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16. 解方程组：①$\begin{cases} x=2y, \\ 3x -5y=9; \end{cases}$ ②$\begin{cases} 4x -2y=7, \\ 3x +2y=10; \end{cases}$ ③$\begin{cases} 3x +2y=6, \\ 3x -4y=10, \end{cases}$ ④$\begin{cases} 3x +y=0, \\ 2x -5y=3. \end{cases}$
比较适宜的方法是 （）
A.①②用代入消元法，③④用加减消元法
B.①③用代入消元法，②④用加减消元法
C.②③用代入消元法，①④用加减消元法
D.①④用代入消元法，②③用加减消元法
比较适宜的方法是 （）
A.①②用代入消元法，③④用加减消元法
B.①③用代入消元法，②④用加减消元法
C.②③用代入消元法，①④用加减消元法
D.①④用代入消元法，②③用加减消元法
答案
D
解析
【分析】
首先明确二元一次方程组两种消元方法的适用场景：代入消元法适合方程组中已有一个未知数用另一个未知数直接表示，或某未知数系数为±1、易变形为代入形式的情况；加减消元法适合方程组中同一个未知数的系数互为相反数、相等或成整数倍关系，直接加减即可消元的情况。接下来逐个分析4个方程组的系数特征，匹配适宜解法后对应选项即可。
【解析】
我们逐个判断四个方程组的适宜解法：
1. 方程组①：第一个方程直接给出$x=2y$，属于x用y表示的现成形式，直接代入第二个方程即可消去x，适宜用代入消元法；
2. 方程组②：两个方程中y的系数分别为-2和+2，互为相反数，将两方程左右两边直接相加即可消去y，适宜用加减消元法；
3. 方程组③：两个方程中x的系数均为3，大小相等，用第一个方程减去第二个方程即可消去x，适宜用加减消元法；
4. 方程组④：第一个方程$3x+y=0$易变形为$y=-3x$，代入第二个方程即可消去y，适宜用代入消元法。
综上，①④适宜用代入消元法，②③适宜用加减消元法，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组消元方法的灵活选择，解题核心是掌握两种消元法的适用特征，根据方程组的系数特点选择最简便的解法，可大幅提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
首先明确二元一次方程组两种消元方法的适用场景：代入消元法适合方程组中已有一个未知数用另一个未知数直接表示，或某未知数系数为±1、易变形为代入形式的情况；加减消元法适合方程组中同一个未知数的系数互为相反数、相等或成整数倍关系，直接加减即可消元的情况。接下来逐个分析4个方程组的系数特征，匹配适宜解法后对应选项即可。
【解析】
我们逐个判断四个方程组的适宜解法：
1. 方程组①：第一个方程直接给出$x=2y$，属于x用y表示的现成形式，直接代入第二个方程即可消去x，适宜用代入消元法；
2. 方程组②：两个方程中y的系数分别为-2和+2，互为相反数，将两方程左右两边直接相加即可消去y，适宜用加减消元法；
3. 方程组③：两个方程中x的系数均为3，大小相等，用第一个方程减去第二个方程即可消去x，适宜用加减消元法；
4. 方程组④：第一个方程$3x+y=0$易变形为$y=-3x$，代入第二个方程即可消去y，适宜用代入消元法。
综上，①④适宜用代入消元法，②③适宜用加减消元法，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组消元方法的灵活选择，解题核心是掌握两种消元法的适用特征，根据方程组的系数特点选择最简便的解法，可大幅提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
17.李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
C
解析
【分析】
本题需要结合代入消元法解二元一次方程组的规则，依次检查每位同学的计算步骤是否正确，即可找到首次出现错误的同学：先验证甲将方程变形用y表示x的过程，再验证乙代入消元的步骤，接着验证丙去分母的运算是否符合等式性质，最后判断丁的计算基础是否正确。
【解析】
逐步骤验证四人的计算：
1. 甲的步骤：从方程①$3x+2y=8$移项得$3x=8-2y$，两边同时除以3得$x=\frac{8-2y}{3}$，计算正确。
2. 乙的步骤：将③代入方程②$5x-3y=2$，把$x$替换为$\frac{8-2y}{3}$，得$5×\frac{8-2y}{3}-3y=2$，计算正确。
3. 丙的步骤：对上述式子去分母，根据等式的性质，等式两边所有项都要同时乘3，左边为$5×(8-2y)-3y×3=40-10y-9y$，右边应为$2×3=6$，但丙的计算中右边仍为2，漏乘了3，计算错误。
4. 丁的计算是基于丙的错误式子推导的，因此解题过程中开始出现错误的是丙。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组、等式的性质
【点评】
本题重点考查解二元一次方程组中去分母的注意事项，解题时要牢记去分母时等式两边的所有项都要乘分母的最小公倍数，避免漏乘常数项导致错误。
【难度系数】
0.7
本题需要结合代入消元法解二元一次方程组的规则，依次检查每位同学的计算步骤是否正确，即可找到首次出现错误的同学：先验证甲将方程变形用y表示x的过程，再验证乙代入消元的步骤，接着验证丙去分母的运算是否符合等式性质，最后判断丁的计算基础是否正确。
【解析】
逐步骤验证四人的计算：
1. 甲的步骤：从方程①$3x+2y=8$移项得$3x=8-2y$，两边同时除以3得$x=\frac{8-2y}{3}$，计算正确。
2. 乙的步骤：将③代入方程②$5x-3y=2$，把$x$替换为$\frac{8-2y}{3}$，得$5×\frac{8-2y}{3}-3y=2$，计算正确。
3. 丙的步骤：对上述式子去分母，根据等式的性质，等式两边所有项都要同时乘3，左边为$5×(8-2y)-3y×3=40-10y-9y$，右边应为$2×3=6$，但丙的计算中右边仍为2，漏乘了3，计算错误。
