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1.（教材练习变式）下列关于变量$x、y$的关系中，$y$不是$x$的函数的是 （
D
）答案
1. D
解析
【分析】
判断y是否为x的函数的核心依据是函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。解题时依次检查每个选项中x集合内的每一个元素，是否仅对应唯一的y值，若存在某一个x对应2个及以上y值的情况，就不符合函数的定义。
【解析】
我们结合函数定义逐一分析选项：
选项A：x取1、2、3、4时，每个x都只对应唯一的y值，符合函数定义，y是x的函数；
选项B：x取1、2、3、4时，每个x都只对应唯一的y值，符合函数定义，y是x的函数；
选项C：x取1、2、3、4时，每个x都只对应唯一的y值，符合函数定义，y是x的函数；
选项D：当x=3时，同时对应y=7和y=9两个不同的值，不满足“x的每一个确定值对应唯一y值”的要求，因此y不是x的函数。
【答案】
D
【知识点】
函数的概念
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题关键是抓住函数定义中“唯一对应”的核心特征，注意区分“多个x对应同一个y”是符合要求的，而“一个x对应多个y”不符合要求，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
判断y是否为x的函数的核心依据是函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。解题时依次检查每个选项中x集合内的每一个元素，是否仅对应唯一的y值，若存在某一个x对应2个及以上y值的情况，就不符合函数的定义。
【解析】
我们结合函数定义逐一分析选项：
选项A：x取1、2、3、4时，每个x都只对应唯一的y值，符合函数定义，y是x的函数；
选项B：x取1、2、3、4时，每个x都只对应唯一的y值，符合函数定义，y是x的函数；
选项C：x取1、2、3、4时，每个x都只对应唯一的y值，符合函数定义，y是x的函数；
选项D：当x=3时，同时对应y=7和y=9两个不同的值，不满足“x的每一个确定值对应唯一y值”的要求，因此y不是x的函数。
【答案】
D
【知识点】
函数的概念
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，解题关键是抓住函数定义中“唯一对应”的核心特征，注意区分“多个x对应同一个y”是符合要求的，而“一个x对应多个y”不符合要求，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. 圆的面积公式为$S=π r^2$，下列叙述正确的是 （
A.$π$、$r$是变量，$S$是$π r$的函数
B.$π$、$r$是变量，$S$是$r$的函数
C.$π$是常量，$S$与$r^2$成正比例
D.$π$是常量，$S$与$r$成正比例
C
）A.$π$、$r$是变量，$S$是$π r$的函数
B.$π$、$r$是变量，$S$是$r$的函数
C.$π$是常量，$S$与$r^2$成正比例
D.$π$是常量，$S$与$r$成正比例
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先要明确常量、变量的定义，以及正比例关系的判定规则：①先判断π的属性，圆周率π是固定不变的常数，属于常量，据此可先排除将π归为变量的选项；②再根据正比例关系的定义（若两个量满足y=kx，k为非零定值，则y与x成正比例），分析S和r、r²的关系，选出正确选项。
【解析】
1. 区分常量与变量：在公式$S=π r^2$中，$π$是圆周率，是固定不变的常量，半径$r$和面积$S$是可以变化的变量，因此选项A、B中认为$π$是变量的表述错误，排除A、B。
2. 判断正比例关系：正比例关系的定义为：若两个量$x$、$y$满足$y=kx$（$k$为不等于0的固定常量），则称$y$与$x$成正比例。
对公式变形得$\frac{S}{r^2}=π$，$π$是固定非零常量，因此$S$与$r^2$成正比例，C选项表述正确。
而$\frac{S}{r}=π r$，$r$是变量，因此$S$与$r$的比值不是定值，二者不成正比例，D选项表述错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
常量与变量；正比例关系判定；函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点有两处：一是误将圆周率$π$当成变量，二是判断正比例关系时搞错对应量，误认为$S$和$r$成正比例，学习时要准确理解基本概念，避免概念混淆。
