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6. 如图21-29，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF。
(1) 求证：$△ ABE ≌ △ CDF$；
(2) 若$AB = 3\sqrt{2}$，$BE = 2$，求四边形AECF的面积。
图21-29
(1) 求证：$△ ABE ≌ △ CDF$；
(2) 若$AB = 3\sqrt{2}$，$BE = 2$，求四边形AECF的面积。
图21-29
答案
6. (1)
∵ 四边形$ABCD$为正方形，
∴ $CD=AB$，$∠ABE=∠CDF=45°$. 又
∵ $BE=DF$，
∴ $△ABE≌△CDF(SAS)$.
(2)如图，连接AC，交BD于点O.
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AC⊥BD$，$AO=CO$，$DO=BO$. 又
∵ $DF=BE$，
∴ $OE=OF$.
∴ 四边形$AECF$是平行四边形.
∵ $AC⊥EF$，
∴ 四边形$AECF$是菱形.
∵ 在正方形$ABCD$中，$AB=3\sqrt{2}$，
∴ $AC=BD=6$.
∵ $BE=DF=2$，
∴ $EF=2$.
∴ 四边形$AECF$的面积为$\frac{1}{2} AC·EF = \frac{1}{2} ×6×2=6$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CDF，首先从正方形的性质入手，可得到AB=CD，正方形对角线BD平分内角，因此∠ABE=∠CDF=45°，再结合题干给出的BE=DF，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 求四边形AECF的面积，先连接AC交BD于点O，利用正方形对角线互相垂直平分的性质，结合BE=DF可推出OE=OF，先判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF判定其为菱形，菱形面积等于对角线乘积的一半，先求出正方形对角线AC的长度，再求出EF的长度，代入公式即可得到面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ CD=AB，∠ABE=∠CDF=45°，
又
∵ BE=DF，
∴ △ABE≌△CDF（SAS）。
(2) 解：
如图，连接AC，交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，AO=CO，DO=BO，
又
∵ DF=BE，
∴ DO-DF=BO-BE，即OE=OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵ AC⊥EF，
∴ 平行四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
∵ 在正方形ABCD中，AB=3√2，
由勾股定理得AC=BD=√(AB²+BC²)=√((3√2)²+(3√2)²)=6，
∵ BE=DF=2，
∴ EF=BD-BE-DF=6-2-2=2，
∴ 四边形AECF的面积为$\frac{1}{2}·AC·EF=\frac{1}{2}×6×2=6$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 四边形AECF的面积为6。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、菱形面积计算
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质、判定以及全等三角形的证明，解题的关键是熟练掌握相关定理，第二问中连接正方形对角线的辅助线是这类题型的常用技巧，掌握菱形面积的计算方法可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABE≌△CDF，首先从正方形的性质入手，可得到AB=CD，正方形对角线BD平分内角，因此∠ABE=∠CDF=45°，再结合题干给出的BE=DF，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 求四边形AECF的面积，先连接AC交BD于点O，利用正方形对角线互相垂直平分的性质，结合BE=DF可推出OE=OF，先判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF判定其为菱形，菱形面积等于对角线乘积的一半，先求出正方形对角线AC的长度，再求出EF的长度，代入公式即可得到面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ CD=AB，∠ABE=∠CDF=45°，
又
∵ BE=DF，
∴ △ABE≌△CDF（SAS）。
(2) 解：
如图，连接AC，交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，AO=CO，DO=BO，
又
∵ DF=BE，
∴ DO-DF=BO-BE，即OE=OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵ AC⊥EF，
∴ 平行四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
∵ 在正方形ABCD中，AB=3√2，
由勾股定理得AC=BD=√(AB²+BC²)=√((3√2)²+(3√2)²)=6，
∵ BE=DF=2，
∴ EF=BD-BE-DF=6-2-2=2，
∴ 四边形AECF的面积为$\frac{1}{2}·AC·EF=\frac{1}{2}×6×2=6$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 四边形AECF的面积为6。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、菱形面积计算
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质、判定以及全等三角形的证明，解题的关键是熟练掌握相关定理，第二问中连接正方形对角线的辅助线是这类题型的常用技巧，掌握菱形面积的计算方法可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
7. 如图21-30,在$□ ABCD$中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.
图21-30
(1)求证:$△ AOD≌ △ EOC$.
(2)连接AC,DE,当$∠B=∠AEB=$
图21-30
(1)求证:$△ AOD≌ △ EOC$.
(2)连接AC,DE,当$∠B=∠AEB=$
$45°$
时,四边形ACED是正方形.请说明理由.答案
7. (1)
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$.
∴ $∠ADC=∠OCE$，$∠DAO=∠OEC$. 又
∵ $OC=OD$，
∴ $△AOD≌△EOC$.
