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26.为了增加学生室外活动时间，某校计划从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练.经多方调研，现决定购买A品牌篮球和B品牌足球共50个，要求采购总费用不超过1.21万元.若甲、乙两商店销售这两种商品的零售价相同，其中篮球零售价为300元，足球零售价为200元.
(1)若按照商场零售价直接购买，最多可以买多少个篮球？
(2)为促进消费，盘活库存，甲、乙两商店均开展“大订单超值购”活动，推出不同的优惠方案:甲店篮球按零售价格打8折销售，足球按零售价格销售；乙店按照购买篮球和足球的零售总价格打9折销售.若学校至少采购18个篮球，请你运用所学知识，帮采购人员算一算，该校从哪家商店购买篮球和足球更合算？说说你的理由.(按照采购规定，篮球和足球只能从同一家商店购买)
(1)若按照商场零售价直接购买，最多可以买多少个篮球？
(2)为促进消费，盘活库存，甲、乙两商店均开展“大订单超值购”活动，推出不同的优惠方案:甲店篮球按零售价格打8折销售，足球按零售价格销售；乙店按照购买篮球和足球的零售总价格打9折销售.若学校至少采购18个篮球，请你运用所学知识，帮采购人员算一算，该校从哪家商店购买篮球和足球更合算？说说你的理由.(按照采购规定，篮球和足球只能从同一家商店购买)
答案
解：(1) 设购买篮球$x$个，则购买足球$(50-x)$个，1.21万元=12100元。
根据题意列不等式：
$300x + 200(50 - x) ≤ 12100$
$300x + 10000 - 200x ≤ 12100$
$100x ≤ 2100$
$x ≤ 21$
∵$x$为正整数，
∴$x$的最大值为21。
(2) 设学校购买篮球$m$个，则购买足球$(50 - m)$个，结合题意得$18 ≤ m ≤ 21$，且$m$为正整数。
设在甲店购买的总费用为$y_甲$元，在乙店购买的总费用为$y_乙$元。
$y_甲 = 300 × 0.8m + 200(50 - m) = 40m + 10000$
$y_乙 = 0.9 × [300m + 200(50 - m)] = 90m + 9000$
① 当$y_甲 ＜ y_乙$时：
$40m + 10000 ＜ 90m + 9000$
解得$m ＞ 20$，结合$18 ≤ m ≤ 21$得$m=21$，此时从甲店购买更合算；
② 当$y_甲 = y_乙$时：
$40m + 10000 = 90m + 9000$
解得$m=20$，此时两家商店费用相同，任选其一即可；
③ 当$y_甲 ＞ y_乙$时：
$40m + 10000 ＞ 90m + 9000$
解得$m ＜ 20$，结合$18 ≤ m ≤ 21$得$m=18$或19，此时从乙店购买更合算。
答：(1) 最多可以买21个篮球；
(2) 当采购篮球18个或19个时，选择乙店更合算；当采购篮球20个时，两家商店费用相同；当采购篮球21个时，选择甲店更合算。
根据题意列不等式：
$300x + 200(50 - x) ≤ 12100$
$300x + 10000 - 200x ≤ 12100$
$100x ≤ 2100$
$x ≤ 21$
∵$x$为正整数，
∴$x$的最大值为21。
(2) 设学校购买篮球$m$个，则购买足球$(50 - m)$个，结合题意得$18 ≤ m ≤ 21$，且$m$为正整数。
设在甲店购买的总费用为$y_甲$元，在乙店购买的总费用为$y_乙$元。
$y_甲 = 300 × 0.8m + 200(50 - m) = 40m + 10000$
$y_乙 = 0.9 × [300m + 200(50 - m)] = 90m + 9000$
① 当$y_甲 ＜ y_乙$时：
$40m + 10000 ＜ 90m + 9000$
解得$m ＞ 20$，结合$18 ≤ m ≤ 21$得$m=21$，此时从甲店购买更合算；
② 当$y_甲 = y_乙$时：
$40m + 10000 = 90m + 9000$
解得$m=20$，此时两家商店费用相同，任选其一即可；
③ 当$y_甲 ＞ y_乙$时：
$40m + 10000 ＞ 90m + 9000$
解得$m ＜ 20$，结合$18 ≤ m ≤ 21$得$m=18$或19，此时从乙店购买更合算。
答：(1) 最多可以买21个篮球；
(2) 当采购篮球18个或19个时，选择乙店更合算；当采购篮球20个时，两家商店费用相同；当采购篮球21个时，选择甲店更合算。
解析
【分析】
(1) 求解最多可购买的篮球数量，首先明确不等关系：采购篮球和足球的总费用≤1.21万元。我们设购买篮球$x$个，则足球数量为$(50-x)$个，先统一单位将1.21万元换算为12100元，再根据“单价×数量=总价”分别表示篮球、足球的总费用，列一元一次不等式求解，结合$x$为正整数取最大值即可。
