21. 如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，每个方格都是单元格，三角形ABC的顶点都在格点上.

(1)请直接写出点A，C两点的坐标：，；
(2)直接写出三角形ABC的面积为；
(3)若把三角形ABC向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得三角形A'B'C'，在图中画出三角形A'B'C'，这时点B'的坐标为.

解：
(1) $(-5,1)$，$(-1,1)$；
(2) 由图得$AC=4$，AC边上的高为3，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$；
(3) 分别将点A、B、C向右平移1个单位、向上平移1个单位，得到对应点$A'$、$B'$、$C'$，顺次连接三点即可画出$△ A'B'C'$。
点B原坐标为$(-4,4)$，平移后点$B'$的坐标为$(-3,5)$。

【分析】
（1）求点的坐标时，横坐标为点向x轴作垂线对应的x轴数值，纵坐标为点向y轴作垂线对应的y轴数值，按（横坐标，纵坐标）的格式书写即可。
（2）计算三角形面积时，观察到AC边在水平直线$y=1$上，先求出AC的长度，再求出AC边上的高（即点B到AC边的竖直距离），代入三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$计算即可。
（3）平面直角坐标系中点的平移规律为：横坐标右加左减，纵坐标上加下减。将三个顶点分别按要求平移后顺次连接得到平移后的三角形，再按规律计算点B平移后的坐标即可。
【解析】
（1）观察坐标系，点A的横坐标为-5，纵坐标为1，故$A(-5,1)$；点C的横坐标为-1，纵坐标为1，故$C(-1,1)$。
（2）A、C两点纵坐标相同，因此AC的长度为$\left|-1 - (-5)\right|=4$；点B的坐标为$(-4,4)$，AC边在直线$y=1$上，因此AC边上的高为$4-1=3$。代入三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$。
（3）根据平移规则，将点A、B、C的横坐标都加1（向右平移1个单位），纵坐标都加1（向上平移1个单位），得到对应点$A'(-4,2)$、$B'(-3,5)$、$C'(0,2)$，顺次连接这三个点即可得到$△ A'B'C'$。点B原坐标为$(-4,4)$，平移后$B'$的坐标为$(-4+1,4+1)=(-3,5)$。
【答案】
(1) $(-5,1)$，$(-1,1)$；
(2) $6$；
(3) 画图略，$(-3,5)$
【知识点】
点的坐标表示；三角形面积计算；坐标平移规律
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常规题，结合了坐标识别、面积计算、图形平移三个核心考点，解题关键是掌握坐标系的相关基础性质和平移的变化规律，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8

22.如图,在四边形ABCD中,点E,F在直线CD上,连接FA,若∠2+∠3=180°,
∠B=∠1.求证:∠4=∠F.
证明:∵点E在直线CD上(已知),
∴∠2+=180°(平角的定义).
又∵∠2+∠3=180°(已知),
∴∠1=∠3().
又∵∠B=∠1(已知),
∴∠B=∠3().
∴AB//().
∴∠4=∠F().

证明:∵点E在直线CD上(已知),
∴∠2+$\boldsymbol{∠1}$=180°(平角的定义).
又∵∠2+∠3=180°(已知),
∴∠1=∠3(同角的补角相等).
又∵∠B=∠1(已知),
∴∠B=∠3(等量代换).
∴AB//$\boldsymbol{DF}$(同位角相等,两直线平行).
∴∠4=∠F(两直线平行,内错角相等).

【分析】
这是一道几何证明补空题，解题时结合已知条件和基础几何定理逐步推导即可：首先根据平角定义可知直线上的邻补角和为180°，得到∠2的邻补角；再结合已知∠2与∠3互补，利用补角性质推出角相等；之后通过等量代换得到同位角相等，判定两条直线平行；最后利用平行线的性质得到待证的角相等关系。
【解析】
我们按证明步骤逐一推导：
1. 点E在直线CD上，∠2与∠1组成平角，根据平角的定义，可得$∠2+∠1=180°$，第一个空填$∠1$；
2. 已知$∠2+∠3=180°$，$∠1$和$∠3$都是$∠2$的补角，根据同角的补角相等，可得$∠1=∠3$；
3. 已知$∠ B=∠1$，将$∠1$替换为$∠3$，根据等量代换，可得$∠ B=∠3$；
4. $∠ B$和$∠3$是AB、DF被BC所截的同位角，同位角相等可判定两直线平行，因此可得$AB// DF$，依据为同位角相等，两直线平行；
5. $AB// DF$时，$∠4$和$∠ F$是两条平行线被AF所截的内错角，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠4=∠ F$。
【答案】
证明:
∵点E在直线CD上(已知),
∴∠2+$\boldsymbol{∠1}$=180°(平角的定义).
又
∵∠2+∠3=180°(已知),
∴∠1=∠3(同角的补角相等).
又
∵∠B=∠1(已知),
∴∠B=∠3(等量代换).
∴AB//$\boldsymbol{DF}$(同位角相等,两直线平行).
∴∠4=∠F(两直线平行,内错角相等).
【知识点】
补角的性质；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题是几何证明的基础题型，主要考查对基础几何定理的理解和规范证明的书写能力，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

