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24.某食品企业计划采购两种特色商品进行销售.已知采购2箱巧克力和3箱木耳共需1 800元,采购3箱巧克力和1箱木耳共需1 300元.
(1)求巧克力和木耳每箱的采购价格各是多少元?
(2)若该食品企业计划采购这两种商品共100箱,且采购总资金不超过35 000元,则该食品企业采购巧克力不少于多少箱?
(1)求巧克力和木耳每箱的采购价格各是多少元?
(2)若该食品企业计划采购这两种商品共100箱,且采购总资金不超过35 000元,则该食品企业采购巧克力不少于多少箱?
答案
解：(1) 设巧克力每箱的采购价格为$x$元，木耳每箱的采购价格为$y$元。
根据题意，得
$\begin{cases}2x + 3y = 1800 \\3x + y = 1300\end{cases}$
由$3x + y = 1300$得 $y = 1300 - 3x$，将其代入$2x + 3y = 1800$：
$2x + 3(1300 - 3x) = 1800$
$2x + 3900 - 9x = 1800$
$-7x = -2100$
解得 $x = 300$
把$x=300$代入$y=1300 - 3x$，得$y = 1300 - 900 = 400$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=300 \\ y=400\end{cases}$
(2) 设该食品企业采购巧克力$m$箱，则采购木耳$(100 - m)$箱。
根据题意，得
$300m + 400(100 - m) ≤ 35000$
$300m + 40000 - 400m ≤ 35000$
$-100m ≤ -5000$
解得 $m ≥ 50$
答：(1) 巧克力每箱的采购价格是300元，木耳每箱的采购价格是400元；(2) 该食品企业采购巧克力不少于50箱。
根据题意，得
$\begin{cases}2x + 3y = 1800 \\3x + y = 1300\end{cases}$
由$3x + y = 1300$得 $y = 1300 - 3x$，将其代入$2x + 3y = 1800$：
$2x + 3(1300 - 3x) = 1800$
$2x + 3900 - 9x = 1800$
$-7x = -2100$
解得 $x = 300$
把$x=300$代入$y=1300 - 3x$，得$y = 1300 - 900 = 400$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=300 \\ y=400\end{cases}$
(2) 设该食品企业采购巧克力$m$箱，则采购木耳$(100 - m)$箱。
根据题意，得
$300m + 400(100 - m) ≤ 35000$
$300m + 40000 - 400m ≤ 35000$
$-100m ≤ -5000$
解得 $m ≥ 50$
答：(1) 巧克力每箱的采购价格是300元，木耳每箱的采购价格是400元；(2) 该食品企业采购巧克力不少于50箱。
解析
【分析】
（1）第一问有两个未知量，对应两个明确的费用等量关系，我们可以设两个未知数列二元一次方程组求解。先根据“2箱巧克力费用+3箱木耳费用=1800元”“3箱巧克力费用+1箱木耳费用=1300元”列方程组，再用代入消元法求解即可。
（2）第二问是带资金限制的采购问题，属于不等关系的应用。设采购巧克力的箱数为未知数，木耳的箱数可用总箱数减去巧克力箱数表示，再根据“总采购资金≤35000元”列一元一次不等式，求解得到取值范围即可得到最少采购箱数，注意不等式两边除以负数时，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 设巧克力每箱的采购价格为$x$元，木耳每箱的采购价格为$y$元。
根据题意，得
$\begin{cases}2x + 3y = 1800 \\3x + y = 1300\end{cases}$
由$3x + y = 1300$得 $y = 1300 - 3x$，将其代入$2x + 3y = 1800$：
$2x + 3(1300 - 3x) = 1800$
$2x + 3900 - 9x = 1800$
$-7x = -2100$
解得 $x = 300$
