登录
15.若$|a^2 + 2| + \sqrt{b - 4} = 2$，则$ab$的值为.
答案
0
解析
【分析】
解题时先回忆非负性相关性质：任意实数的平方、绝对值、算术平方根都是非负数。首先观察等式左侧的两项：①由a²≥0可推出a²+2≥2，因此|a²+2|≥2；②√(b-4)是算术平方根，因此√(b-4)≥0。两个非负项相加等于2，说明绝对值部分只能取最小值2，算术平方根部分只能取0，据此分别列等式求出a、b的值，再计算ab即可。
【解析】
解：
∵a²≥0，
∴a²+2≥2，可得|a²+2|=a²+2≥2，
∵算术平方根具有非负性，
∴√(b-4)≥0，
又
∵|a²+2| + √(b - 4) = 2，
∴可列方程组：$\begin{cases}a^2+2=2 \\ \sqrt{b-4}=0\end{cases}$
解得a=0，b=4，
∴ab=0×4=0。
【答案】
0
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 算术平方根的非负性
3. 平方的非负性
【点评】
本题是非负性应用的典型题，解题核心是先判断出|a²+2|的最小值为2，进而确定两个非负项的取值，熟练掌握三类非负性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆非负性相关性质：任意实数的平方、绝对值、算术平方根都是非负数。首先观察等式左侧的两项：①由a²≥0可推出a²+2≥2，因此|a²+2|≥2；②√(b-4)是算术平方根，因此√(b-4)≥0。两个非负项相加等于2，说明绝对值部分只能取最小值2，算术平方根部分只能取0，据此分别列等式求出a、b的值，再计算ab即可。
【解析】
解：
∵a²≥0，
∴a²+2≥2，可得|a²+2|=a²+2≥2，
∵算术平方根具有非负性，
∴√(b-4)≥0，
又
∵|a²+2| + √(b - 4) = 2，
∴可列方程组：$\begin{cases}a^2+2=2 \\ \sqrt{b-4}=0\end{cases}$
解得a=0，b=4，
∴ab=0×4=0。
【答案】
0
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 算术平方根的非负性
3. 平方的非负性
【点评】
本题是非负性应用的典型题，解题核心是先判断出|a²+2|的最小值为2，进而确定两个非负项的取值，熟练掌握三类非负性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
16. 满足$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$的所有整数$x$的和是。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，第一步需要先估算出$-\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$分别介于哪两个相邻整数之间，确定二者的取值范围；第二步找出落在$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$区间内的所有整数；第三步把这些整数相加即可得到结果。
【解析】
首先估算无理数的范围：
因为$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不等式两边同乘$-1$得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$；
又因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
结合$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$且$x$是整数，可知符合条件的整数$x$为：$-1,0,1,2$。
计算这些整数的和：$(-1)+0+1+2=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 整数的识别
3. 有理数加法
【点评】
本题核心考查无理数的大小估算能力，解题关键是准确确定两个无理数的相邻整数边界，筛选符合条件的整数时要注意不要遗漏负整数，也不要错把3算入取值范围，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，第一步需要先估算出$-\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$分别介于哪两个相邻整数之间，确定二者的取值范围；第二步找出落在$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$区间内的所有整数；第三步把这些整数相加即可得到结果。
【解析】
首先估算无理数的范围：
因为$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不等式两边同乘$-1$得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$；
又因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
结合$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$且$x$是整数，可知符合条件的整数$x$为：$-1,0,1,2$。
计算这些整数的和：$(-1)+0+1+2=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 整数的识别
3. 有理数加法
【点评】
本题核心考查无理数的大小估算能力，解题关键是准确确定两个无理数的相邻整数边界，筛选符合条件的整数时要注意不要遗漏负整数，也不要错把3算入取值范围，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
17.已知$4x+5y=3$，$3x+6y=2$，则$x-y=$.