23. 在平面直角坐标系中，对于点$P(x,y)$，若点$Q$坐标为$(ax+y,x+ay)$，其中$a$为常数，则称点$Q$是点$P$的“$a$级关联点”。
(1)已知点$A(-3,6)$的“$\frac{1}{3}$级关联点”是点$A'$，则点$A'$的坐标为；
(2)已知点$M(m-1,2m)$的“$-3$级关联点”为点$N$，点$N$位于$y$轴上，求点$N$的坐标；
(3)在(2)的条件下，若存在点$H$，使$HM// x$轴，且$HM=3$，求点$H$的坐标。

解：
(1) 由题意，$a=\frac{1}{3}$，$x=-3$，$y=6$，
$ax+y=\frac{1}{3}×(-3)+6=5$，
$x+ay=-3+\frac{1}{3}×6=-1$，
所以点$A'$的坐标为$\boldsymbol{(5,-1)}$。
(2) 由题意，$a=-3$，点$N$的横坐标为：
$-3(m-1)+2m=-m+3$，
点$N$的纵坐标为：
$(m-1)+(-3)×2m=-5m-1$。
∵点$N$位于$y$轴上，
∴点$N$的横坐标为$0$，即$-m+3=0$，
解得$m=3$。
将$m=3$代入纵坐标表达式，得$-5×3-1=-16$，
∴点$N$的坐标为$(0,-16)$。
(3) 由(2)知$m=3$，
∴点$M$的坐标为$(3-1,2×3)$，即$M(2,6)$。
∵$HM// x$轴，
∴点$H$的纵坐标与点$M$的纵坐标相等，均为$6$。
设点$H$的坐标为$(x,6)$，
由$HM=3$得$|x-2|=3$，
解得$x=5$或$x=-1$，
∴点$H$的坐标为$(5,6)$或$(-1,6)$。

【分析】
本题围绕新定义“a级关联点”展开，解题思路清晰：(1)直接套用新定义的坐标变换规则，代入对应a、x、y的值计算，即可得到点A'的坐标；(2)先按照“-3级关联点”的规则写出点N的横、纵坐标表达式，再结合y轴上点的横坐标为0的特征列方程求出m的值，代入纵坐标表达式即可得到N的坐标；(3)先由m的值确定点M的坐标，根据HM平行于x轴可知H与M纵坐标相同，再结合HM=3的条件，利用横坐标差的绝对值等于线段长度求解，注意分H在M左侧和右侧两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 由题意得$a=\frac{1}{3}$，点A的$x=-3$，$y=6$，
则横坐标：$ax+y=\frac{1}{3}×(-3)+6=5$，
纵坐标：$x+ay=-3+\frac{1}{3}×6=-1$，
即点$A'$的坐标为$(5,-1)$。
(2) 由题意得$a=-3$，点N的横坐标为：$-3(m-1)+2m=-m+3$，
点N的纵坐标为：$(m-1)+(-3)×2m=-5m-1$，
∵点N位于y轴上，
∴横坐标为0，即$-m+3=0$，解得$m=3$，
将$m=3$代入纵坐标表达式得：$-5×3-1=-16$，
即点N的坐标为$(0,-16)$。
(3) 由(2)知$m=3$，则点M的坐标为$(3-1,2×3)$，即$M(2,6)$，
∵$HM// x$轴，
∴点H的纵坐标与点M相同，均为6，
设点H的坐标为$(x,6)$，由$HM=3$得$|x-2|=3$，
解得$x=5$或$x=-1$，
即点H的坐标为$(5,6)$或$(-1,6)$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{(5,-1)}$；(2)$\boldsymbol{(0,-16)}$；(3)$\boldsymbol{(5,6)}$或$\boldsymbol{(-1,6)}$
【知识点】
新定义运算，坐标轴上点的特征，平行于x轴的直线性质
【点评】
本题以新定义为载体考查平面直角坐标系的基础应用，解题核心是准确理解“a级关联点”的坐标变换规则，再结合相关性质求解，第三问需注意分类讨论，避免遗漏其中一种情况。
【难度系数】
0.7