6. 当a取哪些整数时,代数式$x^2+ax+20$可以在整数范围内进行因式分解?
这个问题可以这样考虑:假设$x^2+ax+20$能分解为两个因式,则可设$x^2+ax+20=(x+s)(x+t)$,其中s, t为整数。由于$(x+s)(x+t)=x^2+(s+t)x+st$,所以必有$a=s+t$, $st=20$。至此,问题转化为乘积为20的两个整数之和是多少,例如,$st=20=1×20$,令$s=1$, $t=20$,则$a=s+t=21$,此时$x^2+21x+20=(x+1)(x+20)$。
根据这种方法,你还能写出几个满足条件的a的值?

还能写出5个满足条件的a，分别为9、12、-9、-12、-21。

根据题意，我们需要枚举所有乘积为20的整数对(s,t)，排除题目示例中s=1、t=20的情况，逐一计算对应的a=s+t的值：
1. 取s=2，t=10，满足st=2×10=20，得a=2+10=12，对应因式分解为$x^2+12x+20=(x+2)(x+10)$；
2. 取s=4，t=5，满足st=4×5=20，得a=4+5=9，对应因式分解为$x^2+9x+20=(x+4)(x+5)$；
3. 取s=-1，t=-20，满足st=(-1)×(-20)=20，得a=-1+(-20)=-21，对应因式分解为$x^2-21x+20=(x-1)(x-20)$；
4. 取s=-2，t=-10，满足st=(-2)×(-10)=20，得a=-2+(-10)=-12，对应因式分解为$x^2-12x+20=(x-2)(x-10)$；
5. 取s=-4，t=-5，满足st=(-4)×(-5)=20，得a=-4+(-5)=-9，对应因式分解为$x^2-9x+20=(x-4)(x-5)$。
交换s、t的取值得到的a值和上述结果完全重复，没有新的符合条件的a。

1. 下列式子属于分式的是（）。

A.$\dfrac{x}{2}$
B.$\dfrac{x}{x+1}$
C.$\dfrac{x}{2}+y$
D.$\dfrac{x}{π}$

B

根据分式的定义：若A、B为整式，且B中含有字母，则式子$\frac{A}{B}$叫做分式，逐一判断：
1. 选项A：分母是常数2，不属于分式；
2. 选项B：分母为$x+1$，含有字母，符合分式定义；
3. 选项C：是多项式，属于整式，不属于分式；
4. 选项D：分母$π$是常数不是字母，不属于分式。
综上，属于分式的是B。

2. 下列各式中,可能取值为零的是()。

A.$\dfrac{m^2 + 1}{m^2 - 1}$
B.$\dfrac{m^2 - 1}{m^2 + 1}$
C.$\dfrac{m + 1}{m^2 - 1}$
D.$\dfrac{m^2 + 1}{m + 1}$

B

根据分式值为0的条件：分子等于0，且分母不为0，逐一判断：
1. 选项A：分子$m^2+1≥1$，恒大于0，不可能为0，不符合要求；
2. 选项B：令分子$m^2-1=0$，解得$m=\pm1$，此时分母$m^2+1=2≠0$，分式有意义，该式可以取值为0；
3. 选项C：令分子$m+1=0$，解得$m=-1$，此时分母$m^2-1=0$，分式无意义，不符合要求；
4. 选项D：分子$m^2+1≥1$，恒大于0，不可能为0，不符合要求。
综上只有B符合条件。

3. 若$m^2 - 3m + 1 = 0$，则$2 - m - \frac{1}{m}$的值为________。

$-1$

已知$m^2 - 3m + 1 = 0$，首先验证$m≠0$：若$m=0$，代入等式左边得$1≠0$，等式不成立，因此$m≠0$。
将等式$m^2 - 3m + 1 = 0$两边同时除以$m$，可得：
$m - 3 + \frac{1}{m} = 0$，整理后得到$m + \frac{1}{m} = 3$。
对所求代数式变形：$2 - m - \frac{1}{m} = 2 - (m + \frac{1}{m})$，将$m + \frac{1}{m}=3$代入得：
$2 - 3 = -1$。

