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8. 下列方程组中,是二元一次方程组的是 ()
A.$\begin{cases} x - y + xy = 4, \\ 3x - y = 4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x + 3y = 6, \\ 2y + z = 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x - y + xy = 4, \\ 3x - y = 4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x + 3y = 6, \\ 2y + z = 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$
答案
C
解析
【分析】
要判断一个方程组是否为二元一次方程组，需紧扣三个判定标准：1. 方程组中一共仅含有2个不同的未知数；2. 每个方程里含未知数的项的次数都为1；3. 所有方程都是整式方程。解题时对照这三个标准逐一排查每个选项，就能快速得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：第一个方程中含有$xy$项，$xy$这一项的次数是2，不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，不属于二元一次方程组；
B选项：方程组中出现了$x、y、z$共3个未知数，不符合“只含2个不同未知数”的要求，不属于二元一次方程组；
C选项：方程组仅含有$x、y$两个未知数，两个方程中含未知数的项的次数都是1，且均为整式方程，符合二元一次方程组的定义；
D选项：第二个方程中含有$x^2$和$y^2$项，次数为2，不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，不属于二元一次方程组。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的定义；单项式的次数
【点评】
本题属于概念考查类基础题，解题的关键是准确掌握二元一次方程组的判定要点，注意避开“未知数次数为2的项、额外出现的未知数”等常见易错点即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
要判断一个方程组是否为二元一次方程组，需紧扣三个判定标准：1. 方程组中一共仅含有2个不同的未知数；2. 每个方程里含未知数的项的次数都为1；3. 所有方程都是整式方程。解题时对照这三个标准逐一排查每个选项，就能快速得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：第一个方程中含有$xy$项，$xy$这一项的次数是2，不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，不属于二元一次方程组；
B选项：方程组中出现了$x、y、z$共3个未知数，不符合“只含2个不同未知数”的要求，不属于二元一次方程组；
C选项：方程组仅含有$x、y$两个未知数，两个方程中含未知数的项的次数都是1，且均为整式方程，符合二元一次方程组的定义；
D选项：第二个方程中含有$x^2$和$y^2$项，次数为2，不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，不属于二元一次方程组。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的定义；单项式的次数
【点评】
本题属于概念考查类基础题，解题的关键是准确掌握二元一次方程组的判定要点，注意避开“未知数次数为2的项、额外出现的未知数”等常见易错点即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
9. 不等式组$\begin{cases}x+1≥ 0, \\ x-2＜0\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是（ ）
答案
$\boxed{D}$
解析
【分析】
解题时先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个不等式的解集后，取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后根据“大于等于用实心点、小于用空心圈，大于向右、小于向左”的数轴表示规则，对应判断选项即可。
【解析】
解不等式$x+1≥0$，移项得$x≥-1$；
解不等式$x-2＜0$，移项得$x＜2$；
因此不等式组的解集为$-1≤ x＜2$。
在数轴上表示该解集：在$-1$的位置画实心圆点，向右延伸；在$2$的位置画空心圆圈，向左延伸，两者的公共部分即为解集的表示，对应选项D符合要求。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题，重点考查不等式组解集的求解和数轴表示方法，解题时要注意区分实心点和空心圈的使用场景，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.8
解题时先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个不等式的解集后，取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后根据“大于等于用实心点、小于用空心圈，大于向右、小于向左”的数轴表示规则，对应判断选项即可。
【解析】
解不等式$x+1≥0$，移项得$x≥-1$；
解不等式$x-2＜0$，移项得$x＜2$；
因此不等式组的解集为$-1≤ x＜2$。
