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6. 如图,已知点 $ A_1 $ 的坐标是$(1,2)$,线段 $ OA_1 $ 在第一象限内按如下规律变换:$ A_1A_2 ⊥ OA_1 $, $ A_1A_2 = OA_1 $;$ A_2A_3 ⊥ A_1A_2 $,$ A_2A_3 = A_1A_2 $;$ A_3A_4 ⊥ A_2A_3 $,$ A_3A_4 = A_2A_3 $;…则点 $ A_{2027} $ 的坐标是________.
答案
6. $(3\ 040,1\ 015)$
解析:$A_1(1,2),A_2(3,1),A_3(4,3),A_4(6,2),A_5(7,4),A_6(9,3),\dots$,由此发现$A_1$的横坐标为$\frac{1+1}{2}×3-2=1$,纵坐标为$\frac{1+1}{2}+1=2$;$A_3$的横坐标为$\frac{3+1}{2}×3-2=4$,纵坐标为$\frac{3+1}{2}+1=3$;$A_5$的横坐标为$\frac{5+1}{2}×3-2=7$,纵坐标为$\frac{5+1}{2}+1=4$;$\dots$;$\therefore$点$A_{2\ 027}$的横坐标为$\frac{2\ 027+1}{2}×3-2=3\ 040$,纵坐标为$\frac{2\ 027+1}{2}+1=1\ 015$,$\therefore$点$A_{2\ 027}$的坐标为$(3\ 040,1\ 015).$
解析:$A_1(1,2),A_2(3,1),A_3(4,3),A_4(6,2),A_5(7,4),A_6(9,3),\dots$,由此发现$A_1$的横坐标为$\frac{1+1}{2}×3-2=1$,纵坐标为$\frac{1+1}{2}+1=2$;$A_3$的横坐标为$\frac{3+1}{2}×3-2=4$,纵坐标为$\frac{3+1}{2}+1=3$;$A_5$的横坐标为$\frac{5+1}{2}×3-2=7$,纵坐标为$\frac{5+1}{2}+1=4$;$\dots$;$\therefore$点$A_{2\ 027}$的横坐标为$\frac{2\ 027+1}{2}×3-2=3\ 040$,纵坐标为$\frac{2\ 027+1}{2}+1=1\ 015$,$\therefore$点$A_{2\ 027}$的坐标为$(3\ 040,1\ 015).$
解析
【分析】
要确定点$A_{2027}$的坐标，首先观察变换规律，先写出前几个点的坐标，重点关注奇数下标的点（2027是奇数）的横、纵坐标变化规律：先计算$A_1、A_3、A_5$等点的坐标，对比发现每完成两次变换，奇数下标点的横坐标每次增加3，纵坐标每次增加1，再总结出通用的奇数下标点的坐标公式，最后代入$n=2027$计算即可。
【解析】
首先根据题意列出前几个奇数下标点的坐标：
$A_1(1,2)$，$A_3(4,3)$，$A_5(7,4)$，
观察上述坐标可总结规律：对于正奇数$m$，点$A_m$的横坐标为$\frac{m+1}{2}×3 - 2$，纵坐标为$\frac{m+1}{2}+1$。
因为2027是正奇数，代入公式计算：
横坐标：$\frac{2027+1}{2}×3 - 2 = 1014×3 -2 = 3040$
纵坐标：$\frac{2027+1}{2}+1 = 1014 +1 = 1015$
【答案】
$(3040,1015)$
【知识点】
1. 点的坐标规律探究
2. 平面直角坐标系应用
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题关键是先通过计算前几个特殊点的坐标，归纳出奇数下标点的坐标变化规律，再代入数值求解，能够有效考查学生的归纳推理能力和对平面直角坐标系的掌握程度。
【难度系数】
0.6
要确定点$A_{2027}$的坐标，首先观察变换规律，先写出前几个点的坐标，重点关注奇数下标的点（2027是奇数）的横、纵坐标变化规律：先计算$A_1、A_3、A_5$等点的坐标，对比发现每完成两次变换，奇数下标点的横坐标每次增加3，纵坐标每次增加1，再总结出通用的奇数下标点的坐标公式，最后代入$n=2027$计算即可。
【解析】
首先根据题意列出前几个奇数下标点的坐标：
$A_1(1,2)$，$A_3(4,3)$，$A_5(7,4)$，
观察上述坐标可总结规律：对于正奇数$m$，点$A_m$的横坐标为$\frac{m+1}{2}×3 - 2$，纵坐标为$\frac{m+1}{2}+1$。
因为2027是正奇数，代入公式计算：
横坐标：$\frac{2027+1}{2}×3 - 2 = 1014×3 -2 = 3040$
纵坐标：$\frac{2027+1}{2}+1 = 1014 +1 = 1015$
【答案】
$(3040,1015)$
【知识点】
1. 点的坐标规律探究
2. 平面直角坐标系应用
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题关键是先通过计算前几个特殊点的坐标，归纳出奇数下标点的坐标变化规律，再代入数值求解，能够有效考查学生的归纳推理能力和对平面直角坐标系的掌握程度。
【难度系数】