4. 丁的计算是基于丙的错误式子推导的，因此解题过程中开始出现错误的是丙。
【答案】
C
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组、等式的性质
【点评】
本题重点考查解二元一次方程组中去分母的注意事项，解题时要牢记去分母时等式两边的所有项都要乘分母的最小公倍数，避免漏乘常数项导致错误。
【难度系数】
0.7
18.已知点$A(8,2a-b)$和点$B(3a+2,2)$关于$x$轴对称，那么$a+b=$.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数。解题思路如下：第一步，根据上述坐标特征分别列出关于a、b的方程；第二步，先解仅含a的一元一次方程，求出a的值；第三步，将a的值代入含b的方程，求出b的值；第四步，计算a+b的结果即可。
【解析】
∵ 点$A(8,2a-b)$和点$B(3a+2,2)$关于x轴对称，
∴ 关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得方程组：
$\begin{cases}3a + 2 = 8&①\\2a - b = -2&②\end{cases}$
解方程①：
$3a = 8 - 2$
$3a = 6$
$a = 2$
把$a=2$代入方程②：
$2×2 - b = -2$
$4 - b = -2$
$b = 4 + 2 = 6$
因此$a + b = 2 + 6 = 8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律，易错点是混淆关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规则，熟练掌握相关规律即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数。解题思路如下：第一步，根据上述坐标特征分别列出关于a、b的方程；第二步，先解仅含a的一元一次方程，求出a的值；第三步，将a的值代入含b的方程，求出b的值；第四步，计算a+b的结果即可。
【解析】
∵ 点$A(8,2a-b)$和点$B(3a+2,2)$关于x轴对称，
∴ 关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得方程组：
$\begin{cases}3a + 2 = 8&①\\2a - b = -2&②\end{cases}$
解方程①：
$3a = 8 - 2$
$3a = 6$
$a = 2$
把$a=2$代入方程②：
$2×2 - b = -2$
$4 - b = -2$
$b = 4 + 2 = 6$
因此$a + b = 2 + 6 = 8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，主要考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律，易错点是混淆关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规则，熟练掌握相关规律即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
19.若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 5, \\4x + 7y = 2m - 3\end{cases}$的解也是二元一次方程$x + y = 6$的解，则$m$的值为 ______ 。
答案
$\boldsymbol{17}$
解析
【分析】
题目说明二元一次方程组的解同时也是方程$x+y=6$的解，即三个方程的解完全相同。我们可以先联立不含参数$m$的两个方程$2x-y=5$和$x+y=6$，先求出$x$、$y$的具体值，再将$x$、$y$代入含有$m$的方程$4x+7y=2m-3$，即可求出$m$的值，该方法计算更简便，不需要用含$m$的式子表示$x$、$y$。
【解析】
根据题意，$x$、$y$同时满足方程$2x-y=5$和$x+y=6$，联立得方程组：
$\begin{cases}2x - y = 5 ①\\x + y = 6 ②\end{cases}$
用加减消元法，将①+②得：
$3x=11$，解得$x=\frac{11}{3}$
把$x=\frac{11}{3}$代入②得：
$\frac{11}{3}+y=6$，解得$y=6-\frac{11}{3}=\frac{7}{3}$
将$x=\frac{11}{3}$，$y=\frac{7}{3}$代入$4x+7y=2m-3$得：
$4×\frac{11}{3}+7×\frac{7}{3}=2m-3$
计算左边：$\frac{44}{3}+\frac{49}{3}=\frac{93}{3}=31$
即$31=2m-3$
移项得$2m=31+3=34$
解得$m=17$
【答案】
$17$
【知识点】
二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代入求值
【点评】
本题属于同解方程类的基础常考题，解题核心是理解同解的含义，优先联立不含未知参数的方程求出未知数的解，再代入含参方程计算即可。
【难度系数】
0.75
题目说明二元一次方程组的解同时也是方程$x+y=6$的解，即三个方程的解完全相同。我们可以先联立不含参数$m$的两个方程$2x-y=5$和$x+y=6$，先求出$x$、$y$的具体值，再将$x$、$y$代入含有$m$的方程$4x+7y=2m-3$，即可求出$m$的值，该方法计算更简便，不需要用含$m$的式子表示$x$、$y$。
【解析】
根据题意，$x$、$y$同时满足方程$2x-y=5$和$x+y=6$，联立得方程组：
$\begin{cases}2x - y = 5 ①\\x + y = 6 ②\end{cases}$
用加减消元法，将①+②得：
$3x=11$，解得$x=\frac{11}{3}$
把$x=\frac{11}{3}$代入②得：
