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7. (★★)如图，Rt△ABC的内切圆分别与AB,BC相切于点D,E,根据图中标示的长度,则AD的长是 【 】
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{3}$
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
D
解析
【分析】
本题可结合切线长定理和勾股定理求解。首先观察图形，直角三角形的内切圆与AB、BC分别相切于D、E，根据切线长定理，圆外一点引圆的两条切线长度相等，我们可以设AD的长度为x，用含x的式子分别表示出Rt△ABC的三边长度，再结合直角三角形的勾股定理列方程，求解即可得到AD的长。
【解析】
设AD的长为x，设内切圆与AC边相切于点F。
根据切线长定理可得：
$AD=AF=x$，$CE=CF=4$，$BD=BE=1$。
因此Rt△ABC的三边长分别为：
$AB=AD+BD=x+1$，
$BC=BE+CE=1+4=5$，
$AC=AF+CF=x+4$。
∵$∠ B=90°$，由勾股定理得$AB^2+BC^2=AC^2$，
代入得：$(x+1)^2+5^2=(x+4)^2$，
展开计算：$x^2+2x+1+25=x^2+8x+16$，
化简得$6x=10$，解得$x=\frac{5}{3}$。
【答案】D
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础常考题，解题的关键是利用切线长定理表示出三角形三边的长度，再通过勾股定理建立方程求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.6
本题可结合切线长定理和勾股定理求解。首先观察图形，直角三角形的内切圆与AB、BC分别相切于D、E，根据切线长定理，圆外一点引圆的两条切线长度相等，我们可以设AD的长度为x，用含x的式子分别表示出Rt△ABC的三边长度，再结合直角三角形的勾股定理列方程，求解即可得到AD的长。
【解析】
设AD的长为x，设内切圆与AC边相切于点F。
根据切线长定理可得：
$AD=AF=x$，$CE=CF=4$，$BD=BE=1$。
因此Rt△ABC的三边长分别为：
$AB=AD+BD=x+1$，
$BC=BE+CE=1+4=5$，
$AC=AF+CF=x+4$。
∵$∠ B=90°$，由勾股定理得$AB^2+BC^2=AC^2$，
代入得：$(x+1)^2+5^2=(x+4)^2$，
展开计算：$x^2+2x+1+25=x^2+8x+16$，
化简得$6x=10$，解得$x=\frac{5}{3}$。
【答案】D
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础常考题，解题的关键是利用切线长定理表示出三角形三边的长度，再通过勾股定理建立方程求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.6
8. (★)若$△ ABC$的三条边长分别为6,8,10,则$△ ABC$的外接圆的半径长是,内切圆的半径长是.
答案
$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
首先观察△ABC的三边长6、8、10，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：计算得6²+8²=10²，因此△ABC是斜边为10的直角三角形。再结合直角三角形外接圆、内切圆的相关性质计算半径：直角三角形的外接圆直径等于斜边长，因此外接圆半径为斜边的一半；内切圆半径可通过面积法或直角三角形内切圆专用公式计算，即可得到结果。
【解析】
1. 判断三角形形状：
∵ 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²
∴ △ABC是直角三角形，且斜边长为10。
2. 求外接圆半径：
直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，因此外接圆半径R = 10÷2 = 5。
3. 求内切圆半径：
设内切圆半径为r，直角三角形面积S = $\frac{1}{2}$×6×8 = 24，三角形周长为6+8+10=24。
根据三角形内切圆面积公式$S = \frac{1}{2}×周长×r$，代入得：
24 = $\frac{1}{2}$×24×r，解得r=2。
（或用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$，代入得$r=\frac{6+8-10}{2}=2$）
【答案】
$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{2}$
【知识点】
勾股定理逆定理；外接圆半径计算；内切圆半径计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先通过三边特征判定三角形为直角三角形，再利用直角三角形外接圆、内切圆的特殊性质计算半径，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先观察△ABC的三边长6、8、10，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：计算得6²+8²=10²，因此△ABC是斜边为10的直角三角形。再结合直角三角形外接圆、内切圆的相关性质计算半径：直角三角形的外接圆直径等于斜边长，因此外接圆半径为斜边的一半；内切圆半径可通过面积法或直角三角形内切圆专用公式计算，即可得到结果。
【解析】
1. 判断三角形形状：
∵ 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²
∴ △ABC是直角三角形，且斜边长为10。
2. 求外接圆半径：
直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，因此外接圆半径R = 10÷2 = 5。
3. 求内切圆半径：
设内切圆半径为r，直角三角形面积S = $\frac{1}{2}$×6×8 = 24，三角形周长为6+8+10=24。
根据三角形内切圆面积公式$S = \frac{1}{2}×周长×r$，代入得：
24 = $\frac{1}{2}$×24×r，解得r=2。
（或用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$，代入得$r=\frac{6+8-10}{2}=2$）
【答案】
$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{2}$
【知识点】
勾股定理逆定理；外接圆半径计算；内切圆半径计算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先通过三边特征判定三角形为直角三角形，再利用直角三角形外接圆、内切圆的特殊性质计算半径，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. (★)如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$∠ A=54°$，则$∠ BOC$的度数为。
答案
$\boldsymbol{117°}$
解析
【分析】
解题时首先明确⊙O是△ABC的内切圆，因此圆心O是△ABC的内心，即三角形三个内角的角平分线的交点，可得OB平分∠ABC、OC平分∠ACB；要求∠BOC的度数，需先结合三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，再推导△BOC中两个底角的和，最后再次利用三角形内角和定理计算∠BOC即可。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，再次利用三角形内角和得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
【答案】
