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15. 若实数$a$的平方根为方程$3x+2y=2$的一组解.
(1)求$a$的值.
(2)若$\sqrt{26}-a$的小数部分为$b$,求$(b+5)^2$的值.
(1)求$a$的值.
(2)若$\sqrt{26}-a$的小数部分为$b$,求$(b+5)^2$的值.
答案
解:(1)
∵a的平方根是3x+2y=2的一组解,
∴设a的平方根为m,n.根据题意,得
$\begin{cases} 3m+2n=2, \\ m+n=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=2, \\ n=-2. \end{cases}$
∴a为$(±2)^2=4$.
(2)$\sqrt{26}-a=\sqrt{26}-4$,因为$\sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$,所以$5＜\sqrt{26}＜6$,所以$1＜\sqrt{26}-a＜2$,所以$b=\sqrt{26}-5$,所以$(b+5)^2=26$.
∵a的平方根是3x+2y=2的一组解,
∴设a的平方根为m,n.根据题意,得
$\begin{cases} 3m+2n=2, \\ m+n=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=2, \\ n=-2. \end{cases}$
∴a为$(±2)^2=4$.
(2)$\sqrt{26}-a=\sqrt{26}-4$,因为$\sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$,所以$5＜\sqrt{26}＜6$,所以$1＜\sqrt{26}-a＜2$,所以$b=\sqrt{26}-5$,所以$(b+5)^2=26$.
解析
【分析】
(1) 首先回忆平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，即二者的和为0。题目告知a的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解，因此可以将两个平方根设为m、n，联立“3m+2n=2”和“m+n=0”两个方程，解出m、n的值后平方即可得到a的值。
(2) 求含无理数的式子的小数部分，核心是先估算无理数的整数范围：先找到和26相邻的两个完全平方数，确定√26的取值范围，进而得到√26 - a的范围，减去它的整数部分即可得到小数部分b，最后代入(b+5)²计算即可。
【解析】
(1)
∵ 实数a的平方根是方程3x+2y=2的一组解，且正数的两个平方根互为相反数，
∴ 设a的两个平方根分别为m、n，可列方程组：
$\begin{cases} 3m+2n=2 \\ m+n=0 \end{cases}$
将第二个方程变形为n=-m，代入第一个方程得：$3m+2×(-m)=2$，解得$m=2$，则$n=-2$，
∴ $a=(\pm2)^2=4$。
(2) 把a=4代入得$\sqrt{26}-a=\sqrt{26}-4$，
∵ $\sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{26}＜6$，
不等式各边同时减4得：$1＜\sqrt{26}-4＜2$，
因此$\sqrt{26}-4$的整数部分为1，小数部分$b=(\sqrt{26}-4)-1=\sqrt{26}-5$，
代入式子得：$(b+5)^2=(\sqrt{26}-5+5)^2=(\sqrt{26})^2=26$。
【答案】
(1) $a=4$；(2) $26$
【知识点】
平方根的性质，二元一次方程组求解，无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是熟练掌握平方根互为相反数的性质建立方程组，同时能正确估算无理数的取值范围得到其小数部分，考查了学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，即二者的和为0。题目告知a的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解，因此可以将两个平方根设为m、n，联立“3m+2n=2”和“m+n=0”两个方程，解出m、n的值后平方即可得到a的值。
(2) 求含无理数的式子的小数部分，核心是先估算无理数的整数范围：先找到和26相邻的两个完全平方数，确定√26的取值范围，进而得到√26 - a的范围，减去它的整数部分即可得到小数部分b，最后代入(b+5)²计算即可。
【解析】
(1)
∵ 实数a的平方根是方程3x+2y=2的一组解，且正数的两个平方根互为相反数，
∴ 设a的两个平方根分别为m、n，可列方程组：
$\begin{cases} 3m+2n=2 \\ m+n=0 \end{cases}$
将第二个方程变形为n=-m，代入第一个方程得：$3m+2×(-m)=2$，解得$m=2$，则$n=-2$，
∴ $a=(\pm2)^2=4$。
(2) 把a=4代入得$\sqrt{26}-a=\sqrt{26}-4$，
∵ $\sqrt{25}＜\sqrt{26}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{26}＜6$，
不等式各边同时减4得：$1＜\sqrt{26}-4＜2$，
因此$\sqrt{26}-4$的整数部分为1，小数部分$b=(\sqrt{26}-4)-1=\sqrt{26}-5$，
代入式子得：$(b+5)^2=(\sqrt{26}-5+5)^2=(\sqrt{26})^2=26$。
【答案】
(1) $a=4$；(2) $26$
【知识点】
平方根的性质，二元一次方程组求解，无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是熟练掌握平方根互为相反数的性质建立方程组，同时能正确估算无理数的取值范围得到其小数部分，考查了学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
16. 已知二元一次方程:①$x+y=4$;②$2x-y=2$;③$x-2y=1$.
请你从这三个方程中选择你喜欢的两个方程,组成一个二元一次方程组,并求出它的解.
请你从这三个方程中选择你喜欢的两个方程,组成一个二元一次方程组,并求出它的解.
答案
解:选取方程①和方程②组成二元一次方程组$\begin{cases} x+y=4,① \\ 2x-y=2.② \end{cases}$ ①+②,得3x=6.
∴x=2.把x=2代入①,得2+y=4,解得y=2.
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=2. \end{cases}$
∴x=2.把x=2代入①,得2+y=4,解得y=2.
∴原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=2. \end{cases}$
解析
【分析】
这是一道开放性题目，首先可从三个方程中任选两个组合成二元一次方程组，观察所选方程的未知数系数特点选择合适的消元方法求解即可。比如选择方程①和②时，两个方程中y的系数互为相反数，可优先用加减消元法，先消去y求出x的值，再把x的值代入任意一个原方程求出y的值，最后写出方程组的解即可。
【解析】
选取方程①和方程②组成二元一次方程组：
$\begin{cases} x+y=4 \ \ \ ① \\ 2x-y=2 \ \ ② \end{cases}$
①+②，得$3x=6$，解得$x=2$。
把$x=2$代入①，得$2+y=4$，解得$y=2$。
【答案】
$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$
（注：选择其他两个方程组合求解正确也可）
【知识点】
二元一次方程组，加减消元法，方程组的解
【点评】
本题属于开放性基础题，答案不唯一，主要考查对二元一次方程组解法的掌握，只要合理选择方程、正确求解即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道开放性题目，首先可从三个方程中任选两个组合成二元一次方程组，观察所选方程的未知数系数特点选择合适的消元方法求解即可。比如选择方程①和②时，两个方程中y的系数互为相反数，可优先用加减消元法，先消去y求出x的值，再把x的值代入任意一个原方程求出y的值，最后写出方程组的解即可。
【解析】
选取方程①和方程②组成二元一次方程组：
$\begin{cases} x+y=4 \ \ \ ① \\ 2x-y=2 \ \ ② \end{cases}$
①+②，得$3x=6$，解得$x=2$。
把$x=2$代入①，得$2+y=4$，解得$y=2$。
【答案】
$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$
（注：选择其他两个方程组合求解正确也可）
【知识点】
二元一次方程组，加减消元法，方程组的解
【点评】
本题属于开放性基础题，答案不唯一，主要考查对二元一次方程组解法的掌握，只要合理选择方程、正确求解即可得分。
【难度系数】
0.8