【难度系数】
0.75
解题时首先要明确常量、变量的定义，以及正比例关系的判定规则：①先判断π的属性，圆周率π是固定不变的常数，属于常量，据此可先排除将π归为变量的选项；②再根据正比例关系的定义（若两个量满足y=kx，k为非零定值，则y与x成正比例），分析S和r、r²的关系，选出正确选项。
【解析】
1. 区分常量与变量：在公式$S=π r^2$中，$π$是圆周率，是固定不变的常量，半径$r$和面积$S$是可以变化的变量，因此选项A、B中认为$π$是变量的表述错误，排除A、B。
2. 判断正比例关系：正比例关系的定义为：若两个量$x$、$y$满足$y=kx$（$k$为不等于0的固定常量），则称$y$与$x$成正比例。
对公式变形得$\frac{S}{r^2}=π$，$π$是固定非零常量，因此$S$与$r^2$成正比例，C选项表述正确。
而$\frac{S}{r}=π r$，$r$是变量，因此$S$与$r$的比值不是定值，二者不成正比例，D选项表述错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
常量与变量；正比例关系判定；函数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点有两处：一是误将圆周率$π$当成变量，二是判断正比例关系时搞错对应量，误认为$S$和$r$成正比例，学习时要准确理解基本概念，避免概念混淆。
【难度系数】
0.75
3. 若散装色拉油的售价为6.5元/kg，则付款金额$ y $（单位：元）与购买质量$ x $（单位：kg）之间的函数关系式为________，其中________是变量，________是常量。
答案
3. $y=6.5x$；$x、y$；$6.5$
解析
【分析】
解题时首先结合生活中的数量关系：总价=单价×数量，代入题中对应的量就能得到函数关系式；再根据变量和常量的定义判断：变化过程中数值会发生改变的量是变量，固定不变的量是常量，依次对应判断即可。
【解析】
第一步，列函数关系式：根据“付款总金额=色拉油单价×购买质量”，已知单价为6.5元/kg，购买质量为x kg，付款金额为y元，代入可得$y=6.5x$。
第二步，判断变量和常量：在购买色拉油的过程中，购买的质量x可以根据需求取不同的正数值，付款金额y会随x的变化而变化，因此x、y是变量；色拉油的售价6.5元/kg是固定不变的，因此6.5是常量。
【答案】
$y=6.5x$；$x、y$；$6.5$
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 变量与常量的识别
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，结合常见的数量关系和基础定义即可求解，是巩固函数入门知识的典型习题。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合生活中的数量关系：总价=单价×数量，代入题中对应的量就能得到函数关系式；再根据变量和常量的定义判断：变化过程中数值会发生改变的量是变量，固定不变的量是常量，依次对应判断即可。
【解析】
第一步，列函数关系式：根据“付款总金额=色拉油单价×购买质量”，已知单价为6.5元/kg，购买质量为x kg，付款金额为y元，代入可得$y=6.5x$。
第二步，判断变量和常量：在购买色拉油的过程中，购买的质量x可以根据需求取不同的正数值，付款金额y会随x的变化而变化，因此x、y是变量；色拉油的售价6.5元/kg是固定不变的，因此6.5是常量。
【答案】
$y=6.5x$；$x、y$；$6.5$
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 变量与常量的识别
【点评】
本题是函数概念的基础考查题，结合常见的数量关系和基础定义即可求解，是巩固函数入门知识的典型习题。
【难度系数】
0.9
4. 铁的密度为$7.9\ \mathrm{g/cm}^3$，铁块的质量$m$（单位：$\mathrm{g}$）与它的体积$V$（单位：$\mathrm{cm}^3$）之间的函数表达式为$V=\dfrac{m}{7.9}$，当$V=20\ \mathrm{cm}^3$时，$m=\_\_\_\_\_\_\mathrm{g}$。
答案
4. 158 解析:把$V=20\ \mathrm{cm}^3$代入$V=\dfrac{m}{7.9}$,得$20=\dfrac{m}{7.9}$,解得$m=158$.
