3. (2025·成都)在平面直角坐标系中,点$P(-2,a^2+1)$所在的象限是 （）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

3. B
解析:$\because -2＜0,a^2+1＞0$,$\therefore$点$P$所在的象限是第二象限.

【分析】
要确定点P所在的象限，首先需要明确平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)，因此只需分别判断点P横坐标、纵坐标的正负，再对应特征即可得出结论。首先横坐标为-2，可直接判断小于0；再看纵坐标a²+1，根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，因此a²+1一定大于0，对应第二象限的符号特征就能得到答案。
【解析】
解：第一步，判断点P横、纵坐标的正负：
1. 横坐标为-2，可得-2 ＜ 0；
2. 纵坐标为$a^2+1$，根据偶次方的非负性可知$a^2 ≥ 0$，因此$a^2+1 ≥ 0+1 = 1 ＞ 0$。
第二步，对应象限坐标符号特征：第二象限内点的坐标符号为(-,+)，因此点$P(-2,a^2+1)$在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
象限的坐标特征；偶次方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查象限内点的坐标符号规律，结合非负数的性质判断代数式的正负即可快速求解，是平面直角坐标系章节的常规考法。
【难度系数】
0.9

4. (2025·威海)某广场计划用如图①所示的A、B两种瓷砖铺成如图②所示的图案.第1行第1列瓷砖的位置记为$(1,1)$，其右边瓷砖的位置记为$(2,1)$，其上面瓷砖的位置记为$(1,2)$，按照这样的规律，下列说法正确的是
()


A.$(2\,024,2\,025)$位置是B种瓷砖
B.$(2\,025,2\,025)$位置是B种瓷砖
C.$(2\,026,2\,026)$位置是A种瓷砖
D.$(2\,025,2\,026)$位置是B种瓷砖

4. B
解析:A种瓷砖的位置分别为$(1,2),(1,4),(1,6),\dots,(2,1),(2,3),(2,5),\dots$,B种瓷砖的位置分别为$(1,1),(1,3),(1,5),\dots,(2,2),(2,4),(2,6),\dots$,由此可得,A种瓷砖的坐标规律为(奇数,偶数),(偶数,奇数),B种瓷砖的坐标规律为(奇数,奇数),(偶数,偶数).综上可知,$(2\ 024,2\ 025)$位置是A种瓷砖,故A选项不符合题意;$(2\ 025,2\ 025)$位置是B种瓷砖,故B选项符合题意;$(2\ 026,2\ 026)$位置是B种瓷砖,故C选项不符合题意;$(2\ 025,2\ 026)$位置是A种瓷砖,故D选项不符合题意.

【分析】
这是一道结合平面直角坐标系的规律探究题，解题思路如下：第一步，先观察预铺图案中已知坐标位置的瓷砖类型，分别罗列A、B两种瓷砖对应的坐标；第二步，对比两类瓷砖坐标的横、纵坐标的奇偶性特征，归纳出对应规律；第三步，将四个选项中坐标的奇偶性与总结的规律对照，判断正误即可。
【解析】
观察预铺图案可得规律：当坐标的横坐标和纵坐标奇偶性不同（一奇一偶）时，对应位置是A种瓷砖；当坐标的横坐标和纵坐标奇偶性相同（同奇或同偶）时，对应位置是B种瓷砖。
对各选项逐一判断：
A选项：(2024,2025)中2024是偶数、2025是奇数，奇偶性不同，对应A种瓷砖，该选项错误；
B选项：(2025,2025)中横纵坐标均为奇数，奇偶性相同，对应B种瓷砖，该选项正确；
C选项：(2026,2026)中横纵坐标均为偶数，奇偶性相同，对应B种瓷砖，该选项错误；
D选项：(2025,2026)中2025是奇数、2026是偶数，奇偶性不同，对应A种瓷砖，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
点的坐标，规律探究，奇偶性应用
【点评】
本题考查规律探究能力，解题核心是通过观察已知坐标对应的瓷砖类型，归纳出坐标奇偶性与瓷砖种类的对应关系，属于基础的规律应用类题型，熟练掌握归纳推理的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7

