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17. 已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x+y=1-a, \\x-y=3a+7\end{cases}$ 的解是一对正数.
(1)求 $ a $ 的取值范围.
(2)化简: $ |a+4|-|a|+|2a+3| $.
(1)求 $ a $ 的取值范围.
(2)化简: $ |a+4|-|a|+|2a+3| $.
答案
解:(1)$\begin{cases} x+y=1-a,① \\ x-y=3a+7.② \end{cases}$ ①+②,
得2x=2a+8,解得x=a+4.代入①,得y = - 2a - 3. 故方程组的解为$\begin{cases} x=a+4, \\ y=-2a-3. \end{cases}$
∵x＞0,y＞0,
∴$\begin{cases} a+4＞0, \\ -2a-3＞0. \end{cases}$
解得$-4＜a＜-1.5$.
(2)由(1)得$a+4＞0,a＜0,2a+3＜0$,
∴原式$=a+4-(-a)+(-2a-3)=a+4+a-2a-3=1$.
得2x=2a+8,解得x=a+4.代入①,得y = - 2a - 3. 故方程组的解为$\begin{cases} x=a+4, \\ y=-2a-3. \end{cases}$
∵x＞0,y＞0,
∴$\begin{cases} a+4＞0, \\ -2a-3＞0. \end{cases}$
解得$-4＜a＜-1.5$.
(2)由(1)得$a+4＞0,a＜0,2a+3＜0$,
∴原式$=a+4-(-a)+(-2a-3)=a+4+a-2a-3=1$.
解析
【分析】
（1）要求a的取值范围，首先需要先求出二元一次方程组的解，将x、y用含a的代数式表示。观察方程组中y的系数互为相反数，优先使用加减消元法消去y，求出x的值，再代入方程求出y的值。题目已知解是一对正数，即x＞0且y＞0，将含a的x、y代入得到关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围。
（2）化简含绝对值的式子，核心是判断每个绝对值内代数式的正负。根据第（1）问求出的a的范围，分别判断a+4、a、2a+3的正负，再依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 对于方程组 $\begin{cases} x+y=1-a,① \\ x-y=3a+7.② \end{cases}$
将①+②，得 $2x=2a+8$，解得 $x=a+4$。
把 $x=a+4$ 代入①，得 $a+4+y=1-a$，解得 $y=-2a-3$。
因此方程组的解为 $\begin{cases} x=a+4, \\ y=-2a-3. \end{cases}$
∵方程组的解是一对正数，即 $x＞0$，$y＞0$
∴列不等式组得 $\begin{cases} a+4＞0, \\ -2a-3＞0. \end{cases}$
解不等式 $a+4＞0$，得 $a＞-4$；
解不等式 $-2a-3＞0$，得 $a＜-\frac{3}{2}=-1.5$。
综上，$a$ 的取值范围是 $-4＜a＜-1.5$。
(2) 由(1)中 $a$ 的取值范围 $-4＜a＜-1.5$ 可知：
$a+4＞0$，$a＜0$，$2a+3＜0$，
根据绝对值的性质去绝对值符号：
$|a+4|-|a|+|2a+3|=(a+4)-(-a)+(-2a-3)$
去括号得：原式$=a+4+a-2a-3$
合并同类项得：原式$=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4＜a＜-\dfrac{3}{2}}$（或$-4＜a＜-1.5$）
(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，绝对值的化简
【点评】
本题是代数基础综合题，将方程组求解、不等式组应用和绝对值化简结合考察，解题的关键是先通过方程组解的正数属性求出参数范围，再利用绝对值性质化简，能有效检验学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要求a的取值范围，首先需要先求出二元一次方程组的解，将x、y用含a的代数式表示。观察方程组中y的系数互为相反数，优先使用加减消元法消去y，求出x的值，再代入方程求出y的值。题目已知解是一对正数，即x＞0且y＞0，将含a的x、y代入得到关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围。
（2）化简含绝对值的式子，核心是判断每个绝对值内代数式的正负。根据第（1）问求出的a的范围，分别判断a+4、a、2a+3的正负，再依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 对于方程组 $\begin{cases} x+y=1-a,① \\ x-y=3a+7.② \end{cases}$
将①+②，得 $2x=2a+8$，解得 $x=a+4$。
把 $x=a+4$ 代入①，得 $a+4+y=1-a$，解得 $y=-2a-3$。
因此方程组的解为 $\begin{cases} x=a+4, \\ y=-2a-3. \end{cases}$
∵方程组的解是一对正数，即 $x＞0$，$y＞0$
∴列不等式组得 $\begin{cases} a+4＞0, \\ -2a-3＞0. \end{cases}$
解不等式 $a+4＞0$，得 $a＞-4$；
解不等式 $-2a-3＞0$，得 $a＜-\frac{3}{2}=-1.5$。
综上，$a$ 的取值范围是 $-4＜a＜-1.5$。
(2) 由(1)中 $a$ 的取值范围 $-4＜a＜-1.5$ 可知：
$a+4＞0$，$a＜0$，$2a+3＜0$，
根据绝对值的性质去绝对值符号：
$|a+4|-|a|+|2a+3|=(a+4)-(-a)+(-2a-3)$
去括号得：原式$=a+4+a-2a-3$
合并同类项得：原式$=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4＜a＜-\dfrac{3}{2}}$（或$-4＜a＜-1.5$）
(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，绝对值的化简
【点评】
本题是代数基础综合题，将方程组求解、不等式组应用和绝对值化简结合考察，解题的关键是先通过方程组解的正数属性求出参数范围，再利用绝对值性质化简，能有效检验学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
18. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+y=2k, \\3x-2y=1-k.\end{cases}$
(1)当$k=2$时，解此方程组.