$\boldsymbol{117°}$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题关键是牢记三角形内切圆的圆心（内心）是角平分线的交点，结合角平分线的性质和三角形内角和公式即可完成推导计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确⊙O是△ABC的内切圆，因此圆心O是△ABC的内心，即三角形三个内角的角平分线的交点，可得OB平分∠ABC、OC平分∠ACB；要求∠BOC的度数，需先结合三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，再推导△BOC中两个底角的和，最后再次利用三角形内角和定理计算∠BOC即可。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，再次利用三角形内角和得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
【答案】
$\boldsymbol{117°}$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题关键是牢记三角形内切圆的圆心（内心）是角平分线的交点，结合角平分线的性质和三角形内角和公式即可完成推导计算。
【难度系数】
0.7
10. (★★)如图是一块直角三角形的木料，$∠ A=90°,AB=3,AC=4$,木工师傅要从中裁下一块圆形木料,则可裁圆形木料的最大半径长为.
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
要在三角形中裁出最大的圆形木料，该圆为三角形的内切圆（与三角形三边均相切，此时圆的半径最大）。本题已知直角三角形的两条直角边长，可先通过勾股定理求出斜边长度，再利用三角形内切圆半径的计算方法求解即可。
【解析】
已知$∠A=90°$，$AB=3$，$AC=4$，
由勾股定理可得斜边$BC$的长度：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
设内切圆半径为$r$，根据三角形面积的另一种计算方法：三角形的面积等于内切圆半径与三角形半周长的乘积，即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}r(AB+AC+BC)$。
先计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×3×4=6$。
三角形周长为$3+4+5=12$，代入面积公式得：
$6=\frac{1}{2}× r×12$，
解得$r=1$。
也可直接使用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入得$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
勾股定理，三角形内切圆性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆的典型应用题目，解题的关键是明确三角形内可裁的最大圆为其内切圆，结合直角三角形的性质即可快速求解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要在三角形中裁出最大的圆形木料，该圆为三角形的内切圆（与三角形三边均相切，此时圆的半径最大）。本题已知直角三角形的两条直角边长，可先通过勾股定理求出斜边长度，再利用三角形内切圆半径的计算方法求解即可。
【解析】
已知$∠A=90°$，$AB=3$，$AC=4$，
由勾股定理可得斜边$BC$的长度：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
设内切圆半径为$r$，根据三角形面积的另一种计算方法：三角形的面积等于内切圆半径与三角形半周长的乘积，即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}r(AB+AC+BC)$。
先计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×3×4=6$。
三角形周长为$3+4+5=12$，代入面积公式得：
$6=\frac{1}{2}× r×12$，
解得$r=1$。
也可直接使用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入得$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
勾股定理，三角形内切圆性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆的典型应用题目，解题的关键是明确三角形内可裁的最大圆为其内切圆，结合直角三角形的性质即可快速求解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
11. (★★)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=34°,则∠OBC的度数为 【 】
A.27°
B.24°
C.22°
D.20°
(第11题)
A.27°
B.24°
C.22°
D.20°
(第11题)答案
C
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，利用三角形内心是角平分线交点的性质，由已知∠CAI的度数求出∠BAC的度数；第二步，利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角∠BOC的度数；第三步，结合OB=OC得到△OBC是等腰三角形，利用三角形内角和求出底角∠OBC的度数。
【解析】
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAI=2×34°=68°。
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC与∠BAC是同弧BC所对的圆心角和圆周角，根据圆周角定理可得：∠BOC=2∠BAC=2×68°=136°。
又
∵OB、OC都是外接圆的半径，即OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-136°)÷2=22°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心性质、圆周角定理、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，核心是区分三角形内心、外心的性质，理清角之间的推导关系，只要熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，利用三角形内心是角平分线交点的性质，由已知∠CAI的度数求出∠BAC的度数；第二步，利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角∠BOC的度数；第三步，结合OB=OC得到△OBC是等腰三角形，利用三角形内角和求出底角∠OBC的度数。
【解析】
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAI=2×34°=68°。
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC与∠BAC是同弧BC所对的圆心角和圆周角，根据圆周角定理可得：∠BOC=2∠BAC=2×68°=136°。
又
∵OB、OC都是外接圆的半径，即OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-136°)÷2=22°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心性质、圆周角定理、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，核心是区分三角形内心、外心的性质，理清角之间的推导关系，只要熟练掌握相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
12. (★★)三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值,很多数学家给出了不同形式的计算公式.古希腊数学家海伦给出了求三角形面积的一个公式——海伦公式,即若一个三角形的三边长分别为$a,b,c$,记$p=\frac{a+b+c}{2}$,则其面积$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.如图,在$△ ABC$中,$BC=4,AC=5,AB=7$.
