1. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是
()

A.矩形
B.平行四边形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相垂直的四边形

1.C

【分析】
解题时首先回忆三角形中位线定理，明确任意四边形的中点四边形都是平行四边形，其边长分别等于原四边形两条对角线长度的一半。再结合菱形的判定条件：邻边相等的平行四边形是菱形，可推导出要让中点四边形为菱形，需要原四边形的两条对角线长度相等。最后逐一分析各选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形中位线定理可知：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形（中点四边形）一定是平行四边形，且该平行四边形的两组邻边长度分别等于原四边形两条对角线长度的一半。
若中点四边形是菱形，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，需要该平行四边形的邻边相等，即原四边形的两条对角线长度相等。
对各选项分析如下：
A. 矩形的对角线相等，其中点四边形是菱形，但中点四边形为菱形时原四边形不一定是矩形（如等腰梯形的中点四边形也为菱形），故A错误；
B. 平行四边形的对角线不一定相等，其中点四边形仅为平行四边形，不一定是菱形，故B错误；
C. 对角线相等的四边形，其中点四边形的邻边相等，符合菱形的判定条件，故C正确；
D. 对角线互相垂直的四边形，其中点四边形是矩形，不是菱形，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，菱形的判定，中点四边形性质
【点评】
本题考查中点四边形的形状与原四边形对角线特征的对应关系，解题核心是熟练运用三角形中位线定理和特殊四边形的判定定理，要注意区分中点四边形为菱形、矩形时分别对应的原四边形对角线特点，避免混淆概念错选A选项。
【难度系数】
0.7

2. 如图21-22,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,OH=4,若菱形ABCD的面积为$32\sqrt{3}$,则CD的长为 ()


A.4
B.$4\sqrt{3}$
C.8
D.$8\sqrt{3}$

2.C

【分析】
解题时首先回忆菱形的相关性质：菱形对角线互相垂直平分、四条边相等、面积等于对角线乘积的一半；再结合DH⊥AB得到直角三角形BHD，O是BD中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出BD的长度；接着代入菱形面积公式求出AC的长度；最后在直角三角形AOD中用勾股定理计算边长，即可得到CD的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，OB=OD，AB=BC=CD=AD，AC=2AO，BD=2OB
∵DH⊥AB
∴△BHD是直角三角形
又
∵O是BD的中点，OH是Rt△BHD斜边BD的中线
∴OH=$\frac{1}{2}$BD
已知OH=4，可得BD=2OH=8，
∴OB=OD=4
∵菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×AC×BD=$32\sqrt{3}$，代入BD=8
得：$\frac{1}{2}$×AC×8=$32\sqrt{3}$，解得AC=$8\sqrt{3}$
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$4\sqrt{3}$
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
AD=$\sqrt{AO^2+OD^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}$=$\sqrt{48+16}$=$\sqrt{64}$=8
∵CD=AD
∴CD=8
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理
【点评】
本题是四边形的综合基础题，将菱形性质、直角三角形性质和勾股定理结合考查，解题的突破口是利用直角三角形斜边中线的性质求出BD的长度，再逐步推导即可得到结果，掌握各类几何图形的基础性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7

3. 在平行四边形 $ABCD$ 中, 对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O$, 请添加一个条件, 使平行四边形 $ABCD$ 为菱形, 这个条件可以是________$. $

3. 答案不唯一，如$AC⊥BD$

【分析】
首先明确已知条件是四边形ABCD为平行四边形，要使其变为菱形，需结合平行四边形证菱形的判定定理思考：针对平行四边形的菱形判定有两类，一是一组邻边相等的平行四边形是菱形，二是对角线互相垂直的平行四边形是菱形，只需添加满足任意一类判定的合理条件即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定规则：
1. 若平行四边形的一组邻边相等，则为菱形，可添加$AB=BC$、$BC=CD$等邻边相等的条件；
2. 若平行四边形的对角线互相垂直，则为菱形，可添加$AC⊥BD$的条件。
上述条件任选其一即可，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AC⊥BD$
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于开放性基础题，考查特殊四边形的转化判定，只要熟练掌握平行四边形和菱形的相关判定定理，就能快速写出符合要求的条件，答案合理即可。
【难度系数】
0.9

4. 如图21-23,菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,M,N分别是BC,CD的中点,P是线段BD上的一个动点,则PM+PN的最小值是.

