8. (2024·盐城模拟)用破损量角器按如图方式测量∠ABC的度数,让∠ABC的顶点恰好在量角器圆弧上,两边分别经过圆弧上的A、C两点.若点A、C对应的刻度分别为$55°$、$135°$,则∠ABC的度数为______.

(第8题)

(第9题)

140°

9. 如图, 四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形, $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$, $∠ BCD=120°$, 连接 $AC$, 作 $DE ⊥ AC$于点 $E$, 连接 $BE$, 若 $∠ BED=150°$, $AC=3\sqrt{7}$,则 $DE$ 的长为______.

$\sqrt{21}$

10. 如图,在$△ ABC$中,D是AB上一点,$\odot O$经过点A、C、D,交BC于点E,过点D作$DF// BC$,交$\odot O$于点F,连接AF、CF、EF,$AF=EF$.
(1)求证:四边形DBCF是平行四边形;
(2)若D是AB的中点,求证:AC是$\odot O$的直径.

证明：​$(1)$​连接​$DE，$​​$ $​因为点​$D、$​​$E、$​​$C、$​​$F $​四点共圆，所以​$∠EDF+∠ECF = 180°。$​​$ $​因为​$AF = EF，$​所以​$∠ADF=∠EDF。$​​$ $​又因为​$DF// BC，$​所以​$∠ADF=∠B，$​所以​$∠EDF=∠B。$​​$ $​则​$∠B+∠ECF = 180°，$​所以​$BD// CF。$​​$ $​又因为​$DF// BC，$​所以四边形​$DBCF $​是平行四边形。​$ (2)$​证明：连接​$CD，$​由​$(1)$​得​$BD// CF，$​四边形​$DBCF $​是平行四边形，​$ $​所以​$∠BAC=∠DFC=∠B，$​所以​$BC = AC。$​​$ $​因为​$D$​是​$AB$​的中点，所以​$CD\perp AB，$​即​$∠ADC = 90°。$​​$ $​所以​$AC$​是​$\odot O$​的直径。

11. 已知$\odot O$经过四边形$ABCD$的$B$、$D$两点，并与四条边分别交于点$E$、$F$、$G$、$H$，且$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{GH}$。
(1)如图①，连接$BD$，若$BD$是$\odot O$的直径，求证：$∠ A=∠ C$；
(2)如图②，若$\overset{\frown}{EF}$的度数为$θ$，$∠ A=α$，$∠ C=β$，请直接写出$θ$、$α$和$β$之间的数量关系。

; 证明​$：(1)$​如答图，连接​$DF，DG. $​∵​$BD$​是​$⊙O$​的直径， ∴​$∠DFB=∠DGB=90°， $​∵​$\widehat {EF}=\widehat {GH}， $​∴​$∠EDF=∠HDG， $​∵​$∠DFB=∠EDF+∠A， $​​$∠DGB=∠HDG+∠C， $​∴​$∠A=∠C.$​​$(2) α+β+\theta = 180°$​

12. 婆罗摩笈多是公元7世纪古印度伟大的数学家,他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形,我们把这类四边形称为“婆氏四边形”.如图,在$\odot O$中,四边形$ABCD$是“婆氏四边形”,对角线$AC$、$BD$相交于点$E$,过点$E$作$EH ⊥ DC$于点$H$,延长$HE$交$AB$于点$F$,则$\frac{EF}{AB}$的值为________.

$\frac{1}{2}$

13. 克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家,他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当凸四边形的对角互补时取等号,后人称之为托勒密定理的推论.如图,四边形ABCD内接于半径为$2\sqrt{3}$的圆,$∠A=120°$,$∠B=45°,AB=AD$,则四边形ABCD的周长为______.

$4\sqrt{3}+6\sqrt{2}$