0.6
7. 在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，且$OB=OA=3$。
(1)求点A、B的坐标。
(2)若点$C(-2,2)$，求$△ BOC$的面积。
(3)P是第一、三象限的角平分线上一点，若$S_{△ ABP}=\frac{33}{2}$，求点P的坐标。
(1)求点A、B的坐标。
(2)若点$C(-2,2)$，求$△ BOC$的面积。
(3)P是第一、三象限的角平分线上一点，若$S_{△ ABP}=\frac{33}{2}$，求点P的坐标。
答案
7. (1)$\because A、B$两点分别在$x$轴、$y$轴的正半轴上,$OB=OA=3$,$\therefore A(3,0)、B(0,3).$
(2)$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB·|x_C|=\frac{1}{2}×3×2=3.$
(3)$\because$点$P$在第一、三象限的角平分线上,$\therefore$设点$P(a,a). \because S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{9}{2}＜\frac{33}{2}. \therefore$点$P$在第一象限$AB$的上方或在第三象限.如图,当点$P_1$在第一象限$AB$的上方时,$S_{△ ABP_1}=S_{△ P_1AO}+S_{△ P_1BO}-S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· y_{P_1}+\frac{1}{2}OB· x_{P_1}-\frac{1}{2}OA· OB$,即$\frac{1}{2}·3a+\frac{1}{2}·3a-\frac{1}{2}×3×3=\frac{33}{2}$,解得$a=7$,$\therefore$点$P_1(7,7)$;当点$P_2$在第三象限时,$S_{△ ABP_2}=S_{△ P_2AO}+S_{△ P_2BO}+S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA·|y_{P_2}|+\frac{1}{2}OB·|x_{P_2}|+\frac{1}{2}OA· OB$,即$\frac{1}{2}·(-3a)+\frac{1}{2}·(-3a)+\frac{1}{2}×3×3=\frac{33}{2}$,解得$a=-4$,$\therefore$点$P_2(-4,-4)$.综上所述,点$P$的坐标为$(7,7)$或$(-4,-4).$
解析
【分析】
(1) 求A、B坐标时，利用坐标轴上点的坐标特征：x轴正半轴上的点纵坐标为0，y轴正半轴上的点横坐标为0，结合OA=OB=3的条件，可直接写出两点坐标。
(2) 计算△BOC的面积时，可将y轴上的OB作为底，长度为3，点C到y轴的距离（即C点横坐标的绝对值）为对应高，代入三角形面积公式即可求解。
(3) 首先明确第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，因此可设P(a,a)。先计算△AOB的面积为$\frac{9}{2}$，小于$\frac{33}{2}$，因此点P不可能在线段AB靠近原点的一侧，需分两种情况讨论：①P在第一象限AB的上方，此时△ABP的面积可通过△PAO、△PBO的面积和减去△AOB的面积得到；②P在第三象限，此时△ABP的面积可通过△PAO、△PBO的面积和加上△AOB的面积得到，分别列方程求解a的值，即可得到P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵A在x轴正半轴，OA=3，
∴A点横坐标为3，纵坐标为0；
∵B在y轴正半轴，OB=3，
∴B点纵坐标为3，横坐标为0。
(2) △BOC以OB为底，OB=3，OB边上的高为点C到y轴的距离，即$|x_C|=|-2|=2$，
∴$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×OB×|x_C|=\frac{1}{2}×3×2=3$。
(3)
∵点P在第一、三象限的角平分线上，
∴点P横、纵坐标相等，设$P(a,a)$。
计算得$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{9}{2}＜\frac{33}{2}$，因此点P在第一象限AB的上方或第三象限，分情况讨论：
①当点P在第一象限AB上方时：
$S_{△ABP}=S_{△PAO}+S_{△PBO}-S_{△AOB}$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×3a+\frac{1}{2}×3a-\frac{1}{2}×3×3=\frac{33}{2}$，
化简得$3a-\frac{9}{2}=\frac{33}{2}$，解得$a=7$，即$P(7,7)$；
②当点P在第三象限时，$a＜0$，$|x_P|=|y_P|=-a$：
