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9. (2025·北京)在平面直角坐标系中，函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过点$(1,3)$和$(2,5)$。
(1)求$k$、$b$的值。
(2)当$x＜1$时，对于$x$的每一个值，函数$y=mx(m≠0)$的值既小于函数$y=kx+b$的值，也小于函数$y=x+k$的值，直接写出$m$的取值范围。
(1)求$k$、$b$的值。
(2)当$x＜1$时，对于$x$的每一个值，函数$y=mx(m≠0)$的值既小于函数$y=kx+b$的值，也小于函数$y=x+k$的值，直接写出$m$的取值范围。
答案
9.(1)
∵函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,3)和(2,5),
∴$\begin{cases}k+b=3,\\2k+b=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=1.\end{cases}$
(2)由(1)得,函数y=kx+b(k≠0)的表达式为y=2x+1,函数y=x+k的表达式为y=x+2,在同一平面直角坐标系中画出y=2x+1和y=x+2的图象如图所示,两函数相交于点(1,3).
∵当x＜1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既小于函数y=2x+1的值,也小于函数y=x+2的值,
∴当x＜1时,函数y=mx(m≠0)的图象始终在y=2x+1和y=x+2的图象的下方.结合函数图象可知,m的取值范围为2≤m≤3.
解析
【分析】
(1) 已知一次函数$y=kx+b$过两个定点，求未知系数$k$和$b$可使用待定系数法：将两个点的坐标分别代入函数表达式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到结果。
(2) 先根据第一问求出的$k$、$b$值，写出两个对比函数的表达式，确定两函数的交点坐标。题目要求$x＜1$时，过原点的直线$y=mx$的值同时小于另外两个函数的值，结合一次函数图象的位置关系，只要保证$y=mx$在$x＜1$的区域内始终在另外两条直线下方即可，通过分析斜率的边界取值就能确定$m$的范围。
【解析】
(1)
∵函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过点$(1,3)$和$(2,5)$，
将两点坐标代入解析式可得：
$\begin{cases}k+b=3\\2k+b=5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=2$，
将$k=2$代入$k+b=3$，解得$b=1$。
(2) 由(1)得，$k=2$，$b=1$，因此$y=kx+b$的表达式为$y=2x+1$，$y=x+k$的表达式为$y=x+2$，两函数图象相交于点$(1,3)$。
要满足当$x＜1$时，对任意$x$都有$mx＜2x+1$且$mx＜x+2$，即$y=mx(m≠0)$的图象在$x＜1$区域始终在$y=2x+1$和$y=x+2$的图象下方。
结合图象分析：当$m＜2$时，$x$取负值时$y=mx$会大于另外两个函数值，不符合要求；当$m＞3$时，$x$接近1时$y=mx$会大于另外两个函数值，不符合要求；验证边界值$m=2$和$m=3$均满足条件，因此$m$的取值范围为$2≤m≤3$。
【答案】
(1) $\begin{cases}k=2\\b=1\end{cases}$
(2) $2≤m≤3$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的图象与性质
3. 一次函数与不等式
【点评】
本题考查一次函数的综合应用，第一问是待定系数法的基础考查，第二问需要结合函数图象分析不等关系，渗透数形结合的数学思想，解题时要注意验证边界值是否符合要求。
【难度系数】
0.6
(1) 已知一次函数$y=kx+b$过两个定点，求未知系数$k$和$b$可使用待定系数法：将两个点的坐标分别代入函数表达式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可得到结果。
(2) 先根据第一问求出的$k$、$b$值，写出两个对比函数的表达式，确定两函数的交点坐标。题目要求$x＜1$时，过原点的直线$y=mx$的值同时小于另外两个函数的值，结合一次函数图象的位置关系，只要保证$y=mx$在$x＜1$的区域内始终在另外两条直线下方即可，通过分析斜率的边界取值就能确定$m$的范围。
【解析】
(1)
∵函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过点$(1,3)$和$(2,5)$，
将两点坐标代入解析式可得：
$\begin{cases}k+b=3\\2k+b=5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=2$，
