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6. 如图21-25,在$□ ABCD$中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,$AE=CF$.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)若$∠ BAC=∠ DAC$,求证:四边形EBFD是菱形.
图21-25
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)若$∠ BAC=∠ DAC$,求证:四边形EBFD是菱形.
图21-25
答案
6. (1)
∵ 在$□ABCD$中，AC,BD交于点O，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$.
∵ $AE=CF$，
∴ $OE=OF$.
∴ 四边形$EBFD$是平行四边形.
(2)
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// DC$.
∴ $∠BAC=∠DCA$.
∵ $∠BAC=∠DAC$，
∴ $∠DCA=∠DAC$.
∴ $DA=DC$.
∴ 平行四边形$ABCD$为菱形.
∴ $DB⊥EF$.
∴ 平行四边形$EBFD$是菱形.
∴ 四边形$EBFD$是菱形
∵ 在$□ABCD$中，AC,BD交于点O，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$.
∵ $AE=CF$，
∴ $OE=OF$.
∴ 四边形$EBFD$是平行四边形.
(2)
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// DC$.
∴ $∠BAC=∠DCA$.
∵ $∠BAC=∠DAC$，
∴ $∠DCA=∠DAC$.
∴ $DA=DC$.
∴ 平行四边形$ABCD$为菱形.
∴ $DB⊥EF$.
∴ 平行四边形$EBFD$是菱形.
∴ 四边形$EBFD$是菱形
解析
【分析】
(1) 要证四边形EBFD是平行四边形，优先考虑利用对角线判定：平行四边形的对角线互相平分，已知平行四边形ABCD可得OB=OD、OA=OC，结合AE=CF可推出OE=OF，即可得到四边形EBFD的对角线互相平分，满足平行四边形的判定条件。
(2) 要证平行四边形EBFD是菱形，可证明其对角线互相垂直：先由角的等量关系推出△ADC是等腰三角形，得到AD=DC，从而判定平行四边形ABCD是菱形，利用菱形对角线互相垂直的性质得到BD⊥AC，即可推出平行四边形EBFD的对角线互相垂直，满足菱形的判定条件。
【解析】
(1) 证明：
∵ 在$□ABCD$中，AC、BD交于点O，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$。
∵ $AE=CF$，
∴ $OA-AE=OC-CF$，即$OE=OF$。
∵ 四边形EBFD的对角线BD、EF互相平分，
∴ 四边形$EBFD$是平行四边形。
(2) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// DC$，
∴ $∠BAC=∠DCA$。
∵ $∠BAC=∠DAC$，
∴ $∠DCA=∠DAC$，
∴ $DA=DC$，
∴ 平行四边形$ABCD$为菱形，
∴ $DB⊥AC$，即$DB⊥EF$。
∵ 平行四边形EBFD的对角线互相垂直，
∴ 平行四边形$EBFD$是菱形。
【答案】
(1) 证明：
∵ 在$□ABCD$中，AC,BD交于点O，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$.
∵ $AE=CF$，
∴ $OE=OF$.
∴ 四边形$EBFD$是平行四边形.
(2) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// DC$.
∴ $∠BAC=∠DCA$.
∵ $∠BAC=∠DAC$，
∴ $∠DCA=∠DAC$.
∴ $DA=DC$.
∴ 平行四边形$ABCD$为菱形.
∴ $DB⊥EF$.
∴ 平行四边形$EBFD$是菱形.
【知识点】
平行四边形性质与判定；菱形判定；等腰三角形判定
【点评】
本题是四边形的常规证明题，重点考查平行四边形和菱形的相关定理应用，解题的关键是结合已知条件选择合适的判定方法，理清边、角、对角线之间的逻辑关系，做到每一步推导都有依据。
【难度系数】
0.7
(1) 要证四边形EBFD是平行四边形，优先考虑利用对角线判定：平行四边形的对角线互相平分，已知平行四边形ABCD可得OB=OD、OA=OC，结合AE=CF可推出OE=OF，即可得到四边形EBFD的对角线互相平分，满足平行四边形的判定条件。
(2) 要证平行四边形EBFD是菱形，可证明其对角线互相垂直：先由角的等量关系推出△ADC是等腰三角形，得到AD=DC，从而判定平行四边形ABCD是菱形，利用菱形对角线互相垂直的性质得到BD⊥AC，即可推出平行四边形EBFD的对角线互相垂直，满足菱形的判定条件。
【解析】
(1) 证明：
∵ 在$□ABCD$中，AC、BD交于点O，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$。
∵ $AE=CF$，
∴ $OA-AE=OC-CF$，即$OE=OF$。
∵ 四边形EBFD的对角线BD、EF互相平分，
∴ 四边形$EBFD$是平行四边形。
(2) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// DC$，
∴ $∠BAC=∠DCA$。
∵ $∠BAC=∠DAC$，
∴ $∠DCA=∠DAC$，
∴ $DA=DC$，
∴ 平行四边形$ABCD$为菱形，
∴ $DB⊥AC$，即$DB⊥EF$。
∵ 平行四边形EBFD的对角线互相垂直，
∴ 平行四边形$EBFD$是菱形。
【答案】
(1) 证明：
∵ 在$□ABCD$中，AC,BD交于点O，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$.