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
本题要求$x-y$的值，观察给出的两个二元一次方程的系数特点，可不用分别求解$x$和$y$的值，直接将两个方程左右两边对应相减，即可得到含有$x-y$的等式，简化计算过程。
【解析】
解：将两个方程分别标记为：
$\begin{cases}4x+5y=3&①\\3x+6y=2&②\end{cases}$
用①式减去②式，左边计算得：
$(4x+5y)-(3x+6y)=4x+5y-3x-6y=x-y$
右边计算得：$3-2=1$
因此可得$x-y=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
加减消元法，代数式整体求值
【点评】
本题解题核心是灵活观察方程系数特征，运用消元思想直接得到所求代数式的值，规避了单独求解未知数的繁琐步骤，考查对消元方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
本题要求$x-y$的值，观察给出的两个二元一次方程的系数特点，可不用分别求解$x$和$y$的值，直接将两个方程左右两边对应相减，即可得到含有$x-y$的等式，简化计算过程。
【解析】
解：将两个方程分别标记为：
$\begin{cases}4x+5y=3&①\\3x+6y=2&②\end{cases}$
用①式减去②式，左边计算得：
$(4x+5y)-(3x+6y)=4x+5y-3x-6y=x-y$
右边计算得：$3-2=1$
因此可得$x-y=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
加减消元法，代数式整体求值
【点评】
本题解题核心是灵活观察方程系数特征，运用消元思想直接得到所求代数式的值，规避了单独求解未知数的繁琐步骤，考查对消元方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
18.“输入一个实数x，然后经过如图的运算，到判断是否大于190为止”叫作一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则x的取值范围是。
答案
解：根据题意，恰好经过两次操作停止，可得不等式组：
$\begin{cases}3x - 2 ≤ 190 \\3(3x - 2) - 2 ＞ 190\end{cases}$
解不等式 $3x - 2 ≤ 190$：
移项得 $3x ≤ 192$，
解得 $x ≤ 64$。
解不等式 $3(3x - 2) - 2 ＞ 190$：
展开得 $9x - 6 - 2 ＞ 190$，
整理得 $9x ＞ 198$，
解得 $x ＞ 22$。
综上，$x$ 的取值范围是 $22 ＜ x ≤ 64$。
$\begin{cases}3x - 2 ≤ 190 \\3(3x - 2) - 2 ＞ 190\end{cases}$
解不等式 $3x - 2 ≤ 190$：
移项得 $3x ≤ 192$，
解得 $x ≤ 64$。
解不等式 $3(3x - 2) - 2 ＞ 190$：
展开得 $9x - 6 - 2 ＞ 190$，
整理得 $9x ＞ 198$，
解得 $x ＞ 22$。
综上，$x$ 的取值范围是 $22 ＜ x ≤ 64$。
解析
【分析】
要解决恰好经过两次操作停止的问题，首先需要明确两次操作的判断条件：①第一次操作的结果不能满足停止条件，即运算结果≤190，否则第一次操作就会停止，不符合“恰好两次”的要求；②第二次操作的结果需要满足停止条件，即运算结果＞190。先分别写出两次操作对应的代数式，再根据两个条件列出不等式组，最后解不等式组就能得到x的取值范围。
【解析】
根据“恰好经过两次操作停止”的要求，列不等式组如下：
$\begin{cases}3x - 2 ≤ 190 \\3(3x - 2) - 2 ＞ 190\end{cases}$
解第一个不等式$3x - 2 ≤ 190$：
移项得$3x ≤ 190+2$，即$3x ≤ 192$，
两边同时除以3，解得$x ≤ 64$。
解第二个不等式$3(3x - 2) - 2 ＞ 190$：
先展开括号得$9x - 6 - 2 ＞ 190$，
整理得$9x - 8 ＞ 190$，移项得$9x ＞ 198$，
两边同时除以9，解得$x ＞ 22$。
综合两个不等式的解，可得x的取值范围是$22 ＜ x ≤ 64$。
【答案】
$22 ＜ x ≤ 64$
【知识点】
1. 一元一次不等式组求解
2. 程序运算分析
【点评】
本题结合程序运算考查不等式组的实际应用，解题的核心是准确理解“恰好两次操作停止”的含义，正确区分两次操作对应的不等号方向，避免因不等号使用错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
要解决恰好经过两次操作停止的问题，首先需要明确两次操作的判断条件：①第一次操作的结果不能满足停止条件，即运算结果≤190，否则第一次操作就会停止，不符合“恰好两次”的要求；②第二次操作的结果需要满足停止条件，即运算结果＞190。先分别写出两次操作对应的代数式，再根据两个条件列出不等式组，最后解不等式组就能得到x的取值范围。
【解析】
根据“恰好经过两次操作停止”的要求，列不等式组如下：
$\begin{cases}3x - 2 ≤ 190 \\3(3x - 2) - 2 ＞ 190\end{cases}$