图21-23

4. 5

【分析】
这是典型的“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：①要找BD上的动点P使PM+PN最小，需利用轴对称将两条线段转化到同一直线上，根据“两点之间线段最短”求解；②菱形是轴对称图形，BD是它的一条对称轴，因此作BC中点M关于BD的对称点，根据菱形对称性，该对称点恰好是AB的中点M'；③此时PM=PM'，PM+PN=PM'+PN，最小值就是线段M'N的长度；④再结合菱形的性质和勾股定理计算M'N的长度即可。
【解析】
1. 作点M关于BD的对称点$M'$，连接$M'N$：
∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，即BD是菱形的对称轴，点M是BC的中点，
∴点M的对称点$M'$为AB的中点，且$PM=PM'$，
∴$PM+PN=PM'+PN$，当$M'$、P、N三点共线时，$PM'+PN$取得最小值，即为$M'N$的长度。
2. 计算菱形的边长：
菱形对角线互相垂直平分，已知$AC=6$，$BD=8$，
∴对角线的一半分别为$OA=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=4$，且$AC⊥BD$，
在$Rt△AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即菱形的边长为5。
3. 计算$M'N$的长度：
∵$M'$是AB中点，N是CD中点，且$AB// CD$，$AB=CD$，
∴$AM'=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=DN$，且$AM'// DN$，
∴四边形$AM'ND$是平行四边形，
∴$M'N=AD=5$，即$PM+PN$的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
菱形的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题是四边形与最短路径结合的典型题型，综合考查了轴对称的应用、菱形的性质与勾股定理，解题的核心是利用轴对称将同侧两条线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合图形性质计算即可。
【难度系数】
0.6

5. 如图21-24,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,连接DE,DF,∠ADF=∠CDE.求证:AE=CF.

图21-24

5.
∵ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $DA=DC$.
∴ $∠DAC=∠DCA$.
∵ $∠ADF=∠CDE$，
∴ $∠ADF-∠EDF=∠CDE-∠EDF$.
∴ $∠ADE=∠CDF$. 在$△DAE$和$△DCF$中，$\begin{cases}∠DAC=∠DCA,\\DA=DC,\\∠ADE=∠CDF,\end{cases}$
∴ $△DAE≌△DCF(ASA)$.
∴ $AE=CF$

【分析】
要证明AE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先观察图形，AE、CF分别在△DAE和△DCF中，我们先结合菱形的性质得到DA=DC，且∠DAC=∠DCA；再利用已知的∠ADF=∠CDE，两个角同时减去公共角∠EDF，可得到∠ADE=∠CDF，此时满足ASA的全等判定条件，证明△DAE和△DCF全等后，即可得到对应边AE=CF。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $DA=DC$，
∴ $∠DAC=∠DCA$。
∵ $∠ADF=∠CDE$，
∴ $∠ADF-∠EDF=∠CDE-∠EDF$，即$∠ADE=∠CDF$。
在$△DAE$和$△DCF$中，
$\begin{cases}∠DAC=∠DCA,\\DA=DC,\\∠ADE=∠CDF,\end{cases}$
∴ $△DAE≌△DCF(ASA)$，
∴ $AE=CF$。
【答案】
$AE=CF$
【知识点】
1.菱形的性质
2.全等三角形的判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，主要考查菱形性质与全等三角形判定、性质的综合应用，解题的关键是通过角的和差关系得到全等所需的等角条件，掌握相关基础知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.8