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1. (★)三角形的外接圆经过三角形的三个.
答案
解：顶点
解析
【分析】
这道题考查三角形外接圆的基础定义，解题时首先回忆三角形外接圆的相关概念，明确三角形外接圆的定义内容，即可对应填出空缺的内容。
【解析】
根据三角形外接圆的定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，可知空缺处对应的内容为顶点。
【答案】
顶点
【知识点】
三角形外接圆的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对基础几何概念的掌握情况，牢记相关定义即可快速得分。
【难度系数】
0.95
这道题考查三角形外接圆的基础定义，解题时首先回忆三角形外接圆的相关概念，明确三角形外接圆的定义内容，即可对应填出空缺的内容。
【解析】
根据三角形外接圆的定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，可知空缺处对应的内容为顶点。
【答案】
顶点
【知识点】
三角形外接圆的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对基础几何概念的掌握情况，牢记相关定义即可快速得分。
【难度系数】
0.95
2. (★)(1)与三角形各边都相切的圆叫作三角形的,内切圆的圆心是三角形三条的交点,叫作三角形的,它到三角形三边的距离,这个三角形叫作圆的三角形.
(2)如图,⊙I是△ABC的内切圆,半径是r,则IDIEIFr,AI∠BAC,BI∠ABC,CI∠ACB;若△ABC的周长是C,面积是S,则S=C.
(2)如图,⊙I是△ABC的内切圆,半径是r,则IDIEIFr,AI∠BAC,BI∠ABC,CI∠ACB;若△ABC的周长是C,面积是S,则S=C.
答案
解：
(1) 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，它到三角形三边的距离相等，这个三角形叫作圆的外切三角形。
(2) 如图，⊙I是△ABC的内切圆，半径是r，则ID $\boldsymbol{=}$ IE $\boldsymbol{=}$ IF $\boldsymbol{=}$ r，AI 平分 ∠BAC，BI 平分 ∠ABC，CI 平分 ∠ACB；若△ABC的周长是C，面积是S，则$S=\boldsymbol{\frac{1}{2}r}C$。
(1) 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，它到三角形三边的距离相等，这个三角形叫作圆的外切三角形。
(2) 如图，⊙I是△ABC的内切圆，半径是r，则ID $\boldsymbol{=}$ IE $\boldsymbol{=}$ IF $\boldsymbol{=}$ r，AI 平分 ∠BAC，BI 平分 ∠ABC，CI 平分 ∠ACB；若△ABC的周长是C，面积是S，则$S=\boldsymbol{\frac{1}{2}r}C$。
解析
【分析】
本题考查三角形内切圆的相关基础概念与性质。解题思路：
1. 第(1)问为概念识记题，直接对应教材中三角形内切圆、内心的相关定义，回忆对应术语即可作答。
2. 第(2)问结合性质推导：首先内切圆的圆心即内心是三角形三条角平分线的交点，因此AI、BI、CI分别平分对应内角；其次角平分线上的点到角两边距离相等，因此内心I到三边的垂线段ID、IE、IF长度相等，都等于内切圆半径r；推导面积公式时，可将△ABC分割为△IAB、△IBC、△ICA三个小三角形，三个小三角形的高均为内切圆半径r，底分别为△ABC的三边，求和后即可得到总面积S与周长C、半径r的关系。
【解析】
(1) 根据定义：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆；内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，这个交点叫作三角形的内心；内心的性质为到三角形三边的距离相等；这个三角形叫作圆的外切三角形。
(2) 因为⊙I是△ABC的内切圆，ID、IE、IF是圆心I到三边的垂线段，即内切圆的半径，因此$ID=IE=IF=r$；
内心是角平分线的交点，因此AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB；
将△ABC的面积拆分为三个小三角形的面积和：
$S=S_{△ IAB}+S_{△ IBC}+S_{△ ICA}=\frac{1}{2}AB· r + \frac{1}{2}BC· r + \frac{1}{2}AC· r=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$
已知△ABC周长$C=AB+BC+AC$，代入得$S=\frac{1}{2}rC$。
【答案】
(1) 内切圆；角平分线；内心；相等；外切
(2) $=$；$=$；$=$；平分；平分；平分；$\frac{1}{2}r$
【知识点】
三角形内切圆与内心定义；三角形内心的性质；三角形内切圆面积公式
【点评】
本题是基础概念类题目，侧重考察对三角形内切圆相关定义、性质的识记和简单推导，掌握相关基础知识点即可快速作答，是学习圆与三角形综合问题的基础内容。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形内切圆的相关基础概念与性质。解题思路：
1. 第(1)问为概念识记题，直接对应教材中三角形内切圆、内心的相关定义，回忆对应术语即可作答。
