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1. 有下列方程:①$\frac{1}{x}=3$,②$x+y=2$,③$\frac{x}{π}=1$,④$\frac{x}{2-x}-2=0$。
其中分式方程为(填序号)。
其中分式方程为(填序号)。
答案
①④
解析
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐个判断：
1. 方程①$\frac{1}{x}=3$，分母含有未知数x，属于分式方程；
2. 方程②$x+y=2$，是整式方程中的二元一次方程，不属于分式方程；
3. 方程③$\frac{x}{π}=1$，分母中的π是圆周率，为常数，不含未知数，属于整式方程中的一元一次方程，不属于分式方程；
4. 方程④$\frac{x}{2-x}-2=0$，分母含有未知数x，属于分式方程。
综上符合要求的分式方程是①④。
1. 方程①$\frac{1}{x}=3$，分母含有未知数x，属于分式方程；
2. 方程②$x+y=2$，是整式方程中的二元一次方程，不属于分式方程；
3. 方程③$\frac{x}{π}=1$，分母中的π是圆周率，为常数，不含未知数，属于整式方程中的一元一次方程，不属于分式方程；
4. 方程④$\frac{x}{2-x}-2=0$，分母含有未知数x，属于分式方程。
综上符合要求的分式方程是①④。
2. 小王乘公共汽车从甲地到相距 40 km 的乙地,然后乘出租车返回。已知出租车的平均速度比公共汽车快 20 km/h,回来时路上所花时间比去时节省了$\frac{1}{4}$,设公共汽车的平均速度为$x$(km/h),则下面列出的方程中正确的是()。
A.$\frac{40}{x+20}=\frac{3}{4}×\frac{40}{x}$
B.$\frac{40}{x}=\frac{3}{4}×\frac{40}{x+20}$
C.$\frac{40}{x+20}+\frac{1}{4}=\frac{40}{x}$
D.$\frac{40}{x}=\frac{40}{x+20}-\frac{1}{4}$
A.$\frac{40}{x+20}=\frac{3}{4}×\frac{40}{x}$
B.$\frac{40}{x}=\frac{3}{4}×\frac{40}{x+20}$
C.$\frac{40}{x+20}+\frac{1}{4}=\frac{40}{x}$
D.$\frac{40}{x}=\frac{40}{x+20}-\frac{1}{4}$
答案
A
解析
1. 行程问题基本公式：时间=路程÷速度。
2. 公共汽车平均速度为$x$ km/h，从甲地到乙地路程为40km，因此去时乘坐公共汽车的时间为$\frac{40}{x}$ h。
3. 出租车平均速度比公共汽车快20 km/h，因此出租车速度为$(x+20)$ km/h，返回时乘坐出租车的时间为$\frac{40}{x+20}$ h。
4. 由“回来时路上所花时间比去时节省了$\frac{1}{4}$”，可得返回时间 = 去时时间×$(1-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}×$去时时间，代入对应表达式得方程：$\frac{40}{x+20}=\frac{3}{4}×\frac{40}{x}$，选项A符合。
2. 公共汽车平均速度为$x$ km/h，从甲地到乙地路程为40km，因此去时乘坐公共汽车的时间为$\frac{40}{x}$ h。
3. 出租车平均速度比公共汽车快20 km/h，因此出租车速度为$(x+20)$ km/h，返回时乘坐出租车的时间为$\frac{40}{x+20}$ h。
4. 由“回来时路上所花时间比去时节省了$\frac{1}{4}$”，可得返回时间 = 去时时间×$(1-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}×$去时时间，代入对应表达式得方程：$\frac{40}{x+20}=\frac{3}{4}×\frac{40}{x}$，选项A符合。
3. 若分式$\dfrac{2}{x-1}$与1互为相反数，则$x$的值是$\underline{\hspace{8cm}}$。
答案
$-1$
解析
根据互为相反数的两个数之和为0，可列方程：$\dfrac{2}{x-1} + 1 = 0$。
1. 去分母：方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$，得$2 + (x-1) = 0$；
2. 化简求解：计算得$x + 1 = 0$，解得$x=-1$；
3. 检验：把$x=-1$代入$x-1$，得$x-1=-2≠0$，分式有意义，因此$x=-1$是原方程的解。
1. 去分母：方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$，得$2 + (x-1) = 0$；