解第一个不等式$3x - 2 ≤ 190$：
移项得$3x ≤ 190+2$，即$3x ≤ 192$，
两边同时除以3，解得$x ≤ 64$。
解第二个不等式$3(3x - 2) - 2 ＞ 190$：
先展开括号得$9x - 6 - 2 ＞ 190$，
整理得$9x - 8 ＞ 190$，移项得$9x ＞ 198$，
两边同时除以9，解得$x ＞ 22$。
综合两个不等式的解，可得x的取值范围是$22 ＜ x ≤ 64$。
【答案】
$22 ＜ x ≤ 64$
【知识点】
1. 一元一次不等式组求解
2. 程序运算分析
【点评】
本题结合程序运算考查不等式组的实际应用，解题的核心是准确理解“恰好两次操作停止”的含义，正确区分两次操作对应的不等号方向，避免因不等号使用错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
三、解答题
19. 解方程组：
(1) $\begin{cases}2x + 3y = 40, \\3x - 2y = -5;\end{cases}$
(2)
19. 解方程组：
(1) $\begin{cases}2x + 3y = 40, \\3x - 2y = -5;\end{cases}$
(2)
答案
解：
(1) $\begin{cases}2x + 3y = 40 \quad \textcircled{1} \\3x - 2y = -5 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
①×2，得：$4x + 6y = 80$ ③
②×3，得：$9x - 6y = -15$ ④
③+④，得：$13x = 65$
解得：$x = 5$
把$x=5$代入①，得：$2×5 + 3y = 40$
解得：$y = 10$
所以该方程组的解为$\begin{cases}x=5 \\y=10\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + y = 4 \quad \textcircled{1} \\\frac{x-1}{2} + \frac{y+1}{3} = 1 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
将方程②两边同乘6去分母，得：$3(x-1) + 2(y+1) = 6$
整理得：$3x + 2y = 7$ ③
由①得：$x = 4 - y$，代入③，得：
$3(4 - y) + 2y = 7$
$12 - 3y + 2y = 7$
解得：$y = 5$
把$y=5$代入$x=4-y$，得：$x = 4 - 5 = -1$
所以该方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\y=5\end{cases}$
(1) $\begin{cases}2x + 3y = 40 \quad \textcircled{1} \\3x - 2y = -5 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
①×2，得：$4x + 6y = 80$ ③
②×3，得：$9x - 6y = -15$ ④
③+④，得：$13x = 65$
解得：$x = 5$
把$x=5$代入①，得：$2×5 + 3y = 40$
解得：$y = 10$
所以该方程组的解为$\begin{cases}x=5 \\y=10\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + y = 4 \quad \textcircled{1} \\\frac{x-1}{2} + \frac{y+1}{3} = 1 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
将方程②两边同乘6去分母，得：$3(x-1) + 2(y+1) = 6$
整理得：$3x + 2y = 7$ ③
由①得：$x = 4 - y$，代入③，得：
$3(4 - y) + 2y = 7$
$12 - 3y + 2y = 7$
解得：$y = 5$
把$y=5$代入$x=4-y$，得：$x = 4 - 5 = -1$
所以该方程组的解为$\begin{cases}x=-1 \\y=5\end{cases}$
解析
【分析】
本题考查二元一次方程组的求解，核心思路是消元，可根据方程组的特点选择加减消元法或代入消元法。
(1)组两个方程中y的系数为3和-2，最小公倍数是6，可通过给两个方程分别乘2和3，使y的系数互为相反数，用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入原方程求出y的值即可；
(2)组第二个方程含有分母，先根据等式的性质给方程两边同乘分母的最小公倍数6去分母，整理为标准的整式方程，再结合第一个方程x+y=4，用代入消元法将x用含y的式子表示后代入整理后的整式方程，先求出y的值，再求x的值即可。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2x + 3y = 40 \quad \textcircled{1} \\3x - 2y = -5 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
①×2，得：$4x + 6y = 80$ ③
