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一、选择题
1. 如图,已知$AB// DE,BF=CE$,添加下列条件不一定能判定$△ ABC≌△ DEF$的是 （
A.$AC=DF$
B.$AC// DF$
C.$∠ A=∠ D$
D.$AB=DE$
1. 如图,已知$AB// DE,BF=CE$,添加下列条件不一定能判定$△ ABC≌△ DEF$的是 （
A
）A.$AC=DF$
B.$AC// DF$
C.$∠ A=∠ D$
D.$AB=DE$
答案
1. A 解析:
∵AB//DE,
∴∠B=∠E,
∵BF=CE,
∴BF-CF=CE-CF,即BC=EF,
∴当添加AC=DF时,不能判定△ABC≌△DEF,故A选项符合题意;当添加AC//DF时,∠ACF=∠DFC,则∠ACB=∠DFE,△ABC≌△DEF(ASA),故B选项不符合题意;当添加∠A=∠D时,△ABC≌△DEF(AAS),故C选项不符合题意;当添加AB=DE时,△ABC≌△DEF(SAS),故D选项不符合题意.
∵AB//DE,
∴∠B=∠E,
∵BF=CE,
∴BF-CF=CE-CF,即BC=EF,
∴当添加AC=DF时,不能判定△ABC≌△DEF,故A选项符合题意;当添加AC//DF时,∠ACF=∠DFC,则∠ACB=∠DFE,△ABC≌△DEF(ASA),故B选项不符合题意;当添加∠A=∠D时,△ABC≌△DEF(AAS),故C选项不符合题意;当添加AB=DE时,△ABC≌△DEF(SAS),故D选项不符合题意.
解析
【分析】
首先从题目给出的已知条件入手推导可用结论：①由$AB// DE$，根据平行线的性质可得$∠ B=∠ E$；②由$BF=CE$，两边同时减去公共线段$CF$，可推出$BC=EF$。此时我们已经得到$△ ABC$和$△ DEF$有一组对应角相等、一组对应边相等，接下来结合全等三角形的判定定理（$SAS$、$ASA$、$AAS$、$SSS$），逐一分析每个选项添加的条件是否能满足判定要求即可，注意$SSA$不能作为一般三角形全等的判定依据。
【解析】
$\because AB// DE$，根据“两直线平行，内错角相等”，
$\therefore ∠ B=∠ E$，
$\because BF=CE$，等式两边同时减去公共线段$CF$，
$\therefore BF-CF=CE-CF$，即$BC=EF$。
对各选项逐一分析：
A. 添加$AC=DF$时，两个三角形满足$∠ B=∠ E$，$BC=EF$，$AC=DF$，属于“两边及其中一边的对角对应相等（$SSA$）”，不符合全等三角形判定定理，不能判定$△ ABC≌△ DEF$，符合题意；
B. 添加$AC// DF$时，根据“两直线平行，内错角相等”得$∠ ACF=∠ DFC$，因此$∠ ACB=∠ DFE$，结合$∠ B=∠ E$，$BC=EF$，可通过$ASA$判定$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意；
C. 添加$∠ A=∠ D$时，结合$∠ B=∠ E$，$BC=EF$，可通过$AAS$判定$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意；
D. 添加$AB=DE$时，结合$∠ B=∠ E$，$BC=EF$，可通过$SAS$判定$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 平行线的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的常规题型，解题关键是先结合已知条件推导出已有的相等对应边和对应角，再结合判定定理逐一验证添加的条件，要注意区分全等三角形的合法判定规则，切忌将$SSA$作为判定依据。
【难度系数】
0.7
首先从题目给出的已知条件入手推导可用结论：①由$AB// DE$，根据平行线的性质可得$∠ B=∠ E$；②由$BF=CE$，两边同时减去公共线段$CF$，可推出$BC=EF$。此时我们已经得到$△ ABC$和$△ DEF$有一组对应角相等、一组对应边相等，接下来结合全等三角形的判定定理（$SAS$、$ASA$、$AAS$、$SSS$），逐一分析每个选项添加的条件是否能满足判定要求即可，注意$SSA$不能作为一般三角形全等的判定依据。
【解析】
$\because AB// DE$，根据“两直线平行，内错角相等”，
$\therefore ∠ B=∠ E$，
$\because BF=CE$，等式两边同时减去公共线段$CF$，
$\therefore BF-CF=CE-CF$，即$BC=EF$。
对各选项逐一分析：
A. 添加$AC=DF$时，两个三角形满足$∠ B=∠ E$，$BC=EF$，$AC=DF$，属于“两边及其中一边的对角对应相等（$SSA$）”，不符合全等三角形判定定理，不能判定$△ ABC≌△ DEF$，符合题意；
B. 添加$AC// DF$时，根据“两直线平行，内错角相等”得$∠ ACF=∠ DFC$，因此$∠ ACB=∠ DFE$，结合$∠ B=∠ E$，$BC=EF$，可通过$ASA$判定$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意；
C. 添加$∠ A=∠ D$时，结合$∠ B=∠ E$，$BC=EF$，可通过$AAS$判定$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意；