4. 计算:
(1)$\dfrac{2x - 3y}{y - x} - \dfrac{x + 2y}{x - y}$。
(2)$(\dfrac{5m}{m - 3} + \dfrac{2m}{m + 3}) × \dfrac{m^2 - 9}{m}$。

(1) $\dfrac{3x-y}{y-x}$；(2) $7m+9$

(1) 先将两个分式化为同分母分式：
由$y-x=-(x-y)$，对原式变形可得：
$\dfrac{2x-3y}{y-x} + \dfrac{x+2y}{y-x}$
根据同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减：
$=\dfrac{(2x-3y)+(x+2y)}{y-x}$
合并分子的同类项：
$=\dfrac{3x - y}{y - x}$
(2) 先对$m^2-9$因式分解得$m^2-9=(m+3)(m-3)$，利用乘法分配律简化运算：
原式$=\dfrac{5m}{m-3}·\dfrac{(m+3)(m-3)}{m} + \dfrac{2m}{m+3}·\dfrac{(m+3)(m-3)}{m}$
分别约分后计算：
$=5(m+3) + 2(m-3)$
去括号：
$=5m+15+2m-6$
合并同类项：
$=7m+9$

5. 化简分式 $\dfrac{a^2 - 9}{a^2 + 6a + 9} ÷ \dfrac{a - 3}{a^2 + 3a} - \dfrac{a - a^2}{a - 1}$，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的$a$的值，代入求值。

化简结果为$2a$，代入$a=2$求值结果为$4$。

1. 因式分解各多项式：
$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$a^2+6a+9=(a+3)^2$，$a^2+3a=a(a+3)$，$a-a^2=-a(a-1)$
2. 按分式运算法则逐步化简：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(a+3)(a-3)}{(a+3)^2} × \dfrac{a(a+3)}{a-3} - \dfrac{-a(a-1)}{a-1}\\&=a + a\\&=2a\end{aligned}$
3. 确定合法的a取值：
要使原式所有分母不为0，需满足$(a+3)^2≠0$、$a(a+3)≠0$、$a-3≠0$、$a-1≠0$，即$a≠-3、0、1、3$，因此给定的0，1，2，3中仅能选择$a=2$代入。
4. 代入$a=2$计算得：$2a=2×2=4$

6. (1)已知$ab=1$，$M=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}$，$N=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}$，则$M$与$N$的大小关系为（）。

A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不确定

B

方法：作差法比较大小
1. 计算M-N：
$M-N=(\dfrac{1}{1+a}-\dfrac{a}{1+a})+(\dfrac{1}{1+b}-\dfrac{b}{1+b})$
$=\dfrac{1-a}{1+a}+\dfrac{1-b}{1+b}$
2. 通分合并：
$=\dfrac{(1-a)(1+b)+(1-b)(1+a)}{(1+a)(1+b)}$
展开分子得：$1+b-a-ab +1+a -b -ab=2-2ab$
3. 代入已知条件$ab=1$：
分子$=2-2×1=0$，即$M-N=0$，可得$M=N$

(2)若$y^2+4y+2=0$，则$\dfrac{y^2}{y^4-2y^2+4}=$______。

$\dfrac{1}{10}$

首先由已知条件$y^2+4y+2=0$可知$y≠0$，若$y=0$代入等式左边结果为2，不满足等式，因此$y$不为0。
1. 将已知等式两边同时除以$y$，得：$y + 4 + \frac{2}{y}=0$，整理得$y+\frac{2}{y}=-4$。
2. 对上式两边同时平方，根据完全平方公式展开：$(y+\frac{2}{y})^2=(-4)^2$，即$y^2 + 2· y· \frac{2}{y} + \frac{4}{y^2}=16$，化简得$y^2 + \frac{4}{y^2}=12$。
3. 对所求式子取倒数：$\frac{y^4-2y^2+4}{y^2}=y^2 - 2 + \frac{4}{y^2}$，将$y^2 + \frac{4}{y^2}=12$代入，可得倒数的值为$12-2=10$。
4. 因此原式的值为该倒数的倒数，即$\frac{1}{10}$。