将$k=2$代入$k+b=3$，解得$b=1$。
(2) 由(1)得，$k=2$，$b=1$，因此$y=kx+b$的表达式为$y=2x+1$，$y=x+k$的表达式为$y=x+2$，两函数图象相交于点$(1,3)$。
要满足当$x＜1$时，对任意$x$都有$mx＜2x+1$且$mx＜x+2$，即$y=mx(m≠0)$的图象在$x＜1$区域始终在$y=2x+1$和$y=x+2$的图象下方。
结合图象分析：当$m＜2$时，$x$取负值时$y=mx$会大于另外两个函数值，不符合要求；当$m＞3$时，$x$接近1时$y=mx$会大于另外两个函数值，不符合要求；验证边界值$m=2$和$m=3$均满足条件，因此$m$的取值范围为$2≤m≤3$。
【答案】
(1) $\begin{cases}k=2\\b=1\end{cases}$
(2) $2≤m≤3$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的图象与性质
3. 一次函数与不等式
【点评】
本题考查一次函数的综合应用，第一问是待定系数法的基础考查，第二问需要结合函数图象分析不等关系，渗透数形结合的数学思想，解题时要注意验证边界值是否符合要求。
【难度系数】
0.6
10. (2025·黑龙江)一条公路上依次有 A、B、C 三地,一辆轿车从 A 地出发途经 B 地接人,停留一段时间后原速驶往 C 地;一辆货车从 C 地出发,送货到达 B 地后立即原路原速返回 C地(卸货时间忽略不计).两车同时出发,轿车比货车晚$\frac{1}{3}$h 到达终点,两车均按各自速度匀速行驶.如图是轿车和货车距各自出发地的距离 y(单位:km)与轿车的行驶时间 x(单位:h)之间的函数图象,结合图象解答下列问题:
(1)图中 a 的值是
(2)在货车从 B 地返回 C 地的过程中,求货车距出发地的距离 y(单位:km)与行驶时间x(单位:h)之间的函数表达式.
(3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距 40 km.
(1)图中 a 的值是
300
,b 的值是2
.(2)在货车从 B 地返回 C 地的过程中,求货车距出发地的距离 y(单位:km)与行驶时间x(单位:h)之间的函数表达式.
(3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距 40 km.
答案
10.(1)300 2 解析:由图象可知,A、B两地之间的距离为180 km,B、C两地之间的距离为120 km,180+120=300(km),
∴a=300,轿车的速度为180÷1.5=120(km/h),300÷120=2.5(h),根据图象,得1.5+(3-b)=2.5,解得b=2.
(2)$3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$(h),
∴$N(\frac{8}{3},0)$,$\frac{8}{3}÷2=\frac{4}{3}$(h),
∴$M(\frac{4}{3},120)$,货车的速度为$120÷\frac{4}{3}=90$(km/h),
∴y=120-90$(x-\frac{4}{3})$=-90x+240,
∴在货车从B地返回C地的过程中,货车距出发地的距离y(单位:km)与行驶时间x(单位:h)之间的函数表达式为y=-90x+240($\frac{4}{3}≤x≤\frac{8}{3}$).
(3)当$0≤x≤\frac{4}{3}$时,得(120+90)x+40=300,解得$x=\frac{26}{21}$;当$\frac{4}{3}＜x≤1.5$时,两车之间的距离一直在减小,且总是小于40 km;当1.5＜x≤2时,得90$(x-\frac{4}{3})$=40,解得$x=\frac{16}{9}$;当2＜x≤$\frac{8}{3}$时,得180+120(x-2)+40-90x+240=300,解得$x=\frac{8}{3}$.综上所述,轿车出发$\frac{26}{21}$h或$\frac{16}{9}$h或$\frac{8}{3}$h与货车相距40 km.
∴a=300,轿车的速度为180÷1.5=120(km/h),300÷120=2.5(h),根据图象,得1.5+(3-b)=2.5,解得b=2.
(2)$3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$(h),
∴$N(\frac{8}{3},0)$,$\frac{8}{3}÷2=\frac{4}{3}$(h),
∴$M(\frac{4}{3},120)$,货车的速度为$120÷\frac{4}{3}=90$(km/h),
∴y=120-90$(x-\frac{4}{3})$=-90x+240,
∴在货车从B地返回C地的过程中,货车距出发地的距离y(单位:km)与行驶时间x(单位:h)之间的函数表达式为y=-90x+240($\frac{4}{3}≤x≤\frac{8}{3}$).