②×3，得：$9x - 6y = -15$ ④
③+④，得：$13x = 65$
解得：$x = 5$
把$x=5$代入①，得：$2×5 + 3y = 40$
解得：$y = 10$
(2) 记方程组为$\begin{cases}x + y = 4 \quad \textcircled{1} \\\frac{x-1}{2} + \frac{y+1}{3} = 1 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
将方程②两边同乘6去分母，得：$3(x-1) + 2(y+1) = 6$
整理得：$3x + 2y = 7$ ③
由①得：$x = 4 - y$，代入③，得：
$3(4 - y) + 2y = 7$
$12 - 3y + 2y = 7$
解得：$y = 5$
把$y=5$代入$x=4-y$，得：$x = 4 - 5 = -1$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=5 \\y=10\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=-1 \\y=5\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，等式的性质，消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础常规题，重点考察消元法的灵活应用，计算时要注意：去分母时不要漏乘不含分母的常数项，消元计算过程中要注意符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二元一次方程组的求解，核心思路是消元，可根据方程组的特点选择加减消元法或代入消元法。
(1)组两个方程中y的系数为3和-2，最小公倍数是6，可通过给两个方程分别乘2和3，使y的系数互为相反数，用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入原方程求出y的值即可；
(2)组第二个方程含有分母，先根据等式的性质给方程两边同乘分母的最小公倍数6去分母，整理为标准的整式方程，再结合第一个方程x+y=4，用代入消元法将x用含y的式子表示后代入整理后的整式方程，先求出y的值，再求x的值即可。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2x + 3y = 40 \quad \textcircled{1} \\3x - 2y = -5 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
①×2，得：$4x + 6y = 80$ ③
②×3，得：$9x - 6y = -15$ ④
③+④，得：$13x = 65$
解得：$x = 5$
把$x=5$代入①，得：$2×5 + 3y = 40$
解得：$y = 10$
(2) 记方程组为$\begin{cases}x + y = 4 \quad \textcircled{1} \\\frac{x-1}{2} + \frac{y+1}{3} = 1 \quad \textcircled{2}\end{cases}$
将方程②两边同乘6去分母，得：$3(x-1) + 2(y+1) = 6$
整理得：$3x + 2y = 7$ ③
由①得：$x = 4 - y$，代入③，得：
$3(4 - y) + 2y = 7$
$12 - 3y + 2y = 7$
解得：$y = 5$
把$y=5$代入$x=4-y$，得：$x = 4 - 5 = -1$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=5 \\y=10\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=-1 \\y=5\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，等式的性质，消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的基础常规题，重点考察消元法的灵活应用，计算时要注意：去分母时不要漏乘不含分母的常数项，消元计算过程中要注意符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
20.(1)解不等式$\frac{2x+3}{6} -1 ＞ \frac{x-1}{2}$，并把不等式的解集在数轴上表示出来；
(2)解不等式组：$\begin{cases} x-2 ＜ 0, \\ 2(2x-1) ≤ 1+5x. \end{cases}$
(2)解不等式组：$\begin{cases} x-2 ＜ 0, \\ 2(2x-1) ≤ 1+5x. \end{cases}$
答案
解：
(1) 去分母，得 $2x + 3 - 6 ＞ 3(x - 1)$
去括号，得 $2x + 3 - 6 ＞ 3x - 3$
移项，得 $2x - 3x ＞ -3 - 3 + 6$
合并同类项，得 $-x ＞ 0$
系数化为1，得 $x ＜ 0$
在数轴上表示解集：画数轴，标记原点0，在点0处画空心圆圈，沿数轴向左延伸，该部分即为不等式的解集。
(2) $\begin{cases} x - 2 ＜ 0 \quad ① \\ 2(2x - 1) ≤ 1 + 5x \quad ② \end{cases}$
