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6. (★)(2025·新疆)如图,小明在数学综合与实践活动中,利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m²的矩形场地.设矩形的宽为x m,根据题意可列方程
【 】
A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
【 】
A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
答案
A
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：第一步先确定矩形各边的长度关系：图中x是矩形垂直于墙的边长（即宽），由于墙足够长，靠墙的一侧不需要围栏，因此24m的围栏共围了2条宽和1条长；第二步计算平行于墙的边长（即长）：总围栏长度减去2条宽的长度，就是长的长度，为(24-2x)m；第三步根据矩形面积公式（面积=长×宽），结合已知面积为40m²，即可列出对应方程。
【解析】
解：已知矩形垂直于墙的宽为$x\ \mathrm{m}$，
因为围栏总长为24m，且靠墙一侧无需围栏，所以矩形平行于墙的长为$(24-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，结合场地面积为$40\ \mathrm{m}^2$，可得方程：
$x(24-2x)=40$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，易错点是容易忽略靠墙一侧不需要围栏，错误将长表示为(24-x)m导致列错方程，解题时要结合图形明确围栏包含的边。
【难度系数】
0.8
这是一道一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：第一步先确定矩形各边的长度关系：图中x是矩形垂直于墙的边长（即宽），由于墙足够长，靠墙的一侧不需要围栏，因此24m的围栏共围了2条宽和1条长；第二步计算平行于墙的边长（即长）：总围栏长度减去2条宽的长度，就是长的长度，为(24-2x)m；第三步根据矩形面积公式（面积=长×宽），结合已知面积为40m²，即可列出对应方程。
【解析】
解：已知矩形垂直于墙的宽为$x\ \mathrm{m}$，
因为围栏总长为24m，且靠墙一侧无需围栏，所以矩形平行于墙的长为$(24-2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，结合场地面积为$40\ \mathrm{m}^2$，可得方程：
$x(24-2x)=40$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础应用题，易错点是容易忽略靠墙一侧不需要围栏，错误将长表示为(24-x)m导致列错方程，解题时要结合图形明确围栏包含的边。
【难度系数】
0.8
7. (★★)如图,矩形绿地的长为4 m,宽为3 m.将此绿地的长、宽各增加相同的长度后,绿地面积增加了18 m²,则绿地的长、宽增加的长度为 m.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
本题是一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：第一步，设长和宽增加的相同长度为$x$m，分别表示出增加后绿地的长和宽；第二步，根据“增加后的面积 - 原来的面积 = 增加的面积18$\mathrm{m}^2$”这个等量关系列方程；第三步，求解一元二次方程，结合长度为正数的实际意义舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
设绿地的长、宽增加的长度为$ x $ m。
原来矩形绿地的面积为：$ 4 × 3 = 12 \, \mathrm{m}^2 $
长、宽增加后，绿地的长为$ (4+x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (3+x) \, \mathrm{m} $，此时面积为$ (4+x)(3+x) \, \mathrm{m}^2 $。
根据题意列方程：
$(4+x)(3+x) - 12 = 18$
展开并整理方程：
$12 + 7x + x^2 - 12 = 18 \x^2 + 7x - 18 = 0$
因式分解得：
$(x + 9)(x - 2) = 0$
解得：$ x_1 = -9 $，$ x_2 = 2 $。
因为增加的长度不能为负数，所以舍去$ x=-9 $，即$ x=2 $。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题的核心是准确找到面积变化的等量关系，求解后要注意验证根是否符合实际场景，舍去不合理的负根。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：第一步，设长和宽增加的相同长度为$x$m，分别表示出增加后绿地的长和宽；第二步，根据“增加后的面积 - 原来的面积 = 增加的面积18$\mathrm{m}^2$”这个等量关系列方程；第三步，求解一元二次方程，结合长度为正数的实际意义舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
设绿地的长、宽增加的长度为$ x $ m。
原来矩形绿地的面积为：$ 4 × 3 = 12 \, \mathrm{m}^2 $
长、宽增加后，绿地的长为$ (4+x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (3+x) \, \mathrm{m} $，此时面积为$ (4+x)(3+x) \, \mathrm{m}^2 $。
根据题意列方程：
$(4+x)(3+x) - 12 = 18$
展开并整理方程：
$12 + 7x + x^2 - 12 = 18 \x^2 + 7x - 18 = 0$
因式分解得：
$(x + 9)(x - 2) = 0$
解得：$ x_1 = -9 $，$ x_2 = 2 $。
因为增加的长度不能为负数，所以舍去$ x=-9 $，即$ x=2 $。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题的核心是准确找到面积变化的等量关系，求解后要注意验证根是否符合实际场景，舍去不合理的负根。
【难度系数】
0.7
8. (★★)如图,用一条长40 m的绳子围成矩形ABCD,设边AB的长为x m.