5. (2025·内江)对于正整数$x$，规定函数$f(x)=\begin{cases}3x+1(x\mathrm{为奇数}),\\\dfrac{1}{2}x(x\mathrm{为偶数}).\end{cases}$在平面直角坐标系中，将点$(m,n)$中的$m$、$n$分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标(其中$m$、$n$均为正整数).例如:点$(8,5)$经过第1次运算得到点$(4,16)$，经过第2次运算得到点$(2,8)$，经过第3次运算得到点$(1,4)$，经过有限次运算后，必进入循环圈.按上述规定，将点$(2,1)$经过第2025次运算后得到的点是（ ）

A.$(2,1)$
B.$(4,2)$
C.$(1,2)$
D.$(1,4)$

5. A
解析:点$(2,1)$经过第1次运算后得到点$(1,4)$,经过第2次运算后得到点$(4,2)$,经过第3次运算后得到点$(2,1)$,$\dots\dots$发现规律:每3次运算为一个循环,$\because 2\ 025÷3=675$,$\therefore$经过第2025次运算后的对应点与经过第3次运算后的点相同,即$(2,1).$

【分析】
本题是新定义运算结合坐标变换的规律探究题，解题思路如下：首先按照题目给出的分段函数规则，依次计算点$(2,1)$前几次运算后的坐标，观察结果找到循环周期；再用总运算次数除以周期，根据余数判断第2025次运算后的坐标：若余数为0，对应周期最后一个坐标；若余数为$k$（$k≠0$），对应第$k$次运算的坐标。
【解析】
按照运算规则依次计算：
第1次运算：横坐标2是偶数，得$\dfrac{1}{2}×2=1$；纵坐标1是奇数，得$3×1+1=4$，对应点为$(1,4)$；
第2次运算：横坐标1是奇数，得$3×1+1=4$；纵坐标4是偶数，得$\dfrac{1}{2}×4=2$，对应点为$(4,2)$；
第3次运算：横坐标4是偶数，得$\dfrac{1}{2}×4=2$；纵坐标2是偶数，得$\dfrac{1}{2}×2=1$，对应点为$(2,1)$；
由此可发现规律：每3次运算为一个循环周期，循环序列为$(1,4)\to(4,2)\to(2,1)$。
$\because 2025÷3=675$，余数为0，说明第2025次运算后的坐标与周期最后一个坐标相同，即与第3次运算后的点一致。
【答案】
A
【知识点】
分段函数求值，周期规律应用
【点评】
本题以新定义函数为载体考查规律探究能力，解题的核心是通过计算前几次运算结果找到循环周期，再利用周期性质求解，计算过程中要注意分别判断横、纵坐标的奇偶性，对应正确的运算规则避免出错。
【难度系数】
0.7

6. (2025·深圳)如图,将无人机沿着 x 轴向右平移 3 个单位长度.若无人机上一点 P 的坐标为$(1,2)$,则平移后对应点$P'$的坐标为________.

6. $(4,2)$

【分析】
解决本题首先要明确平面直角坐标系中点的平移规律：水平方向平移时，点的纵坐标保持不变，横坐标遵循“右加左减”的规则，即向右平移时横坐标加上平移距离，向左平移时横坐标减去平移距离；竖直方向平移时横坐标不变，纵坐标遵循“上加下减”规则。本题是沿x轴向右平移3个单位，属于水平向右平移，因此只需给原点点P的横坐标加上3，纵坐标保持不变，即可得到平移后对应点$P'$的坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中点的平移规律：沿x轴向右平移时，点的纵坐标不变，横坐标加上平移的距离。
已知点$P$的坐标为$(1,2)$，向右平移3个单位，
则点$P'$的横坐标为$1+3=4$，纵坐标不变仍为2，
因此平移后对应点$P'$的坐标为$(4,2)$。
【答案】
$(4,2)$
【知识点】
点的平移规律
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平面直角坐标系中点的平移规律的直接应用，牢记“左减右加横变，上加下减纵变”的平移口诀即可快速解题，出错率较低。
【难度系数】
0.9

7. (2025·山西)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(6,0)$,将线段OA绕点O逆时针旋转$45°$,则点A的对应点的坐标为$\underline{\hspace{5cm}}$。