解析
【分析】
本题已知铁块质量m与体积V的函数表达式，要求指定V值对应的m值，解题思路为：先将已知的V的取值代入给出的函数关系式，得到关于m的一元一次方程，再解这个方程即可求出m的数值。
【解析】
将$V=20\ \mathrm{cm}^3$代入函数表达式$V=\dfrac{m}{7.9}$中，可得：
$20=\dfrac{m}{7.9}$
方程两边同时乘7.9，解得：
$m=20×7.9=158$
【答案】
158
【知识点】
1. 代入法求函数值 2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查函数关系式的应用能力，只要掌握代入求值的基本方法，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.9
本题已知铁块质量m与体积V的函数表达式，要求指定V值对应的m值，解题思路为：先将已知的V的取值代入给出的函数关系式，得到关于m的一元一次方程，再解这个方程即可求出m的数值。
【解析】
将$V=20\ \mathrm{cm}^3$代入函数表达式$V=\dfrac{m}{7.9}$中，可得：
$20=\dfrac{m}{7.9}$
方程两边同时乘7.9，解得：
$m=20×7.9=158$
【答案】
158
【知识点】
1. 代入法求函数值 2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查函数关系式的应用能力，只要掌握代入求值的基本方法，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.9
5. 一支长为20 cm的蜡烛，点燃后，其剩余长度与燃烧时间的关系如下表.
当这支蜡烛的剩余长度为10 cm时，这支蜡烛燃烧了
当这支蜡烛的剩余长度为10 cm时，这支蜡烛燃烧了
100
min.答案
5. 100 解析:设燃烧$x$ min时该蜡烛的剩余长度为$y$ cm.根据题意,得该蜡烛每燃烧10 min剩余长度减少1 cm,$\therefore y=-\dfrac{1}{10}x+20$.当$y=10$时,$-\dfrac{1}{10}x+20=10$,解得$x=100$.
解析
【分析】
解题时首先观察表格数据，可发现燃烧时间每增加10min，蜡烛剩余长度就减少1cm，说明剩余长度和燃烧时间符合一次函数关系。我们可以先设燃烧时间为x min，剩余长度为y cm，结合蜡烛初始长度20cm，推导出y与x的函数关系式，再将y=10代入关系式，求解对应的x值即可得到答案。
【解析】
设燃烧x min时蜡烛的剩余长度为y cm。
由表格数据可知，蜡烛每燃烧10min，剩余长度减少1cm，即每分钟燃烧$\dfrac{1}{10}$cm。
已知蜡烛初始长度为20cm，因此剩余长度与燃烧时间的函数关系为：
$y=20-\dfrac{1}{10}x$
当剩余长度$y=10$cm时，代入函数式得：
$10=20-\dfrac{1}{10}x$
移项计算：$\dfrac{1}{10}x=20-10=10$
解得$x=100$
【答案】
100
【知识点】
一次函数的实际应用；表格数据分析；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心考查学生从表格中提取数据规律、建立函数模型解决实际问题的能力，解题关键是找准蜡烛燃烧速度，正确列出剩余长度与燃烧时间的关系式。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察表格数据，可发现燃烧时间每增加10min，蜡烛剩余长度就减少1cm，说明剩余长度和燃烧时间符合一次函数关系。我们可以先设燃烧时间为x min，剩余长度为y cm，结合蜡烛初始长度20cm，推导出y与x的函数关系式，再将y=10代入关系式，求解对应的x值即可得到答案。
【解析】
设燃烧x min时蜡烛的剩余长度为y cm。
由表格数据可知，蜡烛每燃烧10min，剩余长度减少1cm，即每分钟燃烧$\dfrac{1}{10}$cm。
已知蜡烛初始长度为20cm，因此剩余长度与燃烧时间的函数关系为：
$y=20-\dfrac{1}{10}x$
当剩余长度$y=10$cm时，代入函数式得：
$10=20-\dfrac{1}{10}x$
移项计算：$\dfrac{1}{10}x=20-10=10$
解得$x=100$
【答案】
100
【知识点】
一次函数的实际应用；表格数据分析；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心考查学生从表格中提取数据规律、建立函数模型解决实际问题的能力，解题关键是找准蜡烛燃烧速度，正确列出剩余长度与燃烧时间的关系式。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在长方形ABCD中,BC=8,CD=5,E为边AD上的一动点(不与点A、D重合),连接CE,随着点E的运动,四边形ABCE的面积也发生变化.
(1)求四边形ABCE的面积y与AE的长x(0＜x＜8)之间的函数关系式.(用x表示y)
(2)当四边形ABCE的面积为30时,求CE的长.