∵ $AE=CF$，
∴ $OE=OF$.
∴ 四边形$EBFD$是平行四边形.
(2) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// DC$.
∴ $∠BAC=∠DCA$.
∵ $∠BAC=∠DAC$，
∴ $∠DCA=∠DAC$.
∴ $DA=DC$.
∴ 平行四边形$ABCD$为菱形.
∴ $DB⊥EF$.
∴ 平行四边形$EBFD$是菱形.
【知识点】
平行四边形性质与判定；菱形判定；等腰三角形判定
【点评】
本题是四边形的常规证明题，重点考查平行四边形和菱形的相关定理应用，解题的关键是结合已知条件选择合适的判定方法，理清边、角、对角线之间的逻辑关系，做到每一步推导都有依据。
【难度系数】
0.7
五、正方形
1. 如图 21-26, O 为正方形 ABCD 对角线 AC 的中点, $△ ACE$ 为等边三角形. 若 $AB=2$, 则 OE 的长度为
(
A.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
1. 如图 21-26, O 为正方形 ABCD 对角线 AC 的中点, $△ ACE$ 为等边三角形. 若 $AB=2$, 则 OE 的长度为
(
B
)A.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
1.B
解析
【分析】
解题思路可分三步推导：①先利用正方形边长求出对角线AC的长度；②结合O是AC中点、△ACE是等边三角形的条件，根据等边三角形三线合一的性质，可得EO垂直AC，且AE=AC；③在直角三角形AOE中用勾股定理计算OE的长度即可。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴BC=AB=2，∠ABC=90°，
由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵O为AC中点，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
∵△ACE是等边三角形，
∴$AE=AC=2\sqrt{2}$，且根据等边三角形三线合一的性质，$EO⊥ AC$，即$∠ AOE=90°$。
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{AE^2-AO^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是四边形的常规综合题，解题关键是利用等边三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合特殊几何图形的性质和勾股定理计算线段长度，解题时需牢记特殊图形的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步推导：①先利用正方形边长求出对角线AC的长度；②结合O是AC中点、△ACE是等边三角形的条件，根据等边三角形三线合一的性质，可得EO垂直AC，且AE=AC；③在直角三角形AOE中用勾股定理计算OE的长度即可。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴BC=AB=2，∠ABC=90°，
由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵O为AC中点，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
∵△ACE是等边三角形，
∴$AE=AC=2\sqrt{2}$，且根据等边三角形三线合一的性质，$EO⊥ AC$，即$∠ AOE=90°$。
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{AE^2-AO^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是四边形的常规综合题，解题关键是利用等边三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合特殊几何图形的性质和勾股定理计算线段长度，解题时需牢记特殊图形的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
2. 四边形ABCD是菱形，添加一个条件：______，可使它成为正方形。
答案
2. 答案不唯一，如：$∠BAD=90°$
解析
【分析】
解题时先梳理菱形和正方形的性质、判定关联：菱形已经具备四边相等、对角线互相垂直平分的特征，正方形是特殊的菱形，相比普通菱形仅多了“有一个内角为直角”或“对角线相等”的要求，因此只需添加这两类中任意一个符合要求的条件即可。
【解析】
根据正方形的判定规则：有一个内角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，可添加的条件不唯一。例如添加$∠BAD=90°$时，菱形ABCD满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定条件，即可成为正方形。
【答案】
答案不唯一，如：$∠BAD=90°$
【知识点】
菱形的性质；正方形的判定；特殊平行四边形的转化
【点评】
本题属于基础题，主要考查特殊平行四边形之间的联系和判定规则，熟练掌握各类特殊四边形的性质、判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理菱形和正方形的性质、判定关联：菱形已经具备四边相等、对角线互相垂直平分的特征，正方形是特殊的菱形，相比普通菱形仅多了“有一个内角为直角”或“对角线相等”的要求，因此只需添加这两类中任意一个符合要求的条件即可。