2. 化简求解：计算得$x + 1 = 0$，解得$x=-1$；
3. 检验：把$x=-1$代入$x-1$，得$x-1=-2≠0$，分式有意义，因此$x=-1$是原方程的解。
4. 解方程:
(1)$\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x-2}$。
(2)$\frac{x}{x-2}-1=\frac{8}{x^2-4}$。
(1)$\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x-2}$。
(2)$\frac{x}{x-2}-1=\frac{8}{x^2-4}$。
答案
(1) $x=3$；(2) 原分式方程无解
解析
本题考查分式方程的求解，解分式方程的标准步骤为去分母转化为整式方程、求解整式方程、检验根的有效性。
(1) 解方程$\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x-2}$：
① 确定最简公分母为$(x-1)(x-2)$，方程两边同时乘$(x-1)(x-2)$去分母，得：
$2(x-2)=x-1$
② 整理整式方程：展开得$2x-4=x-1$，移项计算得$x=3$
③ 检验：把$x=3$代入最简公分母，得$(3-1)×(3-2)=2≠0$，$x=3$是原方程的有效解。
(2) 解方程$\frac{x}{x-2}-1=\frac{8}{x^2-4}$：
① 先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$去分母，得：
$x(x+2)-(x+2)(x-2)=8$
② 整理整式方程：展开去括号得$x^2+2x-x^2+4=8$，合并同类项计算得$x=2$
③ 检验：把$x=2$代入最简公分母，得$(2+2)×(2-2)=0$，$x=2$是增根，原方程无有效解。
(1) 解方程$\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x-2}$：
① 确定最简公分母为$(x-1)(x-2)$，方程两边同时乘$(x-1)(x-2)$去分母，得：
$2(x-2)=x-1$
② 整理整式方程：展开得$2x-4=x-1$，移项计算得$x=3$
③ 检验：把$x=3$代入最简公分母，得$(3-1)×(3-2)=2≠0$，$x=3$是原方程的有效解。
(2) 解方程$\frac{x}{x-2}-1=\frac{8}{x^2-4}$：
① 先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$去分母，得：
$x(x+2)-(x+2)(x-2)=8$
② 整理整式方程：展开去括号得$x^2+2x-x^2+4=8$，合并同类项计算得$x=2$
③ 检验：把$x=2$代入最简公分母，得$(2+2)×(2-2)=0$，$x=2$是增根，原方程无有效解。
5. 为了改善生态环境,防止水土流失,某村计划在荒坡上种480棵树。由于青年志愿者的支援,平均每天种树的棵数比原计划多$\frac{1}{3}$,结果提前4天完成任务。原计划平均每天种多少棵树？
答案
原计划平均每天种30棵树。
解析
设原计划平均每天种$x$棵树，则实际平均每天种树的棵数为$(1+\frac{1}{3})x=\frac{4}{3}x$棵。
根据“原计划完成任务的天数 - 实际完成任务的天数 = 4”列方程：
$\frac{480}{x} - \frac{480}{\frac{4}{3}x} = 4$
化简得：
$\frac{480}{x} - \frac{360}{x} = 4$
$\frac{120}{x}=4$
解得$x=30$。
检验：将$x=30$代入分式方程的分母，$x≠0$，$\frac{4}{3}x=40≠0$，$x=30$是原方程的解，且符合实际意义。
根据“原计划完成任务的天数 - 实际完成任务的天数 = 4”列方程：
$\frac{480}{x} - \frac{480}{\frac{4}{3}x} = 4$
化简得：
$\frac{480}{x} - \frac{360}{x} = 4$
$\frac{120}{x}=4$
解得$x=30$。
检验：将$x=30$代入分式方程的分母，$x≠0$，$\frac{4}{3}x=40≠0$，$x=30$是原方程的解，且符合实际意义。
6. 一辆小汽车与一辆大卡车在一段窄路上相遇,其中一辆车必须倒车,两车才能继续通行。已知小汽车的速度是大卡车的3倍,两车倒车的速度是各自正常速度的$\frac{1}{5}$,小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车路程的4倍。为了使两辆车尽早地通过这段路,哪辆车倒车合理?请通过计算进行说明。
答案
小汽车倒车更合理。
解析