(1)边BC的长为 m,矩形ABCD的面积为 m².(均用含x的代数式表示)
(2)矩形ABCD的面积是否可以是120 m²?请给出你的结论,并用所学的知识说明理由.
(1)边BC的长为 m,矩形ABCD的面积为 m².(均用含x的代数式表示)
(2)矩形ABCD的面积是否可以是120 m²?请给出你的结论,并用所学的知识说明理由.
答案
(1) $\boldsymbol{20 - x}$；$\boldsymbol{x(20 - x)}$（或$-x^2+20x$）
(2) 矩形ABCD的面积不可以是$120\ \mathrm{m}^2$，理由如上。
(2) 矩形ABCD的面积不可以是$120\ \mathrm{m}^2$，理由如上。
解析
【分析】
（1）解决第一问的思路：首先根据矩形周长公式，矩形周长=2×（长+宽），已知绳子总长40m即矩形周长为40m，可先算出AB与BC的长度和，再结合AB的长为x m，即可表示出BC的长度；再根据矩形面积=长×宽，代入两边长度即可得到面积的代数式。
（2）解决第二问的思路：假设矩形面积可以为120 m²，结合第一问得到的面积代数式列出一元二次方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根：若判别式≥0，说明存在对应的x值，面积可以为120 m²；若判别式＜0，说明不存在这样的x值，面积不可能为120 m²。
【解析】
（1）已知矩形ABCD的周长为40 m，根据矩形周长公式可得：
$2(AB+BC)=40$，化简得$AB+BC=20$，
∵$AB=x\ \mathrm{m}$，
∴$BC=(20-x)\ \mathrm{m}$；
矩形ABCD的面积为$AB· BC = x(20-x)=-x^2+20x\ \mathrm{m^2}$。
（2）矩形ABCD的面积不可以是$120\ \mathrm{m^2}$，理由如下：
假设矩形面积为$120\ \mathrm{m^2}$，可列方程：
$x(20-x)=120$，
整理为标准一元二次方程形式：$x^2-20x+120=0$，
计算根的判别式：$\Delta = (-20)^2 - 4×1×120 = 400 - 480 = -80 ＜ 0$，
∴该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的x值，
因此矩形ABCD的面积不可以是$120\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20 - x}$；$\boldsymbol{x(20 - x)}$（或$-x^2+20x$）
(2) 矩形ABCD的面积不可以是$120\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
矩形的性质，一元二次方程的应用，根的判别式
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，既考查了矩形周长、面积的计算，又考查了一元二次方程的实际应用，利用根的判别式判断方程是否有实根是解决第二问的核心，这类题型是方程实际应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问的思路：首先根据矩形周长公式，矩形周长=2×（长+宽），已知绳子总长40m即矩形周长为40m，可先算出AB与BC的长度和，再结合AB的长为x m，即可表示出BC的长度；再根据矩形面积=长×宽，代入两边长度即可得到面积的代数式。
（2）解决第二问的思路：假设矩形面积可以为120 m²，结合第一问得到的面积代数式列出一元二次方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根：若判别式≥0，说明存在对应的x值，面积可以为120 m²；若判别式＜0，说明不存在这样的x值，面积不可能为120 m²。
【解析】
（1）已知矩形ABCD的周长为40 m，根据矩形周长公式可得：
$2(AB+BC)=40$，化简得$AB+BC=20$，
∵$AB=x\ \mathrm{m}$，
∴$BC=(20-x)\ \mathrm{m}$；
矩形ABCD的面积为$AB· BC = x(20-x)=-x^2+20x\ \mathrm{m^2}$。
（2）矩形ABCD的面积不可以是$120\ \mathrm{m^2}$，理由如下：
假设矩形面积为$120\ \mathrm{m^2}$，可列方程：
$x(20-x)=120$，
整理为标准一元二次方程形式：$x^2-20x+120=0$，
计算根的判别式：$\Delta = (-20)^2 - 4×1×120 = 400 - 480 = -80 ＜ 0$，
∴该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的x值，
因此矩形ABCD的面积不可以是$120\ \mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20 - x}$；$\boldsymbol{x(20 - x)}$（或$-x^2+20x$）
(2) 矩形ABCD的面积不可以是$120\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
矩形的性质，一元二次方程的应用，根的判别式
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，既考查了矩形周长、面积的计算，又考查了一元二次方程的实际应用，利用根的判别式判断方程是否有实根是解决第二问的核心，这类题型是方程实际应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
9. (★★)如图,相框长为10 cm,宽为6 cm,内有宽度相同的边缘木板,里面用来夹相片的面积为32 cm²,则相框的边缘宽为多少厘米？
答案
解：设相框的边缘宽为$ x $厘米，则相片部分的长为$(10-2x)$厘米，宽为$(6-2x)$厘米。
根据题意列方程：
$(10-2x)(6-2x) = 32$
整理得：
$x^2 -8x +7 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-7)=0$