D. 添加$AB=DE$时，结合$∠ B=∠ E$，$BC=EF$，可通过$SAS$判定$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 平行线的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的常规题型，解题关键是先结合已知条件推导出已有的相等对应边和对应角，再结合判定定理逐一验证添加的条件，要注意区分全等三角形的合法判定规则，切忌将$SSA$作为判定依据。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ ABC$中,D是边BC上一点,$AC=AD=DB$,$∠ BAC=102°$,则$∠ ADC$的度数为
(
A.$51°$
B.$78°$
C.$39°$
D.$52°$
(
D
)A.$51°$
B.$78°$
C.$39°$
D.$52°$
答案
2. D 解析:
∵AC=AD=DB,
∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠C.设∠ADC=α,则∠BAD=1/2 α.
∵∠BAC=102°,
∴∠DAC=102°-1/2 α.在△ADC中,∠ADC+∠C+∠DAC=180°,
∴2α+102°-1/2 α=180°,解得α=52°.
∵AC=AD=DB,
∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠C.设∠ADC=α,则∠BAD=1/2 α.
∵∠BAC=102°,
∴∠DAC=102°-1/2 α.在△ADC中,∠ADC+∠C+∠DAC=180°,
∴2α+102°-1/2 α=180°,解得α=52°.
解析
【分析】
遇到题干中给出多条边相等的条件时，首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到相等的角；再观察∠ADC是△ABD的外角，可得到∠ADC与∠B、∠BAD的数量关系；最后结合三角形内角和定理，设未知数建立方程求解即可。
【解析】
∵AC=AD=DB，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C（等腰三角形等边对等角）。
设∠ADC=α，则∠C=α，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又
∵∠B=∠BAD，
∴∠BAD=∠B=$\frac{1}{2}$α。
∵∠BAC=102°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD = 102° - $\frac{1}{2}$α。
在△ADC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠ADC + ∠C + ∠DAC = 180°，
代入得：α + α + 102° - $\frac{1}{2}$α = 180°，
合并同类项得：$\frac{3}{2}$α = 78°，
解得：α=52°，即∠ADC=52°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的常见题型，综合考查了等腰三角形性质、三角形内外角相关定理，采用设未知数列方程的方法可以更清晰地梳理角之间的数量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
遇到题干中给出多条边相等的条件时，首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到相等的角；再观察∠ADC是△ABD的外角，可得到∠ADC与∠B、∠BAD的数量关系；最后结合三角形内角和定理，设未知数建立方程求解即可。
【解析】
∵AC=AD=DB，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C（等腰三角形等边对等角）。
设∠ADC=α，则∠C=α，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
又
∵∠B=∠BAD，
∴∠BAD=∠B=$\frac{1}{2}$α。
∵∠BAC=102°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD = 102° - $\frac{1}{2}$α。
在△ADC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠ADC + ∠C + ∠DAC = 180°，
代入得：α + α + 102° - $\frac{1}{2}$α = 180°，
合并同类项得：$\frac{3}{2}$α = 78°，
解得：α=52°，即∠ADC=52°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的常见题型，综合考查了等腰三角形性质、三角形内外角相关定理，采用设未知数列方程的方法可以更清晰地梳理角之间的数量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
3. 如图，已知$∠ AOB=60°$，点$P$在边$OA$上，$OP=10$，点$M$、$N$在边$OB$上，$PM=PN$。若$MN=2$，则$OM$的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
3. B 解析:如图,过点P作PH⊥MN于点H.又
∵PM=PN,
∴MH=NH=1/2 MN=1/2 ×2=1.