7. $(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$
解析:如图,将线段$OA$绕点$O$逆时针旋转$45°$得到$OA_1$,过点$A_1$作$A_1B⊥ x$轴于点$B$,则$∠ A_1BO=90°$,$\because$点$A$的坐标为$(6,0)$,$\therefore OA=6$,由旋转可知,$OA=OA_1=6$,$∠ AOA_1=45°$,$\therefore ∠ OA_1B=45°=∠ AOA_1$,$\therefore A_1B=OB$,设$A_1B=OB=x$,在$\mathrm{Rt}△ A_1OB$中,$A_1B^2+OB^2=OA_1^2$,即$x^2+x^2=6^2$,解得$x=3\sqrt{2}$,即$A_1B=OB=3\sqrt{2}$,$\therefore$点$A$的对应点的坐标为$(3\sqrt{2},3\sqrt{2}).$

【分析】
要求旋转后点A的对应点坐标，首先结合旋转的性质可知，旋转前后对应边长度相等、旋转角为45°，可得OA₁=OA=6，∠AOA₁=45°。要得到平面直角坐标系中点的坐标，可过该点向x轴作垂线，将坐标转化为水平线段和垂线段的长度：过A₁作A₁B⊥x轴于点B，可得△A₁OB为等腰直角三角形，即OB=A₁B，再利用勾股定理列方程求解两条直角边的长度，即可得到A₁的坐标。
【解析】
过点A₁作A₁B⊥x轴于点B，则∠A₁BO=90°。
∵点A的坐标为$(6,0)$，
∴$OA=6$。
由旋转的性质可得：$OA_1=OA=6$，$∠AOA_1=45°$。
在$\mathrm{Rt}△A_1OB$中，$∠OA_1B=90°-∠AOA_1=45°$，
∴$∠OA_1B=∠AOA_1$，即$OB=A_1B$。
设$OB=A_1B=x$，根据勾股定理得：
$x^2+x^2=6^2$
整理得$2x^2=36$，解得$x=3\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负根），
∴$OB=A_1B=3\sqrt{2}$，即点A的对应点坐标为$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$。
【答案】
$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$

【知识点】
旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与旋转结合的基础题型，解题核心是利用旋转性质得到相等的线段和角度，通过作垂线构造直角三角形，将求点坐标的问题转化为求直角三角形边长的问题，这类解题思路在坐标系几何题中非常常见，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

8. (2025·山东)在平面直角坐标系中，将点$P(3,4)$向下平移2个单位长度，得到的对应点$P'$的坐标是________.

8. $(3,2)$

【分析】
解决这道题首先要明确平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：点上下平移时，横坐标保持不变，纵坐标遵循“上加下减”的规则（向上平移时纵坐标加对应平移单位，向下平移时纵坐标减对应平移单位）；左右平移时纵坐标不变，横坐标遵循“左减右加”的规则。本题是向下平移，因此只需保持原横坐标不变，用原纵坐标减去平移的单位长度，就能得到平移后对应点的坐标。
【解析】
已知原点点$P$的坐标为$(3,4)$，现将其向下平移2个单位长度。
根据点向下平移的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度，可得：
对应点$P'$的横坐标与原点点$P$的横坐标一致，为$3$；
对应点$P'$的纵坐标为$4-2=2$。
因此得到对应点$P'$的坐标为$(3,2)$。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
点的坐标平移规律
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查平面直角坐标系中点平移的坐标变化规则，只要牢记平移时横、纵坐标的变化口诀，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9

9. (2025·广安)在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为$(a,b)$,且$a、b$满足$(a-2)^2 + |b+3| = 0$,则点A在第________象限.

9. 四
解析:$\because (a-2)^2+|b+3|=0$,$\therefore a-2=0$,$b+3=0$,$\therefore a=2$,$b=-3$,$\therefore$点$A$的坐标为$(2,-3)$,$\therefore$点$A$在第四象限.

【分析】
解题首先要回忆非负数的性质：偶次幂和绝对值都是非负数，若两个非负数的和为0，那么这两个非负数的值都为0。我们可以根据这一性质求出a、b的值，得到点A的坐标，再结合平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，即可判断点A所在的象限。
【解析】
$\because (a-2)^2≥0$，$|b+3|≥0$，且$(a-2)^2 + |b+3| = 0$
$\therefore a-2=0$，$b+3=0$
解得：$a=2$，$b=-3$
$\therefore$点A的坐标为$(2,-3)$
$\because$第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负，和点A的坐标特征匹配
$\therefore$点A在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
非负数的性质；象限坐标特征；点的坐标
【点评】
本题是基础类题型，综合考查了非负数性质和平面直角坐标系的相关知识，只要熟练掌握非负数的性质以及各象限内点的坐标符号特点，就能快速解答。
【难度系数】
0.85