(3)当$0≤x≤\frac{4}{3}$时,得(120+90)x+40=300,解得$x=\frac{26}{21}$;当$\frac{4}{3}＜x≤1.5$时,两车之间的距离一直在减小,且总是小于40 km;当1.5＜x≤2时,得90$(x-\frac{4}{3})$=40,解得$x=\frac{16}{9}$;当2＜x≤$\frac{8}{3}$时,得180+120(x-2)+40-90x+240=300,解得$x=\frac{8}{3}$.综上所述,轿车出发$\frac{26}{21}$h或$\frac{16}{9}$h或$\frac{8}{3}$h与货车相距40 km.
解析
【分析】
(1) 首先明确图像含义：纵轴表示两车距各自出发地的距离，横轴表示轿车行驶时间。A、B两地距离为180km，B、C两地距离为120km，A到C的总路程就是a的值，直接求和即可。求b时先计算轿车的行驶速度，再结合轿车总行驶时间、停留时长和总用时的关系推导即可。
(2) 求货车返回阶段的函数表达式，先根据“轿车比货车晚$\frac{1}{3}$h到达终点”求出货车往返总用时，得到货车到达B地、返回C地的两个点坐标，再用待定系数法求解一次函数解析式，同时标注自变量的取值范围。
(3) 两车相距40km需分行驶阶段讨论：①货车从C到B的相向行驶阶段；②轿车在B地停留、货车从B返回C的阶段；③轿车从B出发驶往C、货车仍在返回C的阶段，分别根据各阶段的路程关系列方程求解，排除不符合时间段的解即可。
【解析】
(1) 由图象可知，A、B两地相距180km，B、C两地相距120km，因此A、C两地总距离$a=180+120=300$。
轿车的行驶速度为$180÷1.5=120(\mathrm{km/h})$，轿车行驶全程的时间为$300÷120=2.5(\mathrm{h})$。由图象得轿车总用时3h到达C地，因此在B地的停留时间为$3-2.5=0.5(\mathrm{h})$，所以$b=1.5+0.5=2$。
(2) 已知轿车比货车晚$\frac{1}{3}\mathrm{h}$到达终点，轿车3h到达，因此货车返回C地的总用时为$3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}(\mathrm{h})$，即N点坐标为$(\frac{8}{3},0)$。
货车往返路程相同、速度不变，因此从C到B的单程时间为$\frac{8}{3}÷2=\frac{4}{3}(\mathrm{h})$，即货车到达B地的M点坐标为$(\frac{4}{3},120)$。
设货车返回时的函数表达式为$y=kx+m$，把$(\frac{4}{3},120)$和$(\frac{8}{3},0)$代入得：
$\begin{cases}\frac{4}{3}k+m=120\\\frac{8}{3}k+m=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-90\\m=240\end{cases}$
因此货车返回时的函数表达式为$y=-90x+240(\frac{4}{3}≤ x≤\frac{8}{3})$。
(3) 分情况讨论：
①当$0≤ x≤\frac{4}{3}$时，两车相向行驶，两车距离为总路程减去两车行驶路程和，列方程：
$300-(120x+90x)=40$，解得$x=\frac{26}{21}$，符合取值范围。
②当$\frac{4}{3}＜x≤1.5$时，货车开始返回，轿车仍在驶向B地，此时两车距离持续减小，经计算最小距离小于40km，无符合条件的解。
③当$1.5＜x≤2$时，轿车在B地停留，货车从B驶向C，两车距离为货车返回行驶的路程，列方程：
$90(x-\frac{4}{3})=40$，解得$x=\frac{16}{9}$，符合取值范围。
④当$2＜x≤\frac{8}{3}$时，轿车从B出发驶向C，货车仍在返回C，列方程：
$180+120(x-2)-(-90x+240)=40$，解得$x=\frac{8}{3}$，符合取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{300}$，$\boxed{2}$
(2) $\boxed{y=-90x+240(\dfrac{4}{3}≤ x≤\dfrac{8}{3})}$
(3) $\boxed{\dfrac{26}{21}\mathrm{h}}$或$\boxed{\dfrac{16}{9}\mathrm{h}}$或$\boxed{\dfrac{8}{3}\mathrm{h}}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，行程分类讨论