∵∠AOB=60°,
∴∠OPH=30°,
∴OH=1/2 OP=1/2 ×10=5,
∴OM=OH-MH=5-1=4.
解析
【分析】
解题时先从已知条件PM=PN入手，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此优先考虑过点P作OB边的垂线，即可平分MN得到MH的长度。再结合∠AOB=60°的条件，在构造出的直角三角形中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出OH的长度，最后通过线段的差运算就能得到OM的长度。
【解析】
过点P作PH⊥OB于点H。
∵PM=PN，PH⊥MN，
∴由等腰三角形三线合一的性质，得$MH=NH=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×2=1$。
在Rt△OPH中，∠AOB=60°，
∴∠OPH=90°-60°=30°，
∴由直角三角形中30°角的性质，得$OH=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×10=5$，
∴$OM=OH-MH=5-1=4$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过作辅助线构造特殊三角形，将已知条件和待求线段建立关联，侧重考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件PM=PN入手，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此优先考虑过点P作OB边的垂线，即可平分MN得到MH的长度。再结合∠AOB=60°的条件，在构造出的直角三角形中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出OH的长度，最后通过线段的差运算就能得到OM的长度。
【解析】
过点P作PH⊥OB于点H。
∵PM=PN，PH⊥MN，
∴由等腰三角形三线合一的性质，得$MH=NH=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×2=1$。
在Rt△OPH中，∠AOB=60°，
∴∠OPH=90°-60°=30°，
∴由直角三角形中30°角的性质，得$OH=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×10=5$，
∴$OM=OH-MH=5-1=4$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过作辅助线构造特殊三角形，将已知条件和待求线段建立关联，侧重考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 已知一个三角形的两边长分别是2和6，若第三边的长为x(x是整数)，则x的最大值为
7
.答案
4. 7 解析:
∵三角形的两边长分别是2和6,第三边的长为x,
∴6-2＜x＜6+2,
∴4＜x＜8,
∵x是整数,
∴x的最大值为7.
∵三角形的两边长分别是2和6,第三边的长为x,
∴6-2＜x＜6+2,
∴4＜x＜8,
∵x是整数,
∴x的最大值为7.
解析
【分析】
本题可根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合x是整数的限制条件求解最大值。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，我们将已知的两边长代入该关系，就能得到x的取值区间，最后在区间内找最大的整数即可。
【解析】
解：已知三角形的两边长分别为2和6，第三边长为x，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即
6 - 2 ＜ x ＜ 6 + 2
化简得4 ＜ x ＜ 8
∵x是整数，
∴x的可能取值为5、6、7，其中最大值为7。
【答案】
7
【知识点】
三角形三边关系；不等式整数解
【点评】
本题是基础题，重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确列出第三边的取值范围，注意取值范围为开区间，若取到等于4或8时，三点共线无法构成三角形，再结合整数限制就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题可根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合x是整数的限制条件求解最大值。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，我们将已知的两边长代入该关系，就能得到x的取值区间，最后在区间内找最大的整数即可。
【解析】
解：已知三角形的两边长分别为2和6，第三边长为x，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即
6 - 2 ＜ x ＜ 6 + 2
化简得4 ＜ x ＜ 8
∵x是整数，
∴x的可能取值为5、6、7，其中最大值为7。
【答案】
7
【知识点】
三角形三边关系；不等式整数解
【点评】
本题是基础题，重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确列出第三边的取值范围，注意取值范围为开区间，若取到等于4或8时，三点共线无法构成三角形，再结合整数限制就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5. 若等腰三角形的一个内角为$50°$,则底角为
65°或50°
.答案
5. 65°或50° 解析:分两种情况:①当等腰三角形的顶角为50°时,它的底角=(180°-50°)/2=65°;②等腰三角形的底角为50°.综上所述,等腰三角形的底角为65°或50°.