解得$ x_1=1 $，$ x_2=7 $。
由题意可知$ 6-2x＞0 $，即$ x＜3 $，故$ x=7 $不符合实际，舍去。
答：相框的边缘宽为1厘米。
根据题意列方程：
$(10-2x)(6-2x) = 32$
整理得：
$x^2 -8x +7 = 0$
因式分解得：
$(x-1)(x-7)=0$
解得$ x_1=1 $，$ x_2=7 $。
由题意可知$ 6-2x＞0 $，即$ x＜3 $，故$ x=7 $不符合实际，舍去。
答：相框的边缘宽为1厘米。
解析
【分析】
这是一道结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 先设边缘宽为未知数x；2. 因为相框边缘在四周都存在，所以内部夹相片的矩形的长需要用相框总长减去左右两个边缘的宽度，即10-2x，宽需要用相框总宽减去上下两个边缘的宽度，即6-2x；3. 根据“矩形面积=长×宽”，结合已知的相片面积32cm²列出方程；4. 求解一元二次方程，最后要结合实际情况判断解是否合理，边缘宽不能超过相框宽度的一半，否则内部矩形的宽会为负数，不符合实际，舍去不合理的根即可得到答案。
【解析】
解：设相框的边缘宽为$x$厘米，
由题意可知，相片部分的长为$(10-2x)$厘米，宽为$(6-2x)$厘米，
根据矩形面积公式列方程得：
$(10-2x)(6-2x) = 32$
展开整理得：
$60 -32x +4x^2=32$
两边同除以4化简得：$x^2 -8x +7 = 0$
因式分解得：$(x-1)(x-7)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=7$。
结合实际意义，相片的宽必须大于0，即$6-2x＞0$，得$x＜3$，因此$x=7$不符合实际，舍去。
【答案】
1厘米
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题属于典型的几何类实际应用题，解题的核心是正确表示出内部矩形的长和宽，列方程求解后切记要结合实际情境检验根的合理性，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
这是一道结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 先设边缘宽为未知数x；2. 因为相框边缘在四周都存在，所以内部夹相片的矩形的长需要用相框总长减去左右两个边缘的宽度，即10-2x，宽需要用相框总宽减去上下两个边缘的宽度，即6-2x；3. 根据“矩形面积=长×宽”，结合已知的相片面积32cm²列出方程；4. 求解一元二次方程，最后要结合实际情况判断解是否合理，边缘宽不能超过相框宽度的一半，否则内部矩形的宽会为负数，不符合实际，舍去不合理的根即可得到答案。
【解析】
解：设相框的边缘宽为$x$厘米，
由题意可知，相片部分的长为$(10-2x)$厘米，宽为$(6-2x)$厘米，
根据矩形面积公式列方程得：
$(10-2x)(6-2x) = 32$
展开整理得：
$60 -32x +4x^2=32$
两边同除以4化简得：$x^2 -8x +7 = 0$
因式分解得：$(x-1)(x-7)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=7$。
结合实际意义，相片的宽必须大于0，即$6-2x＞0$，得$x＜3$，因此$x=7$不符合实际，舍去。
【答案】
1厘米
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题属于典型的几何类实际应用题，解题的核心是正确表示出内部矩形的长和宽，列方程求解后切记要结合实际情境检验根的合理性，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
10. (★)如图,把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积扩大了一倍,则小圆形场地的半径为 【 】
A.5 m
B.$(5+\sqrt{2})$ m
C.$(5+3\sqrt{2})$ m
D.$(5+5\sqrt{2})$ m
A.5 m
B.$(5+\sqrt{2})$ m
C.$(5+3\sqrt{2})$ m
D.$(5+5\sqrt{2})$ m
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确题目中的等量关系：大圆面积=2×小圆面积。我们可以先设小圆半径为未知数，用含未知数的式子表示出大圆半径，再结合圆的面积公式列出一元二次方程，求解方程后结合半径为正数的实际要求舍去负解，即可得到小圆半径。
【解析】
设小圆形场地的半径为$ r \, \mathrm{m} $，则大圆形场地的半径为$ (r+5) \, \mathrm{m} $。
根据“大圆面积是小圆面积的2倍”，结合圆的面积公式$ S=π R^2 $，可列方程：
$π(r+5)^2 = 2π r^2$
两边同时约去$ π $，展开并整理得：
$r^2 -10r -25 = 0$
用求根公式解该一元二次方程，其中$ a=1,b=-10,c=-25 $：
$r = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 ×1×(-25)}}{2×1} = \frac{10 \pm 10\sqrt{2}}{2} = 5\pm5\sqrt{2}$
因为场地半径为正数，$ 5-5\sqrt{2}＜0 $不符合实际，舍去，因此$ r=5+5\sqrt{2} \, \mathrm{m} $。
【答案】
D
【知识点】
圆的面积计算；一元二次方程求解；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的几何代数综合应用题，核心是抓住面积的倍数关系建立方程，求解时要注意结合实际意义筛选方程的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确题目中的等量关系：大圆面积=2×小圆面积。我们可以先设小圆半径为未知数，用含未知数的式子表示出大圆半径，再结合圆的面积公式列出一元二次方程，求解方程后结合半径为正数的实际要求舍去负解，即可得到小圆半径。