$\frac{11}{3}+y=6$，解得$y=6-\frac{11}{3}=\frac{7}{3}$
将$x=\frac{11}{3}$，$y=\frac{7}{3}$代入$4x+7y=2m-3$得：
$4×\frac{11}{3}+7×\frac{7}{3}=2m-3$
计算左边：$\frac{44}{3}+\frac{49}{3}=\frac{93}{3}=31$
即$31=2m-3$
移项得$2m=31+3=34$
解得$m=17$
【答案】
$17$
【知识点】
二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代入求值
【点评】
本题属于同解方程类的基础常考题，解题核心是理解同解的含义，优先联立不含未知参数的方程求出未知数的解，再代入含参方程计算即可。
【难度系数】
0.75
20. 若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x + 3y = 3, \\ax - by = -5\end{cases}$和$\begin{cases}3x - 2y = 11, \\bx - ay = 1\end{cases}$有相同的解，则$(a + b)^{2026}$的值为 ______ 。
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明这个公共解同时满足四个方程。解题步骤如下：1. 先将不含参数a、b的两个方程联立，求解得到x、y的值；2. 把求得的x、y代入含a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，可直接求出a+b的值简化计算；3. 代入代数式计算最终结果。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以先联立不含参数的方程：
$\begin{cases}2x + 3y = 3 ① \\3x - 2y = 11 ②\end{cases}$
①×2，得：$4x + 6y = 6$ ③
②×3，得：$9x - 6y = 33$ ④
③+④消去y，得：$13x = 39$，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得：$2×3 + 3y = 3$，解得$y=-1$
所以两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=3 \\y=-1\end{cases}$
将$\begin{cases}x=3 \\y=-1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax - by = -5 \\bx - ay = 1\end{cases}$，得：
$\begin{cases}3a + b = -5 ⑤ \\a + 3b = 1 ⑥\end{cases}$
⑤+⑥，得：$4a + 4b = -4$，两边同时除以4得$a + b = -1$
所以$(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
二元一次方程组的解；二元一次方程组的解法；有理数的乘方
【点评】
本题的核心是理解“同解”的含义，先求出不含参数的方程组的公共解是解题的突破口，计算时可通过整体求a+b的值简化运算，重点考察学生的计算能力和对方程组解的概念的理解。
【难度系数】
0.7
两个方程组有相同的解，说明这个公共解同时满足四个方程。解题步骤如下：1. 先将不含参数a、b的两个方程联立，求解得到x、y的值；2. 把求得的x、y代入含a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，可直接求出a+b的值简化计算；3. 代入代数式计算最终结果。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以先联立不含参数的方程：
$\begin{cases}2x + 3y = 3 ① \\3x - 2y = 11 ②\end{cases}$
①×2，得：$4x + 6y = 6$ ③
②×3，得：$9x - 6y = 33$ ④
③+④消去y，得：$13x = 39$，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得：$2×3 + 3y = 3$，解得$y=-1$
所以两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=3 \\y=-1\end{cases}$
将$\begin{cases}x=3 \\y=-1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax - by = -5 \\bx - ay = 1\end{cases}$，得：
$\begin{cases}3a + b = -5 ⑤ \\a + 3b = 1 ⑥\end{cases}$
⑤+⑥，得：$4a + 4b = -4$，两边同时除以4得$a + b = -1$
所以$(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
二元一次方程组的解；二元一次方程组的解法；有理数的乘方
【点评】
本题的核心是理解“同解”的含义，先求出不含参数的方程组的公共解是解题的突破口，计算时可通过整体求a+b的值简化运算，重点考察学生的计算能力和对方程组解的概念的理解。
【难度系数】
0.7
21.(1)解方程组：$\begin{cases}3x + 4y = 19, \\x - y = 4;\end{cases}$
(2)小明求得方程组$\begin{cases}4x + y = 12, \\3x - 2y = \blacksquare\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = \boldsymbol{●}, \\y = 4,\end{cases}$由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数●和■，求这两个数。