把$x=300$代入$y=1300 - 3x$，得$y = 1300 - 900 = 400$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=300 \\ y=400\end{cases}$
(2) 设该食品企业采购巧克力$m$箱，则采购木耳$(100 - m)$箱。
根据题意，得
$300m + 400(100 - m) ≤ 35000$
$300m + 40000 - 400m ≤ 35000$
$-100m ≤ -5000$
解得 $m ≥ 50$
【答案】
(1) 巧克力每箱的采购价格是300元，木耳每箱的采购价格是400元；
(2) 该食品企业采购巧克力不少于50箱。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际采购场景，考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，正确列式求解。计算时要注意解不等式系数化为1时，若系数为负，不等号方向需要改变，是应用题中的常考基础题型。
【难度系数】
0.75
（1）第一问有两个未知量，对应两个明确的费用等量关系，我们可以设两个未知数列二元一次方程组求解。先根据“2箱巧克力费用+3箱木耳费用=1800元”“3箱巧克力费用+1箱木耳费用=1300元”列方程组，再用代入消元法求解即可。
（2）第二问是带资金限制的采购问题，属于不等关系的应用。设采购巧克力的箱数为未知数，木耳的箱数可用总箱数减去巧克力箱数表示，再根据“总采购资金≤35000元”列一元一次不等式，求解得到取值范围即可得到最少采购箱数，注意不等式两边除以负数时，不等号方向要改变。
【解析】
(1) 设巧克力每箱的采购价格为$x$元，木耳每箱的采购价格为$y$元。
根据题意，得
$\begin{cases}2x + 3y = 1800 \\3x + y = 1300\end{cases}$
由$3x + y = 1300$得 $y = 1300 - 3x$，将其代入$2x + 3y = 1800$：
$2x + 3(1300 - 3x) = 1800$
$2x + 3900 - 9x = 1800$
$-7x = -2100$
解得 $x = 300$
把$x=300$代入$y=1300 - 3x$，得$y = 1300 - 900 = 400$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=300 \\ y=400\end{cases}$
(2) 设该食品企业采购巧克力$m$箱，则采购木耳$(100 - m)$箱。
根据题意，得
$300m + 400(100 - m) ≤ 35000$
$300m + 40000 - 400m ≤ 35000$
$-100m ≤ -5000$
解得 $m ≥ 50$
【答案】
(1) 巧克力每箱的采购价格是300元，木耳每箱的采购价格是400元；
(2) 该食品企业采购巧克力不少于50箱。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际采购场景，考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，正确列式求解。计算时要注意解不等式系数化为1时，若系数为负，不等号方向需要改变，是应用题中的常考基础题型。
【难度系数】
0.75
25.阅读材料:如果x是一个有理数,我们把不超过x的最大整数记作[x].
例如,$[3.2]=3,[5]=5,[-2.1]=-3$.那么,$x=[x]+a$,其中$0≤a＜1$.例如,
$3.2=[3.2]+0.2,5=[5]+0,-2.1=[-2.1]+0.9$.
解决下列问题:
(1)填空:$[4.8]=$,$[-6.5]=$;
(2)如果$[x]=3$,那么$x$的取值范围是;
(3)如果$[3.5x-2]=2x+1$,求$x$的值;
(4)如果$x=[x]+a$,其中$0≤a＜1$,且$2a=[x]-1$,直接写出$x$的值.
例如,$[3.2]=3,[5]=5,[-2.1]=-3$.那么,$x=[x]+a$,其中$0≤a＜1$.例如,
$3.2=[3.2]+0.2,5=[5]+0,-2.1=[-2.1]+0.9$.
解决下列问题:
(1)填空:$[4.8]=$,$[-6.5]=$;
(2)如果$[x]=3$,那么$x$的取值范围是;
(3)如果$[3.5x-2]=2x+1$,求$x$的值;
(4)如果$x=[x]+a$,其中$0≤a＜1$,且$2a=[x]-1$,直接写出$x$的值.