$S_{△ABP}=S_{△PAO}+S_{△PBO}+S_{△AOB}$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×3×(-a)+\frac{1}{2}×3×(-a)+\frac{9}{2}=\frac{33}{2}$，
化简得$-3a+\frac{9}{2}=\frac{33}{2}$，解得$a=-4$，即$P(-4,-4)$。
综上，点P的坐标为$(7,7)$或$(-4,-4)$。
【答案】
(1)$A(3,0)、B(0,3)$；
(2)$3$；
(3)$(7,7)$或$(-4,-4)$。
【知识点】
1. 坐标轴点的坐标特征
2. 三角形面积计算
3. 象限角平分线坐标性质
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中点的坐标规律、三角形面积的割补法计算，解题时需要注意分类讨论点P的不同位置，避免出现漏解的情况，同时计算过程中要注意坐标符号对面积表达式的影响。
【难度系数】
0.7
(1) 求A、B坐标时，利用坐标轴上点的坐标特征：x轴正半轴上的点纵坐标为0，y轴正半轴上的点横坐标为0，结合OA=OB=3的条件，可直接写出两点坐标。
(2) 计算△BOC的面积时，可将y轴上的OB作为底，长度为3，点C到y轴的距离（即C点横坐标的绝对值）为对应高，代入三角形面积公式即可求解。
(3) 首先明确第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，因此可设P(a,a)。先计算△AOB的面积为$\frac{9}{2}$，小于$\frac{33}{2}$，因此点P不可能在线段AB靠近原点的一侧，需分两种情况讨论：①P在第一象限AB的上方，此时△ABP的面积可通过△PAO、△PBO的面积和减去△AOB的面积得到；②P在第三象限，此时△ABP的面积可通过△PAO、△PBO的面积和加上△AOB的面积得到，分别列方程求解a的值，即可得到P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵A在x轴正半轴，OA=3，
∴A点横坐标为3，纵坐标为0；
∵B在y轴正半轴，OB=3，
∴B点纵坐标为3，横坐标为0。
(2) △BOC以OB为底，OB=3，OB边上的高为点C到y轴的距离，即$|x_C|=|-2|=2$，
∴$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×OB×|x_C|=\frac{1}{2}×3×2=3$。
(3)
∵点P在第一、三象限的角平分线上，
∴点P横、纵坐标相等，设$P(a,a)$。
计算得$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{9}{2}＜\frac{33}{2}$，因此点P在第一象限AB的上方或第三象限，分情况讨论：
①当点P在第一象限AB上方时：
$S_{△ABP}=S_{△PAO}+S_{△PBO}-S_{△AOB}$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×3a+\frac{1}{2}×3a-\frac{1}{2}×3×3=\frac{33}{2}$，
化简得$3a-\frac{9}{2}=\frac{33}{2}$，解得$a=7$，即$P(7,7)$；
②当点P在第三象限时，$a＜0$，$|x_P|=|y_P|=-a$：
$S_{△ABP}=S_{△PAO}+S_{△PBO}+S_{△AOB}$，代入数据得：
$\frac{1}{2}×3×(-a)+\frac{1}{2}×3×(-a)+\frac{9}{2}=\frac{33}{2}$，
化简得$-3a+\frac{9}{2}=\frac{33}{2}$，解得$a=-4$，即$P(-4,-4)$。
综上，点P的坐标为$(7,7)$或$(-4,-4)$。
【答案】
(1)$A(3,0)、B(0,3)$；
(2)$3$；
(3)$(7,7)$或$(-4,-4)$。
【知识点】
1. 坐标轴点的坐标特征
2. 三角形面积计算
3. 象限角平分线坐标性质
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中点的坐标规律、三角形面积的割补法计算，解题时需要注意分类讨论点P的不同位置，避免出现漏解的情况，同时计算过程中要注意坐标符号对面积表达式的影响。
【难度系数】
0.7
1. (2025·贵州)如图,平面直角坐标系中有A、B、C、D四点,根据图中各点位置判断,在第四象限的点是 (
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
D
)A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个点在第四象限，首先需牢记平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征：第一象限横坐标为正、纵坐标为正（+,+），第二象限横坐标为负、纵坐标为正（-,+），第三象限横坐标为负、纵坐标为负（-,-），第四象限横坐标为正、纵坐标为负（+,-），且坐标轴上的点不属于任何象限。接下来依次判断四个点的位置符合哪个象限的特征即可。