(2)小明求得方程组$\begin{cases}4x + y = 12, \\3x - 2y = \blacksquare\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = \boldsymbol{●}, \\y = 4,\end{cases}$由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数●和■，求这两个数。
答案
解：(1) $\begin{cases}3x + 4y = 19 ①\\x - y = 4 ②\end{cases}$
由②得：$x = y + 4$ ③
将③代入①，得：
$3(y+4) + 4y = 19$
$3y + 12 + 4y = 19$
$7y = 7$
解得$y=1$
把$y=1$代入③，得$x = 1 + 4 = 5$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=1\end{cases}$
(2) 把$y=4$代入方程$4x + y = 12$，得：
$4x + 4 = 12$
解得$x=2$，即●表示的数为2。
把$x=2$，$y=4$代入$3x - 2y$，得：
$3×2 - 2×4 = 6 - 8 = -2$，即■表示的数为-2。
答：●代表的数是2，■代表的数是-2。
由②得：$x = y + 4$ ③
将③代入①，得：
$3(y+4) + 4y = 19$
$3y + 12 + 4y = 19$
$7y = 7$
解得$y=1$
把$y=1$代入③，得$x = 1 + 4 = 5$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=1\end{cases}$
(2) 把$y=4$代入方程$4x + y = 12$，得：
$4x + 4 = 12$
解得$x=2$，即●表示的数为2。
把$x=2$，$y=4$代入$3x - 2y$，得：
$3×2 - 2×4 = 6 - 8 = -2$，即■表示的数为-2。
答：●代表的数是2，■代表的数是-2。
解析
【分析】
(1) 本题为解二元一次方程组，核心解题思路是消元，将二元方程转化为一元方程求解。观察方程组可知第二个方程中x的系数为1，优先选择代入消元法：先从第二个方程整理得到用y表示x的式子，代入第一个方程求出y的值，再回代求出x的值即可。
(2) 本题考查二元一次方程组解的定义，方程组的解满足组内所有方程。已知y=4，先将y=4代入未被遮挡的第一个方程求出x的值，即可得到●代表的数；再将求出的x和已知的y代入第二个方程左侧，计算结果就是■代表的数。
【解析】
(1) $\begin{cases}3x + 4y = 19 ①\\x - y = 4 ②\end{cases}$
由②得：$x = y + 4$ ③
将③代入①，得：
$3(y+4) + 4y = 19$
$3y + 12 + 4y = 19$
$7y = 7$
解得$y=1$
把$y=1$代入③，得$x = 1 + 4 = 5$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=1\end{cases}$
(2) 把$y=4$代入方程$4x + y = 12$，得：
$4x + 4 = 12$
解得$x=2$，即●表示的数为2。
把$x=2$，$y=4$代入$3x - 2y$，得：
$3×2 - 2×4 = 6 - 8 = -2$，即■表示的数为-2。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=5 \\ y=1\end{cases}$
(2) ●代表的数是2，■代表的数是-2
【知识点】
1. 代入消元法解二元一次方程组
2. 二元一次方程组的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查消元思想的应用和二元一次方程组解的含义，熟练掌握代入消元法的步骤，理解方程组的解满足组内所有方程即可正确解答。
【难度系数】
0.8
(1) 本题为解二元一次方程组，核心解题思路是消元，将二元方程转化为一元方程求解。观察方程组可知第二个方程中x的系数为1，优先选择代入消元法：先从第二个方程整理得到用y表示x的式子，代入第一个方程求出y的值，再回代求出x的值即可。
(2) 本题考查二元一次方程组解的定义，方程组的解满足组内所有方程。已知y=4，先将y=4代入未被遮挡的第一个方程求出x的值，即可得到●代表的数；再将求出的x和已知的y代入第二个方程左侧，计算结果就是■代表的数。
【解析】
(1) $\begin{cases}3x + 4y = 19 ①\\x - y = 4 ②\end{cases}$
由②得：$x = y + 4$ ③
将③代入①，得：
$3(y+4) + 4y = 19$
$3y + 12 + 4y = 19$
$7y = 7$
解得$y=1$
把$y=1$代入③，得$x = 1 + 4 = 5$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=1\end{cases}$
(2) 把$y=4$代入方程$4x + y = 12$，得：
$4x + 4 = 12$
解得$x=2$，即●表示的数为2。
把$x=2$，$y=4$代入$3x - 2y$，得：
$3×2 - 2×4 = 6 - 8 = -2$，即■表示的数为-2。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=5 \\ y=1\end{cases}$
(2) ●代表的数是2，■代表的数是-2
【知识点】
1. 代入消元法解二元一次方程组
2. 二元一次方程组的解的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查消元思想的应用和二元一次方程组解的含义，熟练掌握代入消元法的步骤，理解方程组的解满足组内所有方程即可正确解答。
【难度系数】
0.8