(2)$45°$ 理由如下：
∵ $△AOD≌△EOC$，
∴ $OA=OE$. 又
∵ $OC=OD$，
∴ 四边形$ACED$是平行四边形.
∵ $∠B=∠AEB=45°$，
∴ $AB=AE$，$∠BAE=90°$.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$.
∴ $∠COE=∠BAE=90°$.
∴ $□ACED$是菱形.
∵ $AB=AE$，$AB=CD$，
∴ $AE=CD$.
∴ 菱形$ACED$是正方形.
∴ 四边形$ACED$是正方形
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$.
∴ $∠ADC=∠OCE$，$∠DAO=∠OEC$. 又
∵ $OC=OD$，
∴ $△AOD≌△EOC$.
(2)$45°$ 理由如下：
∵ $△AOD≌△EOC$，
∴ $OA=OE$. 又
∵ $OC=OD$，
∴ 四边形$ACED$是平行四边形.
∵ $∠B=∠AEB=45°$，
∴ $AB=AE$，$∠BAE=90°$.
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB=CD$.
∴ $∠COE=∠BAE=90°$.
∴ $□ACED$是菱形.
∵ $AB=AE$，$AB=CD$，
∴ $AE=CD$.
∴ 菱形$ACED$是正方形.
∴ 四边形$ACED$是正方形
解析
【分析】
（1）要证明△AOD≌△EOC，先结合平行四边形的性质得到AD//BC，进而得到两组内错角相等，再结合O是CD中点得到的OD=OC，用AAS判定定理即可证明全等。
（2）要使四边形ACED是正方形，首先由（1）的全等可得OA=OE，结合OC=OD可先推出四边形ACED是平行四边形，接下来需要满足平行四边形既是菱形又是矩形。已知∠B=∠AEB，可得△ABE为等腰三角形，若要得到直角和边相等的条件，可推出∠B=∠AEB=45°时，∠BAE=90°，结合平行四边形对边平行且相等的性质，可推得平行四边形ACED的对角线垂直且相等，即可判定为正方形。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠ADC=∠OCE，∠DAO=∠OEC，
又
∵ O是CD的中点，
∴ OC=OD，
∴ △AOD≌△EOC（AAS）。
(2) 横线上填$\boldsymbol{45°}$，理由如下：
∵ △AOD≌△EOC，
∴ OA=OE，
又
∵ OC=OD，
∴ 四边形ACED是平行四边形。
∵ ∠B=∠AEB=45°，
∴ AB=AE，∠BAE=180°-45°-45°=90°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠COE=∠BAE=90°，
∴ ▱ACED是菱形。
∵ AB=AE，AB=CD，
∴ AE=CD，
∴ 菱形ACED是正方形，即四边形ACED是正方形。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{45°}$，理由见解析
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定，正方形的判定
【点评】
本题综合考查了全等三角形的证明、平行四边形的性质与判定、正方形的判定，解题的关键是熟练掌握各类几何图形的性质和判定定理，结合已知条件逐步推导边、角的关系即可求解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△AOD≌△EOC，先结合平行四边形的性质得到AD//BC，进而得到两组内错角相等，再结合O是CD中点得到的OD=OC，用AAS判定定理即可证明全等。
（2）要使四边形ACED是正方形，首先由（1）的全等可得OA=OE，结合OC=OD可先推出四边形ACED是平行四边形，接下来需要满足平行四边形既是菱形又是矩形。已知∠B=∠AEB，可得△ABE为等腰三角形，若要得到直角和边相等的条件，可推出∠B=∠AEB=45°时，∠BAE=90°，结合平行四边形对边平行且相等的性质，可推得平行四边形ACED的对角线垂直且相等，即可判定为正方形。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠ADC=∠OCE，∠DAO=∠OEC，
又
∵ O是CD的中点，
∴ OC=OD，
∴ △AOD≌△EOC（AAS）。
(2) 横线上填$\boldsymbol{45°}$，理由如下：
∵ △AOD≌△EOC，
∴ OA=OE，
又
∵ OC=OD，
∴ 四边形ACED是平行四边形。
∵ ∠B=∠AEB=45°，
∴ AB=AE，∠BAE=180°-45°-45°=90°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠COE=∠BAE=90°，
∴ ▱ACED是菱形。
∵ AB=AE，AB=CD，
∴ AE=CD，
∴ 菱形ACED是正方形，即四边形ACED是正方形。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{45°}$，理由见解析
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定，正方形的判定
【点评】
本题综合考查了全等三角形的证明、平行四边形的性质与判定、正方形的判定，解题的关键是熟练掌握各类几何图形的性质和判定定理，结合已知条件逐步推导边、角的关系即可求解。
【难度系数】
0.7