【解析】
根据正方形的判定规则：有一个内角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，可添加的条件不唯一。例如添加$∠BAD=90°$时，菱形ABCD满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定条件，即可成为正方形。
【答案】
答案不唯一，如：$∠BAD=90°$
【知识点】
菱形的性质；正方形的判定；特殊平行四边形的转化
【点评】
本题属于基础题，主要考查特殊平行四边形之间的联系和判定规则，熟练掌握各类特殊四边形的性质、判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 如果一个四边形既是菱形又是矩形,那么它一定是
正方形
.答案
3. 正方形
解析
【分析】
解题时先回忆菱形、矩形、正方形的定义和性质：首先菱形和矩形都属于特殊的平行四边形，菱形的核心特征是四条边相等、邻边相等，矩形的核心特征是四个角都是直角、有一个内角是直角。要判断同时满足菱形和矩形特征的四边形，只需要结合三类图形的特征对应即可。
【解析】
已知菱形是有一组邻边相等的平行四边形，性质为四条边都相等；矩形是有一个角为直角的平行四边形，性质为四个角都是直角。
若一个四边形既是菱形又是矩形，则该四边形同时具备：①是平行四边形，②有一组邻边相等，③有一个角是直角。
根据正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可知该四边形一定是正方形。
【答案】
正方形
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质、正方形的定义
【点评】
本题考查特殊平行四边形的概念与联系，牢记各类特殊四边形的核心特征即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆菱形、矩形、正方形的定义和性质：首先菱形和矩形都属于特殊的平行四边形，菱形的核心特征是四条边相等、邻边相等，矩形的核心特征是四个角都是直角、有一个内角是直角。要判断同时满足菱形和矩形特征的四边形，只需要结合三类图形的特征对应即可。
【解析】
已知菱形是有一组邻边相等的平行四边形，性质为四条边都相等；矩形是有一个角为直角的平行四边形，性质为四个角都是直角。
若一个四边形既是菱形又是矩形，则该四边形同时具备：①是平行四边形，②有一组邻边相等，③有一个角是直角。
根据正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可知该四边形一定是正方形。
【答案】
正方形
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质、正方形的定义
【点评】
本题考查特殊平行四边形的概念与联系，牢记各类特殊四边形的核心特征即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 如图21-27,菱形ABCD的面积为120 $\mathrm{cm}^2$,正方形AECF的面积为72 $\mathrm{cm}^2$,则菱形的边长为$\underline{\hspace{5em}}$(结果中如有根号,请保留根号).
图21-27
图21-27
答案
4. $2\sqrt{34}$
解析
【分析】
解题时先连接菱形的对角线AC、BD交于点O，利用特殊四边形的轴对称性可知AC是正方形和菱形共有的对角线。第一步根据正方形的面积公式（对角线乘积的一半）求出AC的长度；第二步代入菱形的面积公式求出另一条对角线BD的长度；最后利用菱形对角线互相垂直平分的性质，在直角三角形中用勾股定理计算菱形的边长。
【解析】
解：连接AC、BD，交于点O。
∵四边形AECF是正方形，面积为72$\mathrm{cm}^2$，正方形面积可表示为对角线乘积的一半，且正方形两条对角线长度相等，
∴$S_{\mathrm{正方形}AECF}=\frac{1}{2}· AC^2=72$，
解得$AC^2=144$，即$AC=12\mathrm{cm}$（长度为正，舍去负值）。
∵四边形ABCD是菱形，面积为120$\mathrm{cm}^2$，菱形面积等于对角线乘积的一半，
∴$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}· AC· BD=120$，
将$AC=12$代入得：$\frac{1}{2}×12× BD=120$，解得$BD=20\mathrm{cm}$。
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=6\mathrm{cm}$，$BO=\frac{1}{2}BD=10\mathrm{cm}$，且$AC⊥ BD$，$△ AOB$为直角三角形。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{6^2+10^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{34}$
【知识点】
菱形的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于特殊四边形的综合计算题，核心是灵活运用菱形和正方形的对角线性质、面积公式，结合勾股定理求解边长，是四边形章节的典型考法，需要熟练掌握特殊四边形的共性和特性。
【难度系数】
0.65
解题时先连接菱形的对角线AC、BD交于点O，利用特殊四边形的轴对称性可知AC是正方形和菱形共有的对角线。第一步根据正方形的面积公式（对角线乘积的一半）求出AC的长度；第二步代入菱形的面积公式求出另一条对角线BD的长度；最后利用菱形对角线互相垂直平分的性质，在直角三角形中用勾股定理计算菱形的边长。