在数轴上表示该解集：在$-1$的位置画实心圆点，向右延伸；在$2$的位置画空心圆圈，向左延伸，两者的公共部分即为解集的表示，对应选项D符合要求。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题，重点考查不等式组解集的求解和数轴表示方法，解题时要注意区分实心点和空心圈的使用场景，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.8
10. 下列命题:①对顶角相等:②实数与数轴上的点一一对应;③两直线被第三条直线所截,同旁内角互补;④从直线外一点到这条直线的垂线段,叫作这点到这条直线的距离;⑤$\sqrt{49}$的平方根是$\pm7$. 其中是真命题的有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解决这道题的核心思路是逐个辨析每个命题的真假，结合已学的相关定义、定理、性质，逐一核对命题表述是否符合规范，尤其要注意概念的适用前提和表述细节，避免因记忆模糊或忽略限制条件出错，最后统计真命题的总个数即可匹配正确选项。
【解析】
我们对5个命题逐一分析：
1. 命题①：对顶角相等是对顶角的基本性质，表述正确，属于真命题；
2. 命题②：实数与数轴上的点是一一对应的，每一个实数都对应数轴上唯一的点，数轴上的任意一点也对应唯一的实数，表述正确，属于真命题；
3. 命题③：只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，命题未说明两条直线平行，表述错误，属于假命题；
4. 命题④：点到直线的距离指的是从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，是数量，不是垂线段这个图形本身，表述错误，属于假命题；
5. 命题⑤：先计算得$\sqrt{49}=7$，7的平方根是$\pm\sqrt{7}$，不是$\pm7$，表述错误，属于假命题。
综上，真命题为①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
对顶角的性质；实数与数轴的对应关系；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对数学基础定义、定理的掌握准确度，解题时要格外注意相似概念的区分，以及定理成立的前提条件，避免因粗心或概念混淆失分。
【难度系数】
0.6
解决这道题的核心思路是逐个辨析每个命题的真假，结合已学的相关定义、定理、性质，逐一核对命题表述是否符合规范，尤其要注意概念的适用前提和表述细节，避免因记忆模糊或忽略限制条件出错，最后统计真命题的总个数即可匹配正确选项。
【解析】
我们对5个命题逐一分析：
1. 命题①：对顶角相等是对顶角的基本性质，表述正确，属于真命题；
2. 命题②：实数与数轴上的点是一一对应的，每一个实数都对应数轴上唯一的点，数轴上的任意一点也对应唯一的实数，表述正确，属于真命题；
3. 命题③：只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，命题未说明两条直线平行，表述错误，属于假命题；
4. 命题④：点到直线的距离指的是从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，是数量，不是垂线段这个图形本身，表述错误，属于假命题；
5. 命题⑤：先计算得$\sqrt{49}=7$，7的平方根是$\pm\sqrt{7}$，不是$\pm7$，表述错误，属于假命题。
综上，真命题为①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
对顶角的性质；实数与数轴的对应关系；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对数学基础定义、定理的掌握准确度，解题时要格外注意相似概念的区分，以及定理成立的前提条件，避免因粗心或概念混淆失分。
【难度系数】
0.6
11. 如图，AB//CD，∠1=65°，则∠2的度数是。
答案
$\boldsymbol{115°}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：AB与CD平行，被第三条直线所截，已知∠1的度数，求∠2的度数。我们可以先利用平行线的性质找到与∠1相等的角，这个角和∠2是邻补角，和为180°，再通过邻补角的和差关系即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD（已知）
∴∠1与∠2的邻补角相等（两直线平行，同位角相等）
即∠2的邻补角=∠1=65°
又
∵∠2与其邻补角之和为180°（邻补角的定义）
∴∠2=180°-65°=115°
【答案】
$\boldsymbol{115°}$
【知识点】
平行线的性质，邻补角的定义
【点评】
本题是平行线性质的基础应用类题目，解题的关键是找准平行线被截后形成的角度关系，结合邻补角的性质进行计算，属于基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察图形特征：AB与CD平行，被第三条直线所截，已知∠1的度数，求∠2的度数。我们可以先利用平行线的性质找到与∠1相等的角，这个角和∠2是邻补角，和为180°，再通过邻补角的和差关系即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD（已知）
∴∠1与∠2的邻补角相等（两直线平行，同位角相等）
即∠2的邻补角=∠1=65°
又
∵∠2与其邻补角之和为180°（邻补角的定义）
∴∠2=180°-65°=115°
【答案】
$\boldsymbol{115°}$
【知识点】
平行线的性质，邻补角的定义
【点评】
本题是平行线性质的基础应用类题目，解题的关键是找准平行线被截后形成的角度关系，结合邻补角的性质进行计算，属于基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
12.为了调查某校5000名学生对中国梦的了解程度，随机抽取部分学生进行调查，并结合数据作出如图的扇形统计图。根据统计图提供的信息，估计该校“不太了解”的学生共有名。