(1)请用海伦公式求$△ ABC$的面积；
(2)求$△ ABC$的内切圆的半径长.
(1)请用海伦公式求$△ ABC$的面积；
(2)求$△ ABC$的内切圆的半径长.
答案
解：
(1) 由题意得，$a=4$，$b=5$，$c=7$，
则 $p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{4+5+7}{2}=8$，
代入海伦公式：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8×(8-4)×(8-5)×(8-7)}=\sqrt{8×4×3×1}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$。
(2) 设$△ ABC$的内切圆半径长为$r$，
由三角形面积与内切圆半径的关系：$S=\dfrac{1}{2}(a+b+c)· r$，
将$S=4\sqrt{6}$，$a+b+c=16$代入得：
$4\sqrt{6}=\dfrac{1}{2}×16× r$，
解得 $r=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。
答：(1) $△ ABC$的面积为$4\sqrt{6}$；(2) $△ ABC$的内切圆半径长为$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。
(1) 由题意得，$a=4$，$b=5$，$c=7$，
则 $p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{4+5+7}{2}=8$，
代入海伦公式：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8×(8-4)×(8-5)×(8-7)}=\sqrt{8×4×3×1}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$。
(2) 设$△ ABC$的内切圆半径长为$r$，
由三角形面积与内切圆半径的关系：$S=\dfrac{1}{2}(a+b+c)· r$，
将$S=4\sqrt{6}$，$a+b+c=16$代入得：
$4\sqrt{6}=\dfrac{1}{2}×16× r$，
解得 $r=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。
答：(1) $△ ABC$的面积为$4\sqrt{6}$；(2) $△ ABC$的内切圆半径长为$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路清晰：
(1) 第一问使用题干给出的海伦公式求面积，首先确定△ABC的三边长对应a、b、c的取值，再按照公式要求先计算半周长p，最后将p和三边长代入海伦公式，化简二次根式即可得到三角形面积。
(2) 第二问求内切圆半径，调用三角形面积与内切圆半径的关系公式$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，将第一问求出的面积S、三角形的周长代入公式，解一元一次方程即可求出半径r。
【解析】
(1) 由题意得△ABC三边长为$a=BC=4$，$b=AC=5$，$c=AB=7$，
计算半周长：$p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{4+5+7}{2}=8$，
代入海伦公式：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8×(8-4)×(8-5)×(8-7)}=\sqrt{8×4×3×1}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$。
(2) 设△ABC的内切圆半径长为$r$，根据三角形面积与内切圆半径的关系：$S=\dfrac{1}{2}(a+b+c)· r$，
将$S=4\sqrt{6}$，$a+b+c=4+5+7=16$代入得：
$4\sqrt{6}=\dfrac{1}{2}×16× r$，
解得 $r=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4\sqrt{6}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}}{2}}$
【知识点】
海伦公式应用；三角形内切圆性质；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，既考查了对新定义公式的理解运用能力，也考查了三角形内切圆相关性质的掌握，只要计算过程中注意二次根式化简正确、代入数值无误即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路清晰：
(1) 第一问使用题干给出的海伦公式求面积，首先确定△ABC的三边长对应a、b、c的取值，再按照公式要求先计算半周长p，最后将p和三边长代入海伦公式，化简二次根式即可得到三角形面积。
(2) 第二问求内切圆半径，调用三角形面积与内切圆半径的关系公式$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，将第一问求出的面积S、三角形的周长代入公式，解一元一次方程即可求出半径r。
【解析】
(1) 由题意得△ABC三边长为$a=BC=4$，$b=AC=5$，$c=AB=7$，
计算半周长：$p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{4+5+7}{2}=8$，
代入海伦公式：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8×(8-4)×(8-5)×(8-7)}=\sqrt{8×4×3×1}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$。
(2) 设△ABC的内切圆半径长为$r$，根据三角形面积与内切圆半径的关系：$S=\dfrac{1}{2}(a+b+c)· r$，
将$S=4\sqrt{6}$，$a+b+c=4+5+7=16$代入得：
$4\sqrt{6}=\dfrac{1}{2}×16× r$，
解得 $r=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4\sqrt{6}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}}{2}}$
【知识点】
海伦公式应用；三角形内切圆性质；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，既考查了对新定义公式的理解运用能力，也考查了三角形内切圆相关性质的掌握，只要计算过程中注意二次根式化简正确、代入数值无误即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