2. 第(2)问结合性质推导：首先内切圆的圆心即内心是三角形三条角平分线的交点，因此AI、BI、CI分别平分对应内角；其次角平分线上的点到角两边距离相等，因此内心I到三边的垂线段ID、IE、IF长度相等，都等于内切圆半径r；推导面积公式时，可将△ABC分割为△IAB、△IBC、△ICA三个小三角形，三个小三角形的高均为内切圆半径r，底分别为△ABC的三边，求和后即可得到总面积S与周长C、半径r的关系。
【解析】
(1) 根据定义：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆；内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，这个交点叫作三角形的内心；内心的性质为到三角形三边的距离相等；这个三角形叫作圆的外切三角形。
(2) 因为⊙I是△ABC的内切圆，ID、IE、IF是圆心I到三边的垂线段，即内切圆的半径，因此$ID=IE=IF=r$；
内心是角平分线的交点，因此AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB；
将△ABC的面积拆分为三个小三角形的面积和：
$S=S_{△ IAB}+S_{△ IBC}+S_{△ ICA}=\frac{1}{2}AB· r + \frac{1}{2}BC· r + \frac{1}{2}AC· r=\frac{1}{2}r(AB+BC+AC)$
已知△ABC周长$C=AB+BC+AC$，代入得$S=\frac{1}{2}rC$。
【答案】
(1) 内切圆；角平分线；内心；相等；外切
(2) $=$；$=$；$=$；平分；平分；平分；$\frac{1}{2}r$
【知识点】
三角形内切圆与内心定义；三角形内心的性质；三角形内切圆面积公式
【点评】
本题是基础概念类题目，侧重考察对三角形内切圆相关定义、性质的识记和简单推导，掌握相关基础知识点即可快速作答，是学习圆与三角形综合问题的基础内容。
【难度系数】
0.9
3. (★)如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，则点O是$△ ABC$的 【 】
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
答案
B
解析
【分析】
首先结合三角形内切圆的特点分析圆心的性质：内切圆与三角形三边都相切，因此圆心O到三边的距离都等于内切圆的半径，即到三边距离相等。再对应三角形各特殊交点的性质判断：到三角形三边距离相等的点在角平分线上，因此三个内角的角平分线的交点到三边距离都相等，符合内切圆圆心的特点，同时可逐一排除不符合的选项。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
A. 三条边的垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心（外心），特点是到三个顶点的距离相等，不符合内切圆圆心的性质，排除；
B. 三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，与内切圆圆心到三边距离都等于半径的特点一致，符合要求；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，特点是分每条中线的长度比为2:1，与内切圆圆心性质无关，排除；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，与内切圆圆心性质无关，排除。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心定义，角平分线的性质
【点评】
本题是基础概念题，主要考查三角形不同特殊交点的性质区分，熟记各类特殊点的定义和对应特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先结合三角形内切圆的特点分析圆心的性质：内切圆与三角形三边都相切，因此圆心O到三边的距离都等于内切圆的半径，即到三边距离相等。再对应三角形各特殊交点的性质判断：到三角形三边距离相等的点在角平分线上，因此三个内角的角平分线的交点到三边距离都相等，符合内切圆圆心的特点，同时可逐一排除不符合的选项。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
A. 三条边的垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心（外心），特点是到三个顶点的距离相等，不符合内切圆圆心的性质，排除；
B. 三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，与内切圆圆心到三边距离都等于半径的特点一致，符合要求；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，特点是分每条中线的长度比为2:1，与内切圆圆心性质无关，排除；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，与内切圆圆心性质无关，排除。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心定义，角平分线的性质
【点评】
本题是基础概念题，主要考查三角形不同特殊交点的性质区分，熟记各类特殊点的定义和对应特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. (★)如图,已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D,连接OB, OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是.