答案
$\boldsymbol{500}$
解析
【分析】
解题首先要明确扇形统计图的核心性质：所有类别的占比之和为1（即100%）。我们分两步思考：第一步先求出“不太了解”的学生占总人数的百分比，用整体1减去已知三类的占比即可；第二步用全校总人数乘以“不太了解”的占比，就能估算出该校该类别的学生总人数。
【解析】
首先计算“不太了解”的学生所占的百分比：
$1 - 55\% - 20\% - 15\% = 10\%$
再用全校总人数乘以该占比，得到估计的人数：
$5000 × 10\% = 500$（名）
【答案】
$\boldsymbol{500}$
【知识点】
扇形统计图；用样本估计总体；百分数计算
【点评】
本题属于统计类基础题型，核心考查对扇形统计图特点的理解，只要掌握各部分占比总和为1的规律，结合简单的百分数运算就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确扇形统计图的核心性质：所有类别的占比之和为1（即100%）。我们分两步思考：第一步先求出“不太了解”的学生占总人数的百分比，用整体1减去已知三类的占比即可；第二步用全校总人数乘以“不太了解”的占比，就能估算出该校该类别的学生总人数。
【解析】
首先计算“不太了解”的学生所占的百分比：
$1 - 55\% - 20\% - 15\% = 10\%$
再用全校总人数乘以该占比，得到估计的人数：
$5000 × 10\% = 500$（名）
【答案】
$\boldsymbol{500}$
【知识点】
扇形统计图；用样本估计总体；百分数计算
【点评】
本题属于统计类基础题型，核心考查对扇形统计图特点的理解，只要掌握各部分占比总和为1的规律，结合简单的百分数运算就能快速求解。
【难度系数】
0.8
13. 解二元一次方程组$\begin{cases}x+5y=6①, \\ x-3y=-2②\end{cases}$时，小华用加减消元法消去未知数$x$，按照他的思路，用①$-$②，解得$y=$ ______ .
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
本题要求用加减消元法，通过①-②消去x求解y的值。解题时首先遵循加减消元法的规则，将两个等式的左右两边分别相减，就能消去系数相同的x，再通过合并同类项、系数化为1就可以求出y的值，计算时要格外注意去括号、负数减法的符号变化。
【解析】
按照题意用①$-$②计算：
等式左边相减：$(x+5y)-(x-3y)=x+5y-x+3y=8y$
等式右边相减：$6-(-2)=6+2=8$
得到新方程：$8y=8$
方程两边同时除以8，解得$y=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础题型，重点考查加减消元法的基础应用，做题时要注意去括号、负数运算的符号规则，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.85
本题要求用加减消元法，通过①-②消去x求解y的值。解题时首先遵循加减消元法的规则，将两个等式的左右两边分别相减，就能消去系数相同的x，再通过合并同类项、系数化为1就可以求出y的值，计算时要格外注意去括号、负数减法的符号变化。
【解析】
按照题意用①$-$②计算：
等式左边相减：$(x+5y)-(x-3y)=x+5y-x+3y=8y$
等式右边相减：$6-(-2)=6+2=8$
得到新方程：$8y=8$
方程两边同时除以8，解得$y=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础题型，重点考查加减消元法的基础应用，做题时要注意去括号、负数运算的符号规则，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.85
14.如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=72°，则∠DOE=
答案
$\boldsymbol{36°}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形，直线AB与CD相交形成对顶角，根据对顶角相等的性质，可先求出∠DOB的度数；再结合OE平分∠DOB的条件，利用角平分线的定义，将∠DOB的度数除以2即可得到∠DOE的度数。
【解析】
解：
∵直线AB与CD相交于点O，∠AOC=72°，
∴∠DOB = ∠AOC = 72°（对顶角相等），
又
∵OE平分∠DOB，
∴$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ DOB=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
对顶角的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础题型，核心是结合图形识别对顶角，再结合角平分线的定义进行角度计算，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形，直线AB与CD相交形成对顶角，根据对顶角相等的性质，可先求出∠DOB的度数；再结合OE平分∠DOB的条件，利用角平分线的定义，将∠DOB的度数除以2即可得到∠DOE的度数。
【解析】
解：
∵直线AB与CD相交于点O，∠AOC=72°，
∴∠DOB = ∠AOC = 72°（对顶角相等），
又
∵OE平分∠DOB，
∴$∠ DOE=\frac{1}{2}∠ DOB=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
对顶角的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础题型，核心是结合图形识别对顶角，再结合角平分线的定义进行角度计算，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