(2) 要判断在哪家商店购买更合算，首先设购买篮球$m$个，结合第一问的结论和“至少采购18个篮球”的要求，可得$m$的取值范围为$18≤m≤21$（$m$为正整数）。接下来分别根据甲、乙两店的优惠规则，列出在两家店采购的总费用的代数式，再分三种情况比较两个费用的大小：甲店费用＜乙店费用、甲店费用=乙店费用、甲店费用＞乙店费用，分别求出对应$m$的取值，即可得到不同采购数量下的最优选择。
【解析】
(1) 设购买篮球$x$个，则购买足球$(50-x)$个，1.21万元=12100元。
根据题意列不等式：
$300x + 200(50 - x) ≤ 12100$
$300x + 10000 - 200x ≤ 12100$
$100x ≤ 2100$
$x ≤ 21$
∵$x$为正整数，
∴$x$的最大值为21。
(2) 设学校购买篮球$m$个，则购买足球$(50 - m)$个，结合题意得$18 ≤ m ≤ 21$，且$m$为正整数。
设在甲店购买的总费用为$y_甲$元，在乙店购买的总费用为$y_乙$元。
$y_甲 = 300 × 0.8m + 200(50 - m) = 40m + 10000$
$y_乙 = 0.9 × [300m + 200(50 - m)] = 90m + 9000$
① 当$y_甲 ＜ y_乙$时：
$40m + 10000 ＜ 90m + 9000$
解得$m ＞ 20$，结合$18 ≤ m ≤ 21$得$m=21$，此时从甲店购买更合算；
② 当$y_甲 = y_乙$时：
$40m + 10000 = 90m + 9000$
解得$m=20$，此时两家商店费用相同，任选其一即可；
③ 当$y_甲 ＞ y_乙$时：
$40m + 10000 ＞ 90m + 9000$
解得$m ＜ 20$，结合$18 ≤ m ≤ 21$得$m=18$或19，此时从乙店购买更合算。
【答案】
(1) 最多可以买21个篮球；
(2) 当采购篮球18个或19个时，选择乙店更合算；当采购篮球20个时，两家商店费用相同；当采购篮球21个时，选择甲店更合算。
【知识点】
一元一次不等式的实际应用、分类讨论思想、方案优化选择
【点评】
本题以学校采购体育用品为背景，将数学知识与生活实际紧密结合，既考查了一元一次不等式的解法与应用，也考查了分类讨论的逻辑思维能力，解题时需注意单位统一和自变量的取值限制，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.65
(1) 求解最多可购买的篮球数量，首先明确不等关系：采购篮球和足球的总费用≤1.21万元。我们设购买篮球$x$个，则足球数量为$(50-x)$个，先统一单位将1.21万元换算为12100元，再根据“单价×数量=总价”分别表示篮球、足球的总费用，列一元一次不等式求解，结合$x$为正整数取最大值即可。
(2) 要判断在哪家商店购买更合算，首先设购买篮球$m$个，结合第一问的结论和“至少采购18个篮球”的要求，可得$m$的取值范围为$18≤m≤21$（$m$为正整数）。接下来分别根据甲、乙两店的优惠规则，列出在两家店采购的总费用的代数式，再分三种情况比较两个费用的大小：甲店费用＜乙店费用、甲店费用=乙店费用、甲店费用＞乙店费用，分别求出对应$m$的取值，即可得到不同采购数量下的最优选择。
【解析】
(1) 设购买篮球$x$个，则购买足球$(50-x)$个，1.21万元=12100元。
根据题意列不等式：
$300x + 200(50 - x) ≤ 12100$
$300x + 10000 - 200x ≤ 12100$
$100x ≤ 2100$
$x ≤ 21$
∵$x$为正整数，
∴$x$的最大值为21。
(2) 设学校购买篮球$m$个，则购买足球$(50 - m)$个，结合题意得$18 ≤ m ≤ 21$，且$m$为正整数。
设在甲店购买的总费用为$y_甲$元，在乙店购买的总费用为$y_乙$元。
$y_甲 = 300 × 0.8m + 200(50 - m) = 40m + 10000$
$y_乙 = 0.9 × [300m + 200(50 - m)] = 90m + 9000$
① 当$y_甲 ＜ y_乙$时：
$40m + 10000 ＜ 90m + 9000$
解得$m ＞ 20$，结合$18 ≤ m ≤ 21$得$m=21$，此时从甲店购买更合算；
② 当$y_甲 = y_乙$时：
$40m + 10000 = 90m + 9000$
解得$m=20$，此时两家商店费用相同，任选其一即可；
③ 当$y_甲 ＞ y_乙$时：
$40m + 10000 ＞ 90m + 9000$
解得$m ＜ 20$，结合$18 ≤ m ≤ 21$得$m=18$或19，此时从乙店购买更合算。
【答案】
(1) 最多可以买21个篮球；
(2) 当采购篮球18个或19个时，选择乙店更合算；当采购篮球20个时，两家商店费用相同；当采购篮球21个时，选择甲店更合算。
【知识点】
一元一次不等式的实际应用、分类讨论思想、方案优化选择
【点评】
本题以学校采购体育用品为背景，将数学知识与生活实际紧密结合，既考查了一元一次不等式的解法与应用，也考查了分类讨论的逻辑思维能力，解题时需注意单位统一和自变量的取值限制，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.65