答案
解：
(1) 根据定义，不超过4.8的最大整数是4，不超过-6.5的最大整数是-7，
所以$[4.8]=\boldsymbol{4}$，$[-6.5]=\boldsymbol{-7}$；
(2) 若$[x]=3$，则x满足大于等于3且小于4，x的取值范围是$\boldsymbol{3≤ x ＜4}$；
(3) 由取整的定义可得：
$2x+1 ≤ 3.5x - 2 ＜ 2x + 2$
解不等式$2x+1 ≤ 3.5x - 2$，
移项得$3 ≤ 1.5x$，
解得$x≥ 2$。
解不等式$3.5x - 2 ＜ 2x + 2$，
移项得$1.5x ＜ 4$，
解得$x ＜ \frac{8}{3}$。
因为$[3.5x-2]=2x+1$，取整结果为整数，所以$2x+1$是整数。
由$2≤ x ＜ \frac{8}{3}$，得$5≤ 2x+1 ＜ 6\frac{1}{3}$，
因此整数$2x+1$可取5、6。
当$2x+1=5$时，解得$x=2$；
当$2x+1=6$时，解得$x=\frac{5}{2}$。
综上，x的值为$2$或$\frac{5}{2}$。
(4) 由$2a=[x]-1$得$a=\frac{[x]-1}{2}$，代入$0≤ a ＜1$，
得$0≤ \frac{[x]-1}{2} ＜1$，解得$1≤ [x] ＜3$。
因为$[x]$是整数，所以$[x]=1$或$[x]=2$。
当$[x]=1$时，$a=0$，$x=1+0=1$；
当$[x]=2$时，$a=0.5$，$x=2+0.5=2.5$。
所以x的值为$1$或$2.5$。
(1) 根据定义，不超过4.8的最大整数是4，不超过-6.5的最大整数是-7，
所以$[4.8]=\boldsymbol{4}$，$[-6.5]=\boldsymbol{-7}$；
(2) 若$[x]=3$，则x满足大于等于3且小于4，x的取值范围是$\boldsymbol{3≤ x ＜4}$；
(3) 由取整的定义可得：
$2x+1 ≤ 3.5x - 2 ＜ 2x + 2$
解不等式$2x+1 ≤ 3.5x - 2$，
移项得$3 ≤ 1.5x$，
解得$x≥ 2$。
解不等式$3.5x - 2 ＜ 2x + 2$，
移项得$1.5x ＜ 4$，
解得$x ＜ \frac{8}{3}$。
因为$[3.5x-2]=2x+1$，取整结果为整数，所以$2x+1$是整数。
由$2≤ x ＜ \frac{8}{3}$，得$5≤ 2x+1 ＜ 6\frac{1}{3}$，
因此整数$2x+1$可取5、6。
当$2x+1=5$时，解得$x=2$；
当$2x+1=6$时，解得$x=\frac{5}{2}$。
综上，x的值为$2$或$\frac{5}{2}$。
(4) 由$2a=[x]-1$得$a=\frac{[x]-1}{2}$，代入$0≤ a ＜1$，
得$0≤ \frac{[x]-1}{2} ＜1$，解得$1≤ [x] ＜3$。
因为$[x]$是整数，所以$[x]=1$或$[x]=2$。
当$[x]=1$时，$a=0$，$x=1+0=1$；
当$[x]=2$时，$a=0.5$，$x=2+0.5=2.5$。
所以x的值为$1$或$2.5$。
解析
【分析】
本题围绕新定义的取整符号[x]展开，解题核心是准确理解“[x]是不超过x的最大整数”这一规则，结合“x=[x]+a，0≤a＜1”的关系推导：
1. 第（1）问直接套用定义，分别找到不超过4.8和-6.5的最大整数即可；
2. 第（2）问根据[x]=3，可知x不小于3，且小于4（若x≥4则[x]≥4，不符合要求），即可得到x的范围；
3. 第（3）问先根据取整规则，由[3.5x-2]=2x+1得到不等式组2x+1≤3.5x-2＜2x+2，解不等式组得到x的范围，再结合2x+1是整数的条件，求出符合要求的x值；
4. 第（4）问先将a用[x]表示，代入a的取值范围0≤a＜1，求出[x]的可能整数值，再分别计算对应的a和x即可。
【解析】
(1) 根据“不超过x的最大整数记作[x]”的定义，不超过4.8的最大整数是4，不超过-6.5的最大整数是-7，所以$[4.8]=4$，$[-6.5]=-7$；
(2) 若$[x]=3$，说明$x≥3$，且$x＜4$（若$x≥4$，则$[x]≥4$，不符合要求），故x的取值范围是$3≤x＜4$；
(3) 由取整的定义可得不等式组：
$2x+1 ≤ 3.5x - 2 ＜ 2x + 2$
①解不等式$2x+1 ≤ 3.5x - 2$：
移项得$1+2 ≤ 3.5x - 2x$，即$3 ≤ 1.5x$，解得$x≥2$；
②解不等式$3.5x - 2 ＜ 2x + 2$：
移项得$3.5x - 2x ＜ 2+2$，即$1.5x ＜4$，解得$x＜\frac{8}{3}$；
又因为取整结果为整数，所以$2x+1$是整数，
由$2≤x＜\frac{8}{3}$，可得$5≤2x+1＜6\frac{1}{3}$，因此整数$2x+1$可取5、6；