【点评】
本题结合函数图像考查行程类实际问题，需要准确理解图像中各特殊点的实际含义，理清两车在不同时间段的行驶状态，根据路程关系建立方程求解，解题时要注意分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确图像含义：纵轴表示两车距各自出发地的距离，横轴表示轿车行驶时间。A、B两地距离为180km，B、C两地距离为120km，A到C的总路程就是a的值，直接求和即可。求b时先计算轿车的行驶速度，再结合轿车总行驶时间、停留时长和总用时的关系推导即可。
(2) 求货车返回阶段的函数表达式，先根据“轿车比货车晚$\frac{1}{3}$h到达终点”求出货车往返总用时，得到货车到达B地、返回C地的两个点坐标，再用待定系数法求解一次函数解析式，同时标注自变量的取值范围。
(3) 两车相距40km需分行驶阶段讨论：①货车从C到B的相向行驶阶段；②轿车在B地停留、货车从B返回C的阶段；③轿车从B出发驶往C、货车仍在返回C的阶段，分别根据各阶段的路程关系列方程求解，排除不符合时间段的解即可。
【解析】
(1) 由图象可知，A、B两地相距180km，B、C两地相距120km，因此A、C两地总距离$a=180+120=300$。
轿车的行驶速度为$180÷1.5=120(\mathrm{km/h})$，轿车行驶全程的时间为$300÷120=2.5(\mathrm{h})$。由图象得轿车总用时3h到达C地，因此在B地的停留时间为$3-2.5=0.5(\mathrm{h})$，所以$b=1.5+0.5=2$。
(2) 已知轿车比货车晚$\frac{1}{3}\mathrm{h}$到达终点，轿车3h到达，因此货车返回C地的总用时为$3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}(\mathrm{h})$，即N点坐标为$(\frac{8}{3},0)$。
货车往返路程相同、速度不变，因此从C到B的单程时间为$\frac{8}{3}÷2=\frac{4}{3}(\mathrm{h})$，即货车到达B地的M点坐标为$(\frac{4}{3},120)$。
设货车返回时的函数表达式为$y=kx+m$，把$(\frac{4}{3},120)$和$(\frac{8}{3},0)$代入得：
$\begin{cases}\frac{4}{3}k+m=120\\\frac{8}{3}k+m=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-90\\m=240\end{cases}$
因此货车返回时的函数表达式为$y=-90x+240(\frac{4}{3}≤ x≤\frac{8}{3})$。
(3) 分情况讨论：
①当$0≤ x≤\frac{4}{3}$时，两车相向行驶，两车距离为总路程减去两车行驶路程和，列方程：
$300-(120x+90x)=40$，解得$x=\frac{26}{21}$，符合取值范围。
②当$\frac{4}{3}＜x≤1.5$时，货车开始返回，轿车仍在驶向B地，此时两车距离持续减小，经计算最小距离小于40km，无符合条件的解。
③当$1.5＜x≤2$时，轿车在B地停留，货车从B驶向C，两车距离为货车返回行驶的路程，列方程：
$90(x-\frac{4}{3})=40$，解得$x=\frac{16}{9}$，符合取值范围。
④当$2＜x≤\frac{8}{3}$时，轿车从B出发驶向C，货车仍在返回C，列方程：
$180+120(x-2)-(-90x+240)=40$，解得$x=\frac{8}{3}$，符合取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{300}$，$\boxed{2}$
(2) $\boxed{y=-90x+240(\dfrac{4}{3}≤ x≤\dfrac{8}{3})}$
(3) $\boxed{\dfrac{26}{21}\mathrm{h}}$或$\boxed{\dfrac{16}{9}\mathrm{h}}$或$\boxed{\dfrac{8}{3}\mathrm{h}}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，行程分类讨论
【点评】
本题结合函数图像考查行程类实际问题，需要准确理解图像中各特殊点的实际含义，理清两车在不同时间段的行驶状态，根据路程关系建立方程求解，解题时要注意分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