(1)求四边形ABCE的面积y与AE的长x(0＜x＜8)之间的函数关系式.(用x表示y)
(2)当四边形ABCE的面积为30时,求CE的长.
答案
6. (1)根据题意,得$y=\dfrac{1}{2}×(x+8)×5=\dfrac{5}{2}x+20(0＜x＜8)$.
(2)当$y=30$时,$\dfrac{5}{2}x+20=30$,解得$x=4$,即$AE=4$,$\therefore DE=AD-AE=BC-AE=8-4=4$.在$\mathrm{Rt}△ CDE$中,$CE=\sqrt{DE^2+CD^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$.
(2)当$y=30$时,$\dfrac{5}{2}x+20=30$,解得$x=4$,即$AE=4$,$\therefore DE=AD-AE=BC-AE=8-4=4$.在$\mathrm{Rt}△ CDE$中,$CE=\sqrt{DE^2+CD^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$.
解析
【分析】
（1）首先判断四边形ABCE是直角梯形，求解函数关系式可利用梯形面积公式：先确定梯形的上底、下底和高，上底为AE=x，下底为BC=8，高等于长方形的宽CD=5，代入公式化简即可得到y与x的关系式；（2）先将y=30代入第(1)问得到的函数关系式，求解得到x即AE的长度，再计算DE的长度，最后在Rt△CDE中利用勾股定理即可求出CE的长。
【解析】
(1) 由图可知四边形ABCE为直角梯形，上底AE=x，下底BC=8，高AB=CD=5，根据梯形面积公式可得：
$y=\dfrac{1}{2}× (x+8)× 5$
化简得$y=\dfrac{5}{2}x+20$，结合E点不与A、D重合，自变量取值范围为$0＜x＜8$。
(2) 当$y=30$时，代入函数关系式得：
$\dfrac{5}{2}x+20=30$
解方程得：$\dfrac{5}{2}x=10$，$x=4$，即$AE=4$。
$\therefore DE=AD-AE=BC-AE=8-4=4$
在$\mathrm{Rt}△CDE$中，$CD=5$，$DE=4$，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2+CD^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$
【答案】
(1) $y=\dfrac{5}{2}x+20(0＜x＜8)$；(2) $\sqrt{41}$
【知识点】
梯形面积计算；一次函数解析式；勾股定理
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，既考查了梯形面积公式、勾股定理的基础应用，也锻炼了根据几何数量关系列函数表达式的能力，解题时要注意明确几何图形各边的对应关系，计算过程认真即可。
【难度系数】
0.7
（1）首先判断四边形ABCE是直角梯形，求解函数关系式可利用梯形面积公式：先确定梯形的上底、下底和高，上底为AE=x，下底为BC=8，高等于长方形的宽CD=5，代入公式化简即可得到y与x的关系式；（2）先将y=30代入第(1)问得到的函数关系式，求解得到x即AE的长度，再计算DE的长度，最后在Rt△CDE中利用勾股定理即可求出CE的长。
【解析】
(1) 由图可知四边形ABCE为直角梯形，上底AE=x，下底BC=8，高AB=CD=5，根据梯形面积公式可得：
$y=\dfrac{1}{2}× (x+8)× 5$
化简得$y=\dfrac{5}{2}x+20$，结合E点不与A、D重合，自变量取值范围为$0＜x＜8$。
(2) 当$y=30$时，代入函数关系式得：
$\dfrac{5}{2}x+20=30$
解方程得：$\dfrac{5}{2}x=10$，$x=4$，即$AE=4$。
$\therefore DE=AD-AE=BC-AE=8-4=4$
在$\mathrm{Rt}△CDE$中，$CD=5$，$DE=4$，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2+CD^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$
【答案】
(1) $y=\dfrac{5}{2}x+20(0＜x＜8)$；(2) $\sqrt{41}$
【知识点】
梯形面积计算；一次函数解析式；勾股定理
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，既考查了梯形面积公式、勾股定理的基础应用，也锻炼了根据几何数量关系列函数表达式的能力，解题时要注意明确几何图形各边的对应关系，计算过程认真即可。
【难度系数】
0.7
7. 下列式子中，y不是x的函数的是 （
A.$ y=5-4x $
B.$ y=x^2 $
C.$ y=\sqrt{2x+1} $
D.$ y^2=-3x $
D
）A.$ y=5-4x $
B.$ y=x^2 $
C.$ y=\sqrt{2x+1} $
D.$ y^2=-3x $
答案
7. D 解析:对于$y=5-4x$,任意给定一个$x$的值,计算$5-4x$能得到唯一确定的$y$值,$\therefore y$是$x$的函数,故A选项不符合题意;对于$y=x^2$,任意给定一个$x$的值,计算$x^2$能得到唯一确定的$y$值,$\therefore y$是$x$的函数,故B选项不符合题意;对于$y=\sqrt{2x+1}$,在$2x+1≥0(\mathrm{即 }x≥-\dfrac{1}{2})$的范围内,任意给定一个$x$的值,计算$\sqrt{2x+1}$能得出唯一确定的$y$值,$\therefore y$是$x$的函数,故C选项不符合题意;对于$y^2=-3x$,当$x$取一个非正数的值时,比如$x=-1$,则$y^2=3$,得到$y=\pm\sqrt{3}$,即一个$x$值对应两个$y$值,$\therefore y$不是$x$的函数,故D选项符合题意.