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和为180°。题目仅给出一个内角为50°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分类讨论，分别计算底角的度数，最后验证两种情况是否都符合三角形内角的要求即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当50°的内角是等腰三角形的顶角时，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角为$\frac{180° - 50°}{2}=65°$；
② 当50°的内角是等腰三角形的底角时，此时底角就是50°，验证：另一个底角也为50°，顶角为$180° - 50° × 2=80°$，符合三角形内角要求。
综上，等腰三角形的底角为65°或50°。
【答案】
65°或50°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形的性质应用，解题的关键是明确未指明的内角需要分顶角、底角两种情况讨论，易错点是遗漏其中一种情况导致答案不全，求解后可通过三角形内角和验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等腰三角形的核心性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和为180°。题目仅给出一个内角为50°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分类讨论，分别计算底角的度数，最后验证两种情况是否都符合三角形内角的要求即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当50°的内角是等腰三角形的顶角时，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角为$\frac{180° - 50°}{2}=65°$；
② 当50°的内角是等腰三角形的底角时，此时底角就是50°，验证：另一个底角也为50°，顶角为$180° - 50° × 2=80°$，符合三角形内角要求。
综上，等腰三角形的底角为65°或50°。
【答案】
65°或50°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查等腰三角形的性质应用，解题的关键是明确未指明的内角需要分顶角、底角两种情况讨论，易错点是遗漏其中一种情况导致答案不全，求解后可通过三角形内角和验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线$BD$与边$BC$的垂直平分线$EF$相交于点$F$,连接$CF$.若$∠ A=70°,∠ ABD=25°$,则$∠ ACF$的度数是________.
答案
6. 35° 解析:由题意可知,∠FBC=∠ABD=25°,∠ABC=2∠ABD=50°,
∵EF是BC的垂直平分线,
∴CF=BF,
∴∠FCB=∠FBC=25°,
∵∠A=70°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-50°=60°,
∴∠ACF=60°-25°=35°.
∵EF是BC的垂直平分线,
∴CF=BF,
∴∠FCB=∠FBC=25°,
∵∠A=70°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-50°=60°,
∴∠ACF=60°-25°=35°.
