登录
15. (★★)(2025·南充)设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两个根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
解：(1) 将原方程整理为一般形式：
$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$
由一元二次方程根与系数的关系，得 $x_1 + x_2 = 3$
把$x_1=-1$代入上式，得 $-1 + x_2 = 3$，解得 $x_2=4$。
将$x_1=-1$代入原方程，得 $(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，
解得 $m=\pm\sqrt{6}$。
(2) 证明：由根与系数的关系得，$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$
则 $(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1$
$= x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$
$= (2 - m^2) - 3 + 1$
$= -m^2$
∵ 对任意实数$m$，都有$m^2 ≥ 0$，
∴ $-m^2 ≤ 0$，即 $(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$。
$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$
由一元二次方程根与系数的关系，得 $x_1 + x_2 = 3$
把$x_1=-1$代入上式，得 $-1 + x_2 = 3$，解得 $x_2=4$。
将$x_1=-1$代入原方程，得 $(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，
解得 $m=\pm\sqrt{6}$。
(2) 证明：由根与系数的关系得，$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$
则 $(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1$
$= x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$
$= (2 - m^2) - 3 + 1$
$= -m^2$
∵ 对任意实数$m$，都有$m^2 ≥ 0$，
∴ $-m^2 ≤ 0$，即 $(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$。
解析
【分析】
(1) 第一小问先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根与系数的关系可直接得到两根之和，已知其中一个根就能快速求出另一个根，再将已知根代入原方程即可求出m的值。
(2) 第二小问要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将该代数式展开整理，再用根与系数的关系将$x_1+x_2$、$x_1x_2$替换为含m的表达式，化简后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 先将原方程整理为一般形式：
$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$
根据一元二次方程根与系数的关系，得两根之和：$x_1 + x_2 = 3$
把$x_1=-1$代入上式，得：$-1 + x_2 = 3$，解得$x_2=4$。
再将$x_1=-1$代入原方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
(2) 证明：由一元二次方程根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$
将待证式左边展开变形：
$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$
代入根与系数的结果化简：
$= (2 - m^2) - 3 + 1 = -m^2$
∵ 对任意实数$m$，都有$m^2 ≥ 0$，
∴ $-m^2 ≤ 0$，即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的常规应用题型，第一问侧重根与系数关系的基础应用，计算难度较低；第二问需要掌握代数式的展开变形技巧，结合非负数的性质即可求证，整体考察内容均为核心基础知识点，是对基础掌握程度的常规检验。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根与系数的关系可直接得到两根之和，已知其中一个根就能快速求出另一个根，再将已知根代入原方程即可求出m的值。
(2) 第二小问要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将该代数式展开整理，再用根与系数的关系将$x_1+x_2$、$x_1x_2$替换为含m的表达式，化简后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 先将原方程整理为一般形式：
$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$
根据一元二次方程根与系数的关系，得两根之和：$x_1 + x_2 = 3$
把$x_1=-1$代入上式，得：$-1 + x_2 = 3$，解得$x_2=4$。
再将$x_1=-1$代入原方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
(2) 证明：由一元二次方程根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$
将待证式左边展开变形：
$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$
代入根与系数的结果化简：
$= (2 - m^2) - 3 + 1 = -m^2$
∵ 对任意实数$m$，都有$m^2 ≥ 0$，
∴ $-m^2 ≤ 0$，即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的常规应用题型，第一问侧重根与系数关系的基础应用，计算难度较低；第二问需要掌握代数式的展开变形技巧，结合非负数的性质即可求证，整体考察内容均为核心基础知识点，是对基础掌握程度的常规检验。
【难度系数】
0.7
16. (★★)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (m+2)x + m - 1 = 0 $.
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,这个方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果这个方程的两个实数根为 $ x_1, x_2 $,且 $ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9 $,求 $ m $ 的值.
(1)求证:无论 $ m $ 取何值,这个方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果这个方程的两个实数根为 $ x_1, x_2 $,且 $ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9 $,求 $ m $ 的值.