【解析】
解：连接AC、BD，交于点O。
∵四边形AECF是正方形，面积为72$\mathrm{cm}^2$，正方形面积可表示为对角线乘积的一半，且正方形两条对角线长度相等，
∴$S_{\mathrm{正方形}AECF}=\frac{1}{2}· AC^2=72$，
解得$AC^2=144$，即$AC=12\mathrm{cm}$（长度为正，舍去负值）。
∵四边形ABCD是菱形，面积为120$\mathrm{cm}^2$，菱形面积等于对角线乘积的一半，
∴$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}· AC· BD=120$，
将$AC=12$代入得：$\frac{1}{2}×12× BD=120$，解得$BD=20\mathrm{cm}$。
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=6\mathrm{cm}$，$BO=\frac{1}{2}BD=10\mathrm{cm}$，且$AC⊥ BD$，$△ AOB$为直角三角形。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{6^2+10^2}=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{34}$
【知识点】
菱形的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于特殊四边形的综合计算题，核心是灵活运用菱形和正方形的对角线性质、面积公式，结合勾股定理求解边长，是四边形章节的典型考法，需要熟练掌握特殊四边形的共性和特性。
【难度系数】
0.65
5. 如图21-28,正方形ABCD的边长为8,E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE,BC于点H,G,则BG的长为
1
.答案
5. 1 提示：如图，连接$AG,EG$.
∵ E是CD的中点，
∴ $DE=CE=4$. 设$CG=x$，则$BG=8-x$. 在$Rt△ABG$和$Rt△GCE$中，根据勾股定理，得$AB^2+BG^2=AG^2=EG^2=CE^2+CG^2$.
∴ $8^2+(8-x)^2=4^2+x^2$. 解得$x=7$.
∴ $BG=BC-CG=8-7=1$.
解析
【分析】
看到垂直平分线首先回忆其性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此我们可以连接AG、EG，得到AG=EG的等量关系。再结合正方形四个角都是直角的性质，可在Rt△ABG和Rt△GCE中分别用勾股定理表示AG²和EG²，利用二者相等列方程求出CG的长度，最后用BC的长度减去CG即可得到BG的长。
【解析】
解：如图，连接$AG,EG$。
∵ HG垂直平分AE，
∴ $AG=EG$（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ 四边形ABCD是边长为8的正方形，
∴ $AB=BC=CD=8$，$∠ B=∠ C=90°$。
∵ E是CD的中点，
∴ $CE=\frac{1}{2}CD=4$。
设$CG=x$，则$BG=8-x$。
在$Rt△ ABG$中，由勾股定理得：$AG^2=AB^2+BG^2=8^2+(8-x)^2$；
在$Rt△ GCE$中，由勾股定理得：$EG^2=CE^2+CG^2=4^2+x^2$。
∵ $AG=EG$，
∴ $AG^2=EG^2$，即：
$8^2+(8-x)^2=4^2+x^2$
展开化简得：$64+64-16x+x^2=16+x^2$
解得$x=7$，
∴ $BG=8-7=1$。
【答案】
1
【知识点】
垂直平分线的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题是四边形常见的计算题型，解题核心是借助垂直平分线的性质构造相等线段，结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
看到垂直平分线首先回忆其性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此我们可以连接AG、EG，得到AG=EG的等量关系。再结合正方形四个角都是直角的性质，可在Rt△ABG和Rt△GCE中分别用勾股定理表示AG²和EG²，利用二者相等列方程求出CG的长度，最后用BC的长度减去CG即可得到BG的长。
【解析】
解：如图，连接$AG,EG$。
∵ HG垂直平分AE，
∴ $AG=EG$（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ 四边形ABCD是边长为8的正方形，
∴ $AB=BC=CD=8$，$∠ B=∠ C=90°$。
∵ E是CD的中点，
∴ $CE=\frac{1}{2}CD=4$。
设$CG=x$，则$BG=8-x$。
在$Rt△ ABG$中，由勾股定理得：$AG^2=AB^2+BG^2=8^2+(8-x)^2$；
在$Rt△ GCE$中，由勾股定理得：$EG^2=CE^2+CG^2=4^2+x^2$。
∵ $AG=EG$，
∴ $AG^2=EG^2$，即：
$8^2+(8-x)^2=4^2+x^2$
展开化简得：$64+64-16x+x^2=16+x^2$
解得$x=7$，
∴ $BG=8-7=1$。
【答案】
1
【知识点】
垂直平分线的性质、正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题是四边形常见的计算题型，解题核心是借助垂直平分线的性质构造相等线段，结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