解析
【分析】
解题时先结合已知的角平分线条件，利用角平分线的定义先求出∠ABC和∠FBC的度数，再根据三角形内角和定理算出∠ACB的度数；接着由EF是BC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到BF=CF，通过等边对等角得到∠FCB=∠FBC，最后用∠ACB减去∠FCB即可求出∠ACF的度数。
【解析】
∵BD是∠ABC的平分线，∠ABD=25°
∴∠FBC=∠ABD=25°，∠ABC=2∠ABD=50°
∵EF是BC的垂直平分线
∴CF=BF（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴∠FCB=∠FBC=25°（等边对等角）
在△ABC中，∠A=70°
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-50°=60°
∴∠ACF=∠ACB - ∠FCB=60°-25°=35°
【答案】
35°
【知识点】
角平分线的定义；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题的核心是灵活运用角平分线、线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理逐步推导角度关系，整体逻辑清晰，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知的角平分线条件，利用角平分线的定义先求出∠ABC和∠FBC的度数，再根据三角形内角和定理算出∠ACB的度数；接着由EF是BC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到BF=CF，通过等边对等角得到∠FCB=∠FBC，最后用∠ACB减去∠FCB即可求出∠ACF的度数。
【解析】
∵BD是∠ABC的平分线，∠ABD=25°
∴∠FBC=∠ABD=25°，∠ABC=2∠ABD=50°
∵EF是BC的垂直平分线
∴CF=BF（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴∠FCB=∠FBC=25°（等边对等角）
在△ABC中，∠A=70°
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-70°-50°=60°
∴∠ACF=∠ACB - ∠FCB=60°-25°=35°
【答案】
35°
【知识点】
角平分线的定义；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题的核心是灵活运用角平分线、线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理逐步推导角度关系，整体逻辑清晰，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$△ ABC$的面积是$36\ \mathrm{cm}^2$，$D$是$AB$的中点，$BC=3EC$，则$△ ADE$的面积是________.
答案
7. 12 cm² 解析:
∵S△ABC=36 cm²,且BC=3EC,
∴S△ABE=2/3 S△ABC=24 cm².又
∵D是AB的中点,
∴S△ADE=1/2 S△ABE=12 cm².
∵S△ABC=36 cm²,且BC=3EC,
∴S△ABE=2/3 S△ABC=24 cm².又
∵D是AB的中点,
∴S△ADE=1/2 S△ABE=12 cm².
解析
【分析】
拿到题目后，先梳理已知条件：△ABC面积为36cm²，D是AB中点，BC=3EC，要求△ADE的面积。由于无法直接求出△ADE的底和高，我们可以利用“等高的两个三角形面积比等于对应底的长度比”的性质分步推导：第一步先找与△ABC同高的△ABE，根据BC和EC的比例关系求出△ABE的面积；第二步再找与△ABE同高的△ADE，根据AB中点的性质求出△ADE的面积即可。
【解析】
∵△ABE和△ABC同高（高均为点A到直线BC的垂线段长度），且BC=3EC
∴BE = BC - EC = $\frac{2}{3}$BC
∴$S_{△ ABE} = \frac{2}{3}S_{△ ABC} = \frac{2}{3} × 36 = 24\ \mathrm{cm}^2$
又
∵△ADE和△ABE同高（高均为点E到直线AB的垂线段长度），D是AB的中点
∴AD = $\frac{1}{2}$AB
∴$S_{△ ADE} = \frac{1}{2}S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × 24 = 12\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
12 cm²
【知识点】
1. 等高三角形面积与底的正比关系
2. 线段中点的性质
【点评】
本题是三角形面积计算的常见基础题型，解题关键是准确找到共高的三角形对，将面积的比例关系转化为对应底的长度比例，逐步推导即可得到结果，能很好地考察学生对三角形面积和线段比例结合应用的能力。
【难度系数】
0.7
拿到题目后，先梳理已知条件：△ABC面积为36cm²，D是AB中点，BC=3EC，要求△ADE的面积。由于无法直接求出△ADE的底和高，我们可以利用“等高的两个三角形面积比等于对应底的长度比”的性质分步推导：第一步先找与△ABC同高的△ABE，根据BC和EC的比例关系求出△ABE的面积；第二步再找与△ABE同高的△ADE，根据AB中点的性质求出△ADE的面积即可。
【解析】
∵△ABE和△ABC同高（高均为点A到直线BC的垂线段长度），且BC=3EC
∴BE = BC - EC = $\frac{2}{3}$BC
∴$S_{△ ABE} = \frac{2}{3}S_{△ ABC} = \frac{2}{3} × 36 = 24\ \mathrm{cm}^2$
又
∵△ADE和△ABE同高（高均为点E到直线AB的垂线段长度），D是AB的中点
∴AD = $\frac{1}{2}$AB
∴$S_{△ ADE} = \frac{1}{2}S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × 24 = 12\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
12 cm²
【知识点】
1. 等高三角形面积与底的正比关系
2. 线段中点的性质
【点评】
本题是三角形面积计算的常见基础题型，解题关键是准确找到共高的三角形对，将面积的比例关系转化为对应底的长度比例，逐步推导即可得到结果，能很好地考察学生对三角形面积和线段比例结合应用的能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°,∠ B=30°,AC=3$. $D$ 为 $BC$ 上一动点,连接 $AD$,$AD$ 的垂直平分线分别交 $AC$、$AB$ 于点 $E$、$F$,则线段 $BF$ 长的最大值是________.