答案
(1) 证明：
在一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$中，
$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$，
判别式
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac\\&=[-(m+2)]^2 - 4×1×(m-1)\\&=m^2+4m+4-4m+4\\&=m^2+8\end{aligned}$
$\because$ 无论$m$取何值，$m^2≥0$，
$\therefore m^2+8≥8＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$ 无论$m$取何值，这个方程都有两个不相等的实数根。
---
(2) 解：
由一元二次方程根与系数的关系，得
$x_1+x_2 = m+2$，$x_1x_2 = m-1$。
$\because x_1^2+x_2^2 -x_1x_2 =9$，
变形得$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2$，
代入得：
$\begin{aligned}(m+2)^2 - 3(m-1) &=9\\m^2+4m+4-3m+3&=9\\m^2+m-2&=0\end{aligned}$
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，
解得$m_1=-2$，$m_2=1$。
$\therefore m$的值为$-2$或$1$。
在一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$中，
$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$，
判别式
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac\\&=[-(m+2)]^2 - 4×1×(m-1)\\&=m^2+4m+4-4m+4\\&=m^2+8\end{aligned}$
$\because$ 无论$m$取何值，$m^2≥0$，
$\therefore m^2+8≥8＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$ 无论$m$取何值，这个方程都有两个不相等的实数根。
---
(2) 解：
由一元二次方程根与系数的关系，得
$x_1+x_2 = m+2$，$x_1x_2 = m-1$。
$\because x_1^2+x_2^2 -x_1x_2 =9$，
变形得$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2$，
代入得：
$\begin{aligned}(m+2)^2 - 3(m-1) &=9\\m^2+4m+4-3m+3&=9\\m^2+m-2&=0\end{aligned}$
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，
解得$m_1=-2$，$m_2=1$。
$\therefore m$的值为$-2$或$1$。
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，核心是证明判别式Δ恒大于0。首先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac的公式化简，再结合平方的非负性判断Δ的符号即可。
(2) 已知两根满足的代数式，需利用一元二次方程根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积关于m的表达式，再将所求代数式用完全平方公式变形为含有两根和、两根积的形式，整体代入后得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值；因第一问已证明Δ恒大于0，故求出的m值均有效，无需额外验根。
【解析】
(1) 证明：
在一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$中，
$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$，
判别式
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac\\&=[-(m+2)]^2 - 4×1×(m-1)\\&=m^2+4m+4-4m+4\\&=m^2+8\end{aligned}$
$\because$ 无论$m$取何值，$m^2≥0$，
$\therefore m^2+8≥8＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$ 无论$m$取何值，这个方程都有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由一元二次方程根与系数的关系，得
$x_1+x_2 = m+2$，$x_1x_2 = m-1$。
$\because x_1^2+x_2^2 -x_1x_2 =9$，
变形得$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2$，
代入得：
$\begin{aligned}(m+2)^2 - 3(m-1) &=9\\m^2+4m+4-3m+3&=9\\m^2+m-2&=0\end{aligned}$
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，
解得$m_1=-2$，$m_2=1$。
【答案】
(1) 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根，得证；
(2) $m$的值为$-2$或$1$。
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，第一问侧重考查根的判别式的应用，掌握判别式与根的个数的对应关系是解题前提；第二问侧重考查根与系数关系的应用，核心是将含两根的代数式通过恒等变形转化为可整体代入的形式，解题思路清晰，是一元二次方程部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程无论m取何值都有两个不相等的实数根，核心是证明判别式Δ恒大于0。首先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac的公式化简，再结合平方的非负性判断Δ的符号即可。
(2) 已知两根满足的代数式，需利用一元二次方程根与系数的关系，先写出两根之和、两根之积关于m的表达式，再将所求代数式用完全平方公式变形为含有两根和、两根积的形式，整体代入后得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值；因第一问已证明Δ恒大于0，故求出的m值均有效，无需额外验根。
【解析】
(1) 证明：
在一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$中，
$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$，
判别式
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac\\&=[-(m+2)]^2 - 4×1×(m-1)\\&=m^2+4m+4-4m+4\\&=m^2+8\end{aligned}$
$\because$ 无论$m$取何值，$m^2≥0$，
$\therefore m^2+8≥8＞0$，即$\Delta＞0$，
$\therefore$ 无论$m$取何值，这个方程都有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由一元二次方程根与系数的关系，得
$x_1+x_2 = m+2$，$x_1x_2 = m-1$。
$\because x_1^2+x_2^2 -x_1x_2 =9$，
变形得$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2$，
代入得：
$\begin{aligned}(m+2)^2 - 3(m-1) &=9\\m^2+4m+4-3m+3&=9\\m^2+m-2&=0\end{aligned}$
因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，
解得$m_1=-2$，$m_2=1$。
【答案】
(1) 无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根，得证；
(2) $m$的值为$-2$或$1$。
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题型，第一问侧重考查根的判别式的应用，掌握判别式与根的个数的对应关系是解题前提；第二问侧重考查根与系数关系的应用，核心是将含两根的代数式通过恒等变形转化为可整体代入的形式，解题思路清晰，是一元二次方程部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
17. (★★★)已知实数$m,n$满足$m^2 -7m +2=0$和$n^2 -7n +2=0$, 则$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值为.