当$2x+1=5$时，解得$x=2$；当$2x+1=6$时，解得$x=\frac{5}{2}$；
综上，x的值为$2$或$\frac{5}{2}$；
(4) 由$2a=[x]-1$得$a=\frac{[x]-1}{2}$，代入$0≤a＜1$得：
$0≤\frac{[x]-1}{2}＜1$，不等式两边同乘2得$0≤[x]-1＜2$，解得$1≤[x]＜3$；
因为[x]是整数，所以$[x]=1$或$[x]=2$；
当$[x]=1$时，$a=\frac{1-1}{2}=0$，$x=[x]+a=1+0=1$；
当$[x]=2$时，$a=\frac{2-1}{2}=0.5$，$x=[x]+a=2+0.5=2.5$；
所以x的值为$1$或$2.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{-7}$；
(2) $\boldsymbol{3≤x＜4}$；
(3) $\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$；
(4) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 一元一次不等式组应用
3. 整数的性质
【点评】
本题以新定义的取整运算为载体，重点考察对新定义的理解能力和一元一次不等式组的运用能力，解题的关键是准确把握取整函数对应的取值范围，结合整数的约束条件求解，需要注意负数取整时的特殊性，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
本题围绕新定义的取整符号[x]展开，解题核心是准确理解“[x]是不超过x的最大整数”这一规则，结合“x=[x]+a，0≤a＜1”的关系推导：
1. 第（1）问直接套用定义，分别找到不超过4.8和-6.5的最大整数即可；
2. 第（2）问根据[x]=3，可知x不小于3，且小于4（若x≥4则[x]≥4，不符合要求），即可得到x的范围；
3. 第（3）问先根据取整规则，由[3.5x-2]=2x+1得到不等式组2x+1≤3.5x-2＜2x+2，解不等式组得到x的范围，再结合2x+1是整数的条件，求出符合要求的x值；
4. 第（4）问先将a用[x]表示，代入a的取值范围0≤a＜1，求出[x]的可能整数值，再分别计算对应的a和x即可。
【解析】
(1) 根据“不超过x的最大整数记作[x]”的定义，不超过4.8的最大整数是4，不超过-6.5的最大整数是-7，所以$[4.8]=4$，$[-6.5]=-7$；
(2) 若$[x]=3$，说明$x≥3$，且$x＜4$（若$x≥4$，则$[x]≥4$，不符合要求），故x的取值范围是$3≤x＜4$；
(3) 由取整的定义可得不等式组：
$2x+1 ≤ 3.5x - 2 ＜ 2x + 2$
①解不等式$2x+1 ≤ 3.5x - 2$：
移项得$1+2 ≤ 3.5x - 2x$，即$3 ≤ 1.5x$，解得$x≥2$；
②解不等式$3.5x - 2 ＜ 2x + 2$：
移项得$3.5x - 2x ＜ 2+2$，即$1.5x ＜4$，解得$x＜\frac{8}{3}$；
又因为取整结果为整数，所以$2x+1$是整数，
由$2≤x＜\frac{8}{3}$，可得$5≤2x+1＜6\frac{1}{3}$，因此整数$2x+1$可取5、6；
当$2x+1=5$时，解得$x=2$；当$2x+1=6$时，解得$x=\frac{5}{2}$；
综上，x的值为$2$或$\frac{5}{2}$；
(4) 由$2a=[x]-1$得$a=\frac{[x]-1}{2}$，代入$0≤a＜1$得：
$0≤\frac{[x]-1}{2}＜1$，不等式两边同乘2得$0≤[x]-1＜2$，解得$1≤[x]＜3$；
因为[x]是整数，所以$[x]=1$或$[x]=2$；
当$[x]=1$时，$a=\frac{1-1}{2}=0$，$x=[x]+a=1+0=1$；
当$[x]=2$时，$a=\frac{2-1}{2}=0.5$，$x=[x]+a=2+0.5=2.5$；
所以x的值为$1$或$2.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{-7}$；
(2) $\boldsymbol{3≤x＜4}$；
(3) $\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$；
(4) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 一元一次不等式组应用
3. 整数的性质
【点评】
本题以新定义的取整运算为载体，重点考察对新定义的理解能力和一元一次不等式组的运用能力，解题的关键是准确把握取整函数对应的取值范围，结合整数的约束条件求解，需要注意负数取整时的特殊性，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