【解析】
根据各象限内点的坐标符号特征分析：
1. 点A横坐标为正，纵坐标为正，属于第一象限，不符合题意；
2. 点B在x轴上，不属于任何象限，不符合题意；
3. 点C横坐标为负，纵坐标为负，属于第三象限，不符合题意；
4. 点D横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限的坐标特征，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
象限的划分；各象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查平面直角坐标系中点的位置与象限的对应关系，解题核心是熟练记忆各象限内点的坐标符号特点。
【难度系数】
0.9
要判断哪个点在第四象限，首先需牢记平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征：第一象限横坐标为正、纵坐标为正（+,+），第二象限横坐标为负、纵坐标为正（-,+），第三象限横坐标为负、纵坐标为负（-,-），第四象限横坐标为正、纵坐标为负（+,-），且坐标轴上的点不属于任何象限。接下来依次判断四个点的位置符合哪个象限的特征即可。
【解析】
根据各象限内点的坐标符号特征分析：
1. 点A横坐标为正，纵坐标为正，属于第一象限，不符合题意；
2. 点B在x轴上，不属于任何象限，不符合题意；
3. 点C横坐标为负，纵坐标为负，属于第三象限，不符合题意；
4. 点D横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限的坐标特征，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
象限的划分；各象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查平面直角坐标系中点的位置与象限的对应关系，解题核心是熟练记忆各象限内点的坐标符号特点。
【难度系数】
0.9
2. (2025·辽宁)在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(3,0)$,点B的坐标为$(2,-2)$,将线段AB平移得到线段CD,点A的对应点C的坐标为$(3,5)$,则点B的对应点D的坐标为 (
A.$(7,-2)$
B.$(2,3)$
C.$(2,-7)$
D.$(-3,-2)$
B
)A.$(7,-2)$
B.$(2,3)$
C.$(2,-7)$
D.$(-3,-2)$
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道考查平面直角坐标系中点的平移规律的题目，解题思路如下：首先回忆平移的核心性质：图形平移过程中，所有对应点的平移方向、平移距离完全相同，即对应点的横坐标变化量相等、纵坐标变化量相等。所以我们可以先根据已知的对应点A和C的坐标，计算出平移时横坐标和纵坐标的变化量，再将该变化量应用到点B上，即可求出点B的对应点D的坐标。
【解析】
第一步：计算平移的坐标变化量
已知点A坐标为$(3,0)$，对应点C坐标为$(3,5)$
横坐标变化量：$3-3=0$，即平移时横坐标不变
纵坐标变化量：$5-0=5$，即平移时纵坐标加5
第二步：计算点D的坐标
点B坐标为$(2,-2)$，按照上述平移规则：
D点横坐标：$2+0=2$
D点纵坐标：$-2+5=3$
所以点D的坐标为$(2,3)$，对应选项B
【答案】
B
【知识点】
1. 平移的性质
2. 坐标平移规律
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平移前后对应点的坐标变化规律，解题的关键是准确计算出平移时横、纵坐标的变化量，熟练掌握平移规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9
这是一道考查平面直角坐标系中点的平移规律的题目，解题思路如下：首先回忆平移的核心性质：图形平移过程中，所有对应点的平移方向、平移距离完全相同，即对应点的横坐标变化量相等、纵坐标变化量相等。所以我们可以先根据已知的对应点A和C的坐标，计算出平移时横坐标和纵坐标的变化量，再将该变化量应用到点B上，即可求出点B的对应点D的坐标。
【解析】
第一步：计算平移的坐标变化量
已知点A坐标为$(3,0)$，对应点C坐标为$(3,5)$
横坐标变化量：$3-3=0$，即平移时横坐标不变
纵坐标变化量：$5-0=5$，即平移时纵坐标加5
第二步：计算点D的坐标
点B坐标为$(2,-2)$，按照上述平移规则：
D点横坐标：$2+0=2$
D点纵坐标：$-2+5=3$
所以点D的坐标为$(2,3)$，对应选项B
【答案】
B
【知识点】
1. 平移的性质
2. 坐标平移规律
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平移前后对应点的坐标变化规律，解题的关键是准确计算出平移时横、纵坐标的变化量，熟练掌握平移规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9