答案
解：
分两种情况讨论：
1. 当$m = n$时，
$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = 1 + 1 = 2$。
2. 当$m ≠ n$时，
实数$m$、$n$是一元二次方程$x^2 -7x +2 =0$的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系，得：
$m + n =7$，$mn=2$，
则$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{(m+n)^2 - 2mn}{mn}$，
代入数值计算得：$\frac{7^2 - 2×2}{2} = \frac{49 -4}{2} = \frac{45}{2}$。
综上，$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值为$2$或$\frac{45}{2}$。
分两种情况讨论：
1. 当$m = n$时，
$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = 1 + 1 = 2$。
2. 当$m ≠ n$时，
实数$m$、$n$是一元二次方程$x^2 -7x +2 =0$的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系，得：
$m + n =7$，$mn=2$，
则$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{(m+n)^2 - 2mn}{mn}$，
代入数值计算得：$\frac{7^2 - 2×2}{2} = \frac{49 -4}{2} = \frac{45}{2}$。
综上，$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值为$2$或$\frac{45}{2}$。
解析
【分析】
拿到题目首先观察到m和n满足形式完全相同的一元二次方程，此时需分两种情况讨论：①若m=n，可直接代入所求式子计算；②若m≠n，则m、n是方程$x^2-7x+2=0$的两个不相等的实数根，可利用一元二次方程根与系数的关系得到m+n与mn的值，再将所求分式通分变形，用m+n和mn整体代入计算即可。解题时注意不要遗漏m=n的情况，避免漏解。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当$m = n$时，
$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = 1 + 1 = 2$。
2. 当$m ≠ n$时，
由题意可知，实数$m$、$n$是一元二次方程$x^2 -7x +2 =0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：
$m + n =7$，$mn=2$，
先对所求式子变形：$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{(m+n)^2 - 2mn}{mn}$，
将$m + n =7$，$mn=2$代入得：$\frac{7^2 - 2×2}{2} = \frac{49 -4}{2} = \frac{45}{2}$。
综上，$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值为$2$或$\frac{45}{2}$。
【答案】
$2$或$\frac{45}{2}$
【知识点】
韦达定理；分式化简；分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略$m=n$的情况，直接默认两数为方程的两个不等根，仅算出$\frac{45}{2}$导致漏解。解题时要注意题干未明确两个实数不相等时，需全面考虑所有可能的情况，同时要熟练掌握分式的通分变形及完全平方公式的恒等变形，灵活运用韦达定理简化计算。
【难度系数】
0.6
拿到题目首先观察到m和n满足形式完全相同的一元二次方程，此时需分两种情况讨论：①若m=n，可直接代入所求式子计算；②若m≠n，则m、n是方程$x^2-7x+2=0$的两个不相等的实数根，可利用一元二次方程根与系数的关系得到m+n与mn的值，再将所求分式通分变形，用m+n和mn整体代入计算即可。解题时注意不要遗漏m=n的情况，避免漏解。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当$m = n$时，
$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = 1 + 1 = 2$。
2. 当$m ≠ n$时，
由题意可知，实数$m$、$n$是一元二次方程$x^2 -7x +2 =0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：
$m + n =7$，$mn=2$，
先对所求式子变形：$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{(m+n)^2 - 2mn}{mn}$，
将$m + n =7$，$mn=2$代入得：$\frac{7^2 - 2×2}{2} = \frac{49 -4}{2} = \frac{45}{2}$。
综上，$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值为$2$或$\frac{45}{2}$。
【答案】
$2$或$\frac{45}{2}$
【知识点】
韦达定理；分式化简；分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略$m=n$的情况，直接默认两数为方程的两个不等根，仅算出$\frac{45}{2}$导致漏解。解题时要注意题干未明确两个实数不相等时，需全面考虑所有可能的情况，同时要熟练掌握分式的通分变形及完全平方公式的恒等变形，灵活运用韦达定理简化计算。
【难度系数】
0.6
18. (★★★)(2025·泸州)若一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的两个根为$α,β$,则$2α^2 - 3α + 3β$的值为.
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根α代入原方程，得到含α的代数式的等量关系，对所求式子进行降次化简；化简后会出现两根和的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和，整体代入化简后的式子即可得到结果，无需单独求解两根的具体值，可简化计算。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的根，
∴ 将x=α代入方程得：$2α^2 - 6α - 1 = 0$，移项可得$2α^2 = 6α + 1$。
将$2α^2 = 6α + 1$代入所求代数式：
$2α^2 - 3α + 3β = (6α + 1) - 3α + 3β = 3α + 3β + 1 = 3(α + β) + 1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$，两根α、β满足：
$α + β = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{2} = 3$。
将$α + β = 3$代入上式得：
$3×3 + 1 = 10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关计算的典型题型，核心考察对根的性质和韦达定理的灵活运用，通过降次、整体代入的方法可规避求解根的复杂运算，体现了代数计算中的整体思想。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根α代入原方程，得到含α的代数式的等量关系，对所求式子进行降次化简；化简后会出现两根和的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和，整体代入化简后的式子即可得到结果，无需单独求解两根的具体值，可简化计算。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$的根，
∴ 将x=α代入方程得：$2α^2 - 6α - 1 = 0$，移项可得$2α^2 = 6α + 1$。
将$2α^2 = 6α + 1$代入所求代数式：
$2α^2 - 3α + 3β = (6α + 1) - 3α + 3β = 3α + 3β + 1 = 3(α + β) + 1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 - 6x - 1 = 0$，两根α、β满足：
$α + β = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{2} = 3$。
将$α + β = 3$代入上式得：
$3×3 + 1 = 10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关计算的典型题型，核心考察对根的性质和韦达定理的灵活运用，通过降次、整体代入的方法可规避求解根的复杂运算，体现了代数计算中的整体思想。
【难度系数】
0.6