(2)若$x＞y$，求实数$k$的取值范围.
(1)当$k=2$时，解此方程组.
(2)若$x＞y$，求实数$k$的取值范围.
答案
解: (1) 当 k = 2 时, 方程组为
$\begin{cases} 2x+y=4,① \\ 3x-2y=-1.② \end{cases}$ ①×2+②,得7x=7,
解得x=1.把x=1代入①,得2+y=4,解得y=2.所以方程组的解是$\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
(2) 解 方 程 组 $\begin{cases} 2x+y=2k, \\ 3x-2y=1-k \end{cases}$ 得
$\begin{cases} x=\dfrac{1+3k}{7}, \\ y=\dfrac{8k-2}{7}. \end{cases}$
∵x＞y,
∴$\dfrac{1+3k}{7}＞\dfrac{8k-2}{7}$,解得$k＜\dfrac{3}{5}$.
$\begin{cases} 2x+y=4,① \\ 3x-2y=-1.② \end{cases}$ ①×2+②,得7x=7,
解得x=1.把x=1代入①,得2+y=4,解得y=2.所以方程组的解是$\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
(2) 解 方 程 组 $\begin{cases} 2x+y=2k, \\ 3x-2y=1-k \end{cases}$ 得
$\begin{cases} x=\dfrac{1+3k}{7}, \\ y=\dfrac{8k-2}{7}. \end{cases}$
∵x＞y,
∴$\dfrac{1+3k}{7}＞\dfrac{8k-2}{7}$,解得$k＜\dfrac{3}{5}$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一问已知k=2，先将k=2代入原方程组得到具体的二元一次方程组，选用加减消元法求解：观察到两个方程中y的系数分别为1和-2，将第一个方程乘2后与第二个方程相加即可消去y，求出x的值，再将x代入原方程求出y即可。
(2) 第二问要求x＞y时k的取值范围，首先把k当作常数，用加减消元法解原方程组，得到x、y用k表示的代数式，再根据x＞y列关于k的一元一次不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 当$k=2$时，代入原方程组得：
$\begin{cases} 2x+y=4,① \\ 3x-2y=-1.② \end{cases}$
①×2得$4x+2y=8$ ③，
③+②得$7x=7$，解得$x=1$，
把$x=1$代入①得$2×1+y=4$，解得$y=2$。
(2) 解关于$x,y$的方程组$\begin{cases} 2x+y=2k,① \\ 3x-2y=1-k.② \end{cases}$
①×2得$4x+2y=4k$ ③，
③+②得$7x=1+3k$，解得$x=\dfrac{1+3k}{7}$，
把$x=\dfrac{1+3k}{7}$代入①，解得$y=\dfrac{8k-2}{7}$，
∵$x＞y$，
∴$\dfrac{1+3k}{7}＞\dfrac{8k-2}{7}$，
两边同乘7得$1+3k＞8k-2$，
移项合并同类项得$-5k＞-3$，
解得$k＜\dfrac{3}{5}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
(2) $k＜\dfrac{3}{5}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题是方程组与不等式的基础综合题，重点考查加减消元法解方程组、解一元一次不等式的基本技能，第二问的核心是将参数k视作常数先求出x、y的表达式，计算时需注意不等号方向的变化规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一问已知k=2，先将k=2代入原方程组得到具体的二元一次方程组，选用加减消元法求解：观察到两个方程中y的系数分别为1和-2，将第一个方程乘2后与第二个方程相加即可消去y，求出x的值，再将x代入原方程求出y即可。
(2) 第二问要求x＞y时k的取值范围，首先把k当作常数，用加减消元法解原方程组，得到x、y用k表示的代数式，再根据x＞y列关于k的一元一次不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 当$k=2$时，代入原方程组得：
$\begin{cases} 2x+y=4,① \\ 3x-2y=-1.② \end{cases}$
①×2得$4x+2y=8$ ③，
③+②得$7x=7$，解得$x=1$，
把$x=1$代入①得$2×1+y=4$，解得$y=2$。
(2) 解关于$x,y$的方程组$\begin{cases} 2x+y=2k,① \\ 3x-2y=1-k.② \end{cases}$
①×2得$4x+2y=4k$ ③，
③+②得$7x=1+3k$，解得$x=\dfrac{1+3k}{7}$，
把$x=\dfrac{1+3k}{7}$代入①，解得$y=\dfrac{8k-2}{7}$，
∵$x＞y$，
∴$\dfrac{1+3k}{7}＞\dfrac{8k-2}{7}$，
两边同乘7得$1+3k＞8k-2$，
移项合并同类项得$-5k＞-3$，
解得$k＜\dfrac{3}{5}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
(2) $k＜\dfrac{3}{5}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题是方程组与不等式的基础综合题，重点考查加减消元法解方程组、解一元一次不等式的基本技能，第二问的核心是将参数k视作常数先求出x、y的表达式，计算时需注意不等号方向的变化规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