答案
8. 4 解析:如图,过点F作FH⊥BC于点H,连接DF,则AF=DF,
∵∠B=30°,AC=3,
∴AB=2AC=6,若要使BF最大,则AF需要最小,设AF=x,则BF=6-x,
∵∠B=30°,
∴FH=1/2 BF=3-1/2 x,
∵FD≥FH(垂线段最短),
∴x≥3-1/2 x,解得x≥2,
∴AF的最小值为2,则BF的最大值为6-2=4.
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步，根据AD的垂直平分线EF的性质，得AF=DF，将AF转化为DF便于最值分析；第二步，先利用含30°角的直角三角形性质求出AB总长，可知BF=AB-AF，因此要BF最大，需先求AF的最小值，也就是DF的最小值；第三步，点D在BC上，根据垂线段最短，点F到BC的最短距离为F到BC的垂线段长度，据此建立不等式即可求出AF的最小值，进而得到BF的最大值。
【解析】
过点F作FH⊥BC于点H，连接DF。
∵ EF是AD的垂直平分线，
∴ AF=DF。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=3，
∴ AB=2AC=6。
∵ BF=AB-AF，因此要使BF最大，需AF最小，即DF最小。
设AF=x，则DF=x，BF=6-x，
在Rt△FHB中，∠B=30°，
∴ FH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}(6-x)=3-\frac{1}{2}x$。
∵ D是BC上的动点，根据垂线段最短可知DF≥FH，
∴ $x ≥ 3-\frac{1}{2}x$，
解得$x≥2$，即AF的最小值为2，
∴ BF的最大值为$6-2=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形性质；垂线段最短
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，核心考查转化思想，将BF的最大值转化为AF的最小值，再结合垂线段最短的性质建立不等关系求解，需要熟练掌握相关几何性质，学会最值问题的转化思路。
【难度系数】
0.6
解题思路可分三步梳理：第一步，根据AD的垂直平分线EF的性质，得AF=DF，将AF转化为DF便于最值分析；第二步，先利用含30°角的直角三角形性质求出AB总长，可知BF=AB-AF，因此要BF最大，需先求AF的最小值，也就是DF的最小值；第三步，点D在BC上，根据垂线段最短，点F到BC的最短距离为F到BC的垂线段长度，据此建立不等式即可求出AF的最小值，进而得到BF的最大值。
【解析】
过点F作FH⊥BC于点H，连接DF。
∵ EF是AD的垂直平分线，
∴ AF=DF。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=3，
∴ AB=2AC=6。
∵ BF=AB-AF，因此要使BF最大，需AF最小，即DF最小。
设AF=x，则DF=x，BF=6-x，
在Rt△FHB中，∠B=30°，
∴ FH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}(6-x)=3-\frac{1}{2}x$。
∵ D是BC上的动点，根据垂线段最短可知DF≥FH，
∴ $x ≥ 3-\frac{1}{2}x$，
解得$x≥2$，即AF的最小值为2，
∴ BF的最大值为$6-2=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形性质；垂线段最短
【点评】
本题是几何最值类的典型题型，核心考查转化思想，将BF的最大值转化为AF的最小值，再结合垂线段最短的性质建立不等关系求解，需要熟练掌握相关几何性质，学会最值问题的转化思路。
【难度系数】
0.6