解不等式①，得 $x ＜ 2$
解不等式②：
去括号，得 $4x - 2 ≤ 1 + 5x$
移项，得 $4x - 5x ≤ 1 + 2$
合并同类项，得 $-x ≤ 3$
系数化为1，得 $x ≥ -3$
所以原不等式组的解集为 $-3 ≤ x ＜ 2$。
(1) 去分母，得 $2x + 3 - 6 ＞ 3(x - 1)$
去括号，得 $2x + 3 - 6 ＞ 3x - 3$
移项，得 $2x - 3x ＞ -3 - 3 + 6$
合并同类项，得 $-x ＞ 0$
系数化为1，得 $x ＜ 0$
在数轴上表示解集：画数轴，标记原点0，在点0处画空心圆圈，沿数轴向左延伸，该部分即为不等式的解集。
(2) $\begin{cases} x - 2 ＜ 0 \quad ① \\ 2(2x - 1) ≤ 1 + 5x \quad ② \end{cases}$
解不等式①，得 $x ＜ 2$
解不等式②：
去括号，得 $4x - 2 ≤ 1 + 5x$
移项，得 $4x - 5x ≤ 1 + 2$
合并同类项，得 $-x ≤ 3$
系数化为1，得 $x ≥ -3$
所以原不等式组的解集为 $-3 ≤ x ＜ 2$。
解析
【分析】
(1) 解一元一次不等式可按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，系数为负数时系数化1要改变不等号方向；数轴表示解集时，不包含的端点用空心圆圈，小于对应向左画射线。
(2) 解一元一次不等式组，先分别求解每个不等式的解集，再找两个解集的公共部分即为不等式组的解集，可借助解集口诀快速确定公共范围。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{2x+3}{6} -1 ＞ \frac{x-1}{2}$：
去分母，两边同乘6得 $2x + 3 - 6 ＞ 3(x - 1)$
去括号得 $2x + 3 - 6 ＞ 3x - 3$
移项得 $2x - 3x ＞ -3 - 3 + 6$
合并同类项得 $-x ＞ 0$
系数化为1，不等号方向改变得 $x ＜ 0$
数轴表示：画数轴标记原点0，在0点处画空心圆圈，沿数轴向左延伸的射线即为解集。
(2) 解不等式组$\begin{cases} x-2 ＜ 0 \quad ① \\ 2(2x-1) ≤ 1+5x \quad ② \end{cases}$：
解不等式①，移项得 $x ＜ 2$
解不等式②：
去括号得 $4x - 2 ≤ 1 + 5x$
移项得 $4x - 5x ≤ 1 + 2$
合并同类项得 $-x ≤ 3$
系数化为1，不等号方向改变得 $x ≥ -3$
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集。
【答案】
(1) $x ＜ 0$，数轴表示为原点0处画空心圆圈，向左延伸；
(2) $-3 ≤ x ＜ 2$
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法，解集的数轴表示
【点评】
本题属于不等式基础题，重点考查解不等式（组）的规范步骤，易错点为去分母漏乘常数项、系数化为1时忘记变号、数轴表示时混淆空心和实心用法，掌握基础操作和注意事项即可得分。
【难度系数】
0.75
(1) 解一元一次不等式可按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，系数为负数时系数化1要改变不等号方向；数轴表示解集时，不包含的端点用空心圆圈，小于对应向左画射线。
(2) 解一元一次不等式组，先分别求解每个不等式的解集，再找两个解集的公共部分即为不等式组的解集，可借助解集口诀快速确定公共范围。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{2x+3}{6} -1 ＞ \frac{x-1}{2}$：
去分母，两边同乘6得 $2x + 3 - 6 ＞ 3(x - 1)$
去括号得 $2x + 3 - 6 ＞ 3x - 3$
移项得 $2x - 3x ＞ -3 - 3 + 6$
合并同类项得 $-x ＞ 0$
系数化为1，不等号方向改变得 $x ＜ 0$
数轴表示：画数轴标记原点0，在0点处画空心圆圈，沿数轴向左延伸的射线即为解集。
(2) 解不等式组$\begin{cases} x-2 ＜ 0 \quad ① \\ 2(2x-1) ≤ 1+5x \quad ② \end{cases}$：
解不等式①，移项得 $x ＜ 2$
解不等式②：
去括号得 $4x - 2 ≤ 1 + 5x$
移项得 $4x - 5x ≤ 1 + 2$
合并同类项得 $-x ≤ 3$
系数化为1，不等号方向改变得 $x ≥ -3$
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集。
【答案】
(1) $x ＜ 0$，数轴表示为原点0处画空心圆圈，向左延伸；
(2) $-3 ≤ x ＜ 2$
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法，解集的数轴表示
【点评】
本题属于不等式基础题，重点考查解不等式（组）的规范步骤，易错点为去分母漏乘常数项、系数化为1时忘记变号、数轴表示时混淆空心和实心用法，掌握基础操作和注意事项即可得分。
【难度系数】
0.75