答案
$\boldsymbol{70°}$
解析
【分析】
要计算∠BOD的度数，可结合三角形内切圆的性质推导：首先，三角形内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角角平分线的交点，因此OB平分∠ABC；其次，BC是⊙O的切线，根据切线的性质，过切点的半径OD垂直于BC，可得△BOD是直角三角形，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠BOD的度数。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，OB是连接内心O与顶点B的线段
∴OB平分∠ABC，且OD是⊙O的半径，BC切⊙O于点D
∴OD⊥BC，$∠ OBD=\frac{1}{2}∠ ABC$
已知∠ABC=40°，则$∠ OBD=\frac{1}{2}×40°=20°$
在Rt△BOD中，∠ODB=90°，根据直角三角形两锐角互余：
$∠ BOD=90°-∠ OBD=90°-20°=70°$
【答案】
$\boldsymbol{70°}$
【知识点】
三角形内心的性质；切线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是熟练掌握三角形内切圆的相关性质，结合切线的特征构造直角三角形，利用角度关系计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算∠BOD的度数，可结合三角形内切圆的性质推导：首先，三角形内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角角平分线的交点，因此OB平分∠ABC；其次，BC是⊙O的切线，根据切线的性质，过切点的半径OD垂直于BC，可得△BOD是直角三角形，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠BOD的度数。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，OB是连接内心O与顶点B的线段
∴OB平分∠ABC，且OD是⊙O的半径，BC切⊙O于点D
∴OD⊥BC，$∠ OBD=\frac{1}{2}∠ ABC$
已知∠ABC=40°，则$∠ OBD=\frac{1}{2}×40°=20°$
在Rt△BOD中，∠ODB=90°，根据直角三角形两锐角互余：
$∠ BOD=90°-∠ OBD=90°-20°=70°$
【答案】
$\boldsymbol{70°}$
【知识点】
三角形内心的性质；切线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是熟练掌握三角形内切圆的相关性质，结合切线的特征构造直角三角形，利用角度关系计算即可。
【难度系数】
0.8
5.（★）如图，已知$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点为$D$，$E$，$F$，若$AE=1$，$CD=2$，$BF=3$，则内切圆的半径长为。
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，回忆切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，据此先求出△ABC三边的长度；第二步，通过三边长度验证三角形是否为直角三角形；第三步，利用直角三角形内切圆半径的计算方法，即可求出半径长度。
【解析】
解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点为$D,E,F$
根据切线长定理可得：
$AF=AE=1$，$BD=BF=3$，$CE=CD=2$
∴$△ ABC$的三边长分别为：
$AB=AF+BF=1+3=4$，
$AC=AE+CE=1+2=3$，
$BC=BD+CD=3+2=5$
∵$3^2+4^2=25=5^2$，即$AC^2+AB^2=BC^2$
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ A=90°$
设内切圆半径为$r$，根据三角形内切圆面积公式$S=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)· r$，
又$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$，代入得：
$6=\frac{1}{2}×(3+4+5)· r$
解得$r=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理逆定理，内切圆半径计算
【点评】
本题属于基础题，核心是先利用切线长定理确定三角形三边长，判断出三角形为直角三角形后，再结合面积法或直角三角形内切圆半径公式求解即可。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，回忆切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，据此先求出△ABC三边的长度；第二步，通过三边长度验证三角形是否为直角三角形；第三步，利用直角三角形内切圆半径的计算方法，即可求出半径长度。
【解析】
解：
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点为$D,E,F$
根据切线长定理可得：
$AF=AE=1$，$BD=BF=3$，$CE=CD=2$
∴$△ ABC$的三边长分别为：
$AB=AF+BF=1+3=4$，
$AC=AE+CE=1+2=3$，
$BC=BD+CD=3+2=5$
∵$3^2+4^2=25=5^2$，即$AC^2+AB^2=BC^2$
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ A=90°$
设内切圆半径为$r$，根据三角形内切圆面积公式$S=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)· r$，
又$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$，代入得：
$6=\frac{1}{2}×(3+4+5)· r$
解得$r=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
切线长定理，勾股定理逆定理，内切圆半径计算
【点评】
本题属于基础题，核心是先利用切线长定理确定三角形三边长，判断出三角形为直角三角形后，再结合面积法或直角三角形内切圆半径公式求解即可。
【难度系数】
0.7
6. (★★)如图，$\odot O$是等边$△ ABC$的内切圆，分别切$AB$，$BC$，$AC$于点$E$，$F$，$D$，$P$是$\overset{\frown}{DF}$上一点，则$∠ EPF$的度数是
【】
A.$65°$
B.$60°$
C.$58°$
D.$50°$
【】
A.$65°$
B.$60°$
C.$58°$
D.$50°$
答案
B
解析
【分析】
要求∠EPF的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此只需先求出弧EF所对的圆心角∠EOF的度数即可。首先连接圆心O与切点E、F，利用切线的性质可得OE⊥AB、OF⊥BC，再结合等边三角形的内角为60°，通过四边形内角和求出∠EOF的度数，最后利用圆周角定理计算∠EPF即可。
【解析】
连接OE、OF。
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°。
在四边形OEBF中，内角和为360°，因此：
∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-60°=120°。
∵∠EPF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，根据圆周角定理：
∠EPF=$\frac{1}{2}$∠EOF=$\frac{1}{2}$×120°=60°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等边三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题核心是通过连接圆心与切点构造直角，将所求圆周角转化为求对应圆心角的度数，解题过程中需要熟练掌握切线、等边三角形、圆周角定理的相关性质。
【难度系数】
0.7
要求∠EPF的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此只需先求出弧EF所对的圆心角∠EOF的度数即可。首先连接圆心O与切点E、F，利用切线的性质可得OE⊥AB、OF⊥BC，再结合等边三角形的内角为60°，通过四边形内角和求出∠EOF的度数，最后利用圆周角定理计算∠EPF即可。
【解析】
连接OE、OF。
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°。
在四边形OEBF中，内角和为360°，因此：
∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-60°=120°。
∵∠EPF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，根据圆周角定理：
∠EPF=$\frac{1}{2}$∠EOF=$\frac{1}{2}$×120°=60°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等边三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题核心是通过连接圆心与切点构造直角，将所求圆周角转化为求对应圆心角的度数，解题过程中需要熟练掌握切线、等边三角形、圆周角定理的相关性质。
【难度系数】
0.7