解析
【分析】
要解这道题，首先需要明确函数的判断标准：在一个变化过程中，若对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，反之则不是。解题时只需逐个验证四个选项，判断每个选项是否满足“一个x对应唯一的y”，不符合要求的就是正确选项。
【解析】
根据函数的定义逐一分析：
A. 对于$ y=5-4x $，任意给定一个x的取值，计算$5-4x$都能得到唯一确定的y值，因此y是x的函数，不符合题意；
B. 对于$ y=x^2 $，任意给定一个x的取值，计算$x^2$能得到唯一确定的y值，因此y是x的函数，不符合题意；
C. 对于$ y=\sqrt{2x+1} $，先确定自变量取值范围：$2x+1≥0$即$x≥-\dfrac{1}{2}$，在该范围内任意给定一个x的取值，算术平方根$\sqrt{2x+1}$的结果是唯一确定的非负数，因此y是x的函数，不符合题意；
D. 对于$ y^2=-3x $，当x取非正数时，例如取$x=-1$，可得$y^2=3$，此时$y=\sqrt{3}$或$y=-\sqrt{3}$，即一个x的取值对应了两个不同的y值，不满足函数的定义，因此y不是x的函数，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义、函数的判定、二次根式有意义的条件
【点评】
本题是对函数基础概念的考查，解题核心是牢牢抓住函数定义中“x的每一个确定值对应唯一的y值”这一关键判定依据，尤其注意当y带有平方、开方等运算时，要验证是否会出现一个x对应多个y的情况。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先需要明确函数的判断标准：在一个变化过程中，若对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，反之则不是。解题时只需逐个验证四个选项，判断每个选项是否满足“一个x对应唯一的y”，不符合要求的就是正确选项。
【解析】
根据函数的定义逐一分析：
A. 对于$ y=5-4x $，任意给定一个x的取值，计算$5-4x$都能得到唯一确定的y值，因此y是x的函数，不符合题意；
B. 对于$ y=x^2 $，任意给定一个x的取值，计算$x^2$能得到唯一确定的y值，因此y是x的函数，不符合题意；
C. 对于$ y=\sqrt{2x+1} $，先确定自变量取值范围：$2x+1≥0$即$x≥-\dfrac{1}{2}$，在该范围内任意给定一个x的取值，算术平方根$\sqrt{2x+1}$的结果是唯一确定的非负数，因此y是x的函数，不符合题意；
D. 对于$ y^2=-3x $，当x取非正数时，例如取$x=-1$，可得$y^2=3$，此时$y=\sqrt{3}$或$y=-\sqrt{3}$，即一个x的取值对应了两个不同的y值，不满足函数的定义，因此y不是x的函数，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义、函数的判定、二次根式有意义的条件
【点评】
本题是对函数基础概念的考查，解题核心是牢牢抓住函数定义中“x的每一个确定值对应唯一的y值”这一关键判定依据，尤其注意当y带有平方、开方等运算时，要验证是否会出现一个x对应多个y的情况。
【难度系数】
0.8