我们通过设定参数分别计算两种倒车方案下两车全部通过窄路的总时间，比较时间大小判断最优方案：
1. 设定基础量：设大卡车正常行驶速度为$v$，则小汽车正常行驶速度为$3v$；设大卡车需要倒车的路程为$s$，则小汽车需要倒车的路程为$4s$，整段窄路总长度为$s+4s=5s$。
2. 计算倒车速度：大卡车倒车速度为$\frac{1}{5}v$，小汽车倒车速度为$\frac{1}{5}×3v=\frac{3}{5}v$。
3. 方案1：大卡车倒车
大卡车倒车时小汽车可同步向前行驶，大卡车倒完车后再正常行驶通过整段路，总耗时：
$t_1=\frac{s}{\frac{1}{5}v}+\frac{5s}{v}=\frac{5s}{v}+\frac{5s}{v}=\frac{10s}{v}=\frac{30s}{3v}$
4. 方案2：小汽车倒车
小汽车倒车时大卡车可同步向前行驶，小汽车倒完车后再正常行驶通过整段路，总耗时：
$t_2=\frac{4s}{\frac{3}{5}v}+\frac{5s}{3v}=\frac{20s}{3v}+\frac{5s}{3v}=\frac{25s}{3v}$
5. 时间比较：$\frac{25s}{3v}＜\frac{30s}{3v}$，即$t_2＜t_1$，小汽车倒车的总耗时更短。
1. 设定基础量：设大卡车正常行驶速度为$v$，则小汽车正常行驶速度为$3v$；设大卡车需要倒车的路程为$s$，则小汽车需要倒车的路程为$4s$，整段窄路总长度为$s+4s=5s$。
2. 计算倒车速度：大卡车倒车速度为$\frac{1}{5}v$，小汽车倒车速度为$\frac{1}{5}×3v=\frac{3}{5}v$。
3. 方案1：大卡车倒车
大卡车倒车时小汽车可同步向前行驶，大卡车倒完车后再正常行驶通过整段路，总耗时：
$t_1=\frac{s}{\frac{1}{5}v}+\frac{5s}{v}=\frac{5s}{v}+\frac{5s}{v}=\frac{10s}{v}=\frac{30s}{3v}$
4. 方案2：小汽车倒车
小汽车倒车时大卡车可同步向前行驶，小汽车倒完车后再正常行驶通过整段路，总耗时：
$t_2=\frac{4s}{\frac{3}{5}v}+\frac{5s}{3v}=\frac{20s}{3v}+\frac{5s}{3v}=\frac{25s}{3v}$
5. 时间比较：$\frac{25s}{3v}＜\frac{30s}{3v}$，即$t_2＜t_1$，小汽车倒车的总耗时更短。
1. 天天在做作业时，不小心把墨水滴到了作业本上，有一道方程题被盖住了一个常数，这个方程是$2x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}x-■$，怎么办？天天想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是$x=-\dfrac{5}{3}$，他很快补好了这个常数项，并迅速地完成了作业，天天补上的这个数是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
我们可以设被墨水盖住的常数为$a$，因为$x=-\dfrac{5}{3}$是方程的解，将解代入原方程即可求出$a$的值：
1. 把$x=-\dfrac{5}{3}$代入方程$2x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}x - a$，可得：
$2×(-\dfrac{5}{3})-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{5}{3})-a$
2. 分别计算等式两边：
左边$=-\dfrac{10}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{23}{6}$，右边$=-\dfrac{5}{6}-a$
3. 移项求解$a$：
$-\dfrac{23}{6}=-\dfrac{5}{6}-a$
$a=-\dfrac{5}{6}+\dfrac{23}{6}=3$
1. 把$x=-\dfrac{5}{3}$代入方程$2x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}x - a$，可得：
$2×(-\dfrac{5}{3})-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{5}{3})-a$
2. 分别计算等式两边：
左边$=-\dfrac{10}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{23}{6}$，右边$=-\dfrac{5}{6}-a$
3. 移项求解$a$：
$-\dfrac{23}{6}=-\dfrac{5}{6}-a$
$a=-\dfrac{5}{6}+\dfrac{23}{6}=3$