【解析】
设小圆形场地的半径为$ r \, \mathrm{m} $，则大圆形场地的半径为$ (r+5) \, \mathrm{m} $。
根据“大圆面积是小圆面积的2倍”，结合圆的面积公式$ S=π R^2 $，可列方程：
$π(r+5)^2 = 2π r^2$
两边同时约去$ π $，展开并整理得：
$r^2 -10r -25 = 0$
用求根公式解该一元二次方程，其中$ a=1,b=-10,c=-25 $：
$r = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 ×1×(-25)}}{2×1} = \frac{10 \pm 10\sqrt{2}}{2} = 5\pm5\sqrt{2}$
因为场地半径为正数，$ 5-5\sqrt{2}＜0 $不符合实际，舍去，因此$ r=5+5\sqrt{2} \, \mathrm{m} $。
【答案】
D
【知识点】
圆的面积计算；一元二次方程求解；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的几何代数综合应用题，核心是抓住面积的倍数关系建立方程，求解时要注意结合实际意义筛选方程的根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
11. (★★)如图,已知AB的长为2,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.在AB边上取一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过点E作$EF ⊥ CD$,垂足为F.若正方形ACDB与四边形MNFC的面积相等,则AE的长是
【 】
A.$-\sqrt{5}-1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\pm\sqrt{5}-1$
D.$\sqrt{5}+1$
【 】
A.$-\sqrt{5}-1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\pm\sqrt{5}-1$
D.$\sqrt{5}+1$
答案
B
解析
【分析】
我们可以通过设未知数列方程的方法求解：首先设AE的长为x，先分别求出正方形ACDB的面积和四边形MNFC的面积，再根据二者面积相等的关系列方程求解，最后结合线段长度为正数的实际意义舍去不符合要求的根即可。首先正方形ACDB边长为已知的2，可直接算出面积；其次观察可得四边形MNFC是矩形，它的两条邻边分别为x和x+2，可直接表示出其面积，代入等量关系即可得到方程。
【解析】
设AE的长为$x$，则正方形AENM的边长为$x$，即$AM=AE=x$。
∵ 正方形ACDB的边长$AB=2$，
∴ 正方形ACDB的面积为$2^2=4$，且$AC=2$。
由图可知四边形MNFC为矩形，矩形的长为$MC=AM+AC=x+2$，宽为$FC=AE=x$，
∴ 四边形MNFC的面积为$x(x+2)$。
根据题意二者面积相等，列方程得：
$x(x+2)=4$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2+2x-4=0$
由求根公式解得：$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+4×4}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$
∵ 线段长度为正，即$x＞0$，
∴ $x=-1-\sqrt{5}$不符合题意舍去，得$x=\sqrt{5}-1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，正方形的性质，矩形面积计算
【点评】
本题结合几何图形面积关系考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是准确用未知数表示出对应图形的边长和面积，求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数列方程的方法求解：首先设AE的长为x，先分别求出正方形ACDB的面积和四边形MNFC的面积，再根据二者面积相等的关系列方程求解，最后结合线段长度为正数的实际意义舍去不符合要求的根即可。首先正方形ACDB边长为已知的2，可直接算出面积；其次观察可得四边形MNFC是矩形，它的两条邻边分别为x和x+2，可直接表示出其面积，代入等量关系即可得到方程。
【解析】
设AE的长为$x$，则正方形AENM的边长为$x$，即$AM=AE=x$。
∵ 正方形ACDB的边长$AB=2$，
∴ 正方形ACDB的面积为$2^2=4$，且$AC=2$。
由图可知四边形MNFC为矩形，矩形的长为$MC=AM+AC=x+2$，宽为$FC=AE=x$，
∴ 四边形MNFC的面积为$x(x+2)$。
根据题意二者面积相等，列方程得：
$x(x+2)=4$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2+2x-4=0$
由求根公式解得：$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+4×4}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$
∵ 线段长度为正，即$x＞0$，
∴ $x=-1-\sqrt{5}$不符合题意舍去，得$x=\sqrt{5}-1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，正方形的性质，矩形面积计算
【点评】
本题结合几何图形面积关系考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是准确用未知数表示出对应图形的边长和面积，求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
