m²,则道路的宽应为多少米?设道路的宽应为x m,则可列方程为 【 】
A.$100 × 80 - 100x - 80x = 7644$
B.$(100 - x)(80 - x) + x^2 = 7644$
C.$(100 - x)(80 - x) = 7644$
D.$100x + 80x = 356$
A.$100 × 80 - 100x - 80x = 7644$
B.$(100 - x)(80 - x) + x^2 = 7644$
C.$(100 - x)(80 - x) = 7644$
D.$100x + 80x = 356$
答案
C
解析
【分析】
这是一道矩形场地修道路的方程列写题，我们可以通过平移思路简化问题：因为两条道路宽度相同且互相垂直，可将纵向道路平移到矩形左侧、横向道路平移到矩形上方，此时剩余绿化区域会拼成一个完整的新矩形，只需求出新矩形的长和宽，结合已知绿化面积即可列出方程；也可以用“总面积减道路面积等于绿化面积”的思路，注意两条道路交叉的正方形区域被重复减了1次，需要补回，两种思路最终得到的方程一致。
【解析】
方法1（平移法）：
将两条垂直道路向矩形边缘平移后，剩余绿化部分是一个新矩形，它的长为$(100-x)\mathrm{m}$，宽为$(80-x)\mathrm{m}$。
根据矩形面积=长×宽，已知绿化面积为$7644\mathrm{m}^2$，可列方程：
$(100-x)(80-x)=7644$
方法2（总面积减道路面积法）：
矩形场地总面积为$100×80\mathrm{m}^2$，两条道路的面积和为$100x+80x-x^2\mathrm{m}^2$（交叉部分$x^2$被重复计算1次，因此减去）。
根据“总面积-道路面积=绿化面积”列方程：
$100×80-(100x+80x-x^2)=7644$
整理后同样得到$(100-x)(80-x)=7644$。
对比选项，只有C符合推导结果。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
3. 图形平移的应用
【点评】
本题是面积类方程应用的基础题型，核心是掌握平移法简化不规则区域的面积计算，注意直接计算道路面积时不要重复扣除交叉重叠的部分，属于一元二次方程应用的常考类型。
【难度系数】
0.8
这是一道矩形场地修道路的方程列写题，我们可以通过平移思路简化问题：因为两条道路宽度相同且互相垂直，可将纵向道路平移到矩形左侧、横向道路平移到矩形上方，此时剩余绿化区域会拼成一个完整的新矩形，只需求出新矩形的长和宽，结合已知绿化面积即可列出方程；也可以用“总面积减道路面积等于绿化面积”的思路，注意两条道路交叉的正方形区域被重复减了1次，需要补回，两种思路最终得到的方程一致。
【解析】
方法1（平移法）：
将两条垂直道路向矩形边缘平移后，剩余绿化部分是一个新矩形，它的长为$(100-x)\mathrm{m}$，宽为$(80-x)\mathrm{m}$。
根据矩形面积=长×宽，已知绿化面积为$7644\mathrm{m}^2$，可列方程：
$(100-x)(80-x)=7644$
方法2（总面积减道路面积法）：
矩形场地总面积为$100×80\mathrm{m}^2$，两条道路的面积和为$100x+80x-x^2\mathrm{m}^2$（交叉部分$x^2$被重复计算1次，因此减去）。
根据“总面积-道路面积=绿化面积”列方程：
$100×80-(100x+80x-x^2)=7644$
整理后同样得到$(100-x)(80-x)=7644$。
对比选项，只有C符合推导结果。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
3. 图形平移的应用
【点评】
本题是面积类方程应用的基础题型，核心是掌握平移法简化不规则区域的面积计算，注意直接计算道路面积时不要重复扣除交叉重叠的部分，属于一元二次方程应用的常考类型。
【难度系数】
0.8
