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一、选择题
1. [2025·三门峡二模]在实数$-1,\sqrt{2},-\sqrt{3},0$这四个数中,其绝对值最小的是
（
A.$-1$
B.$\sqrt{2}$
C.$-\sqrt{3}$
D.$0$
1. [2025·三门峡二模]在实数$-1,\sqrt{2},-\sqrt{3},0$这四个数中,其绝对值最小的是
（
D
）A.$-1$
B.$\sqrt{2}$
C.$-\sqrt{3}$
D.$0$
答案
1. D
解析
【分析】
要找出四个数中绝对值最小的数，解题思路分为两步：第一步根据绝对值的性质，分别计算出四个数的绝对值；第二步将计算得到的绝对值进行大小比较，最小的绝对值对应的原数即为所求。
【解析】
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，分别计算四个数的绝对值：
$|-1|=1$，
$|\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，
$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$，
$|0|=0$。
比较大小可得：$0 ＜ 1 ＜ \sqrt{2} ＜ \sqrt{3}$，因此0的绝对值最小。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对绝对值性质的掌握程度，熟练掌握不同类型实数的绝对值计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要找出四个数中绝对值最小的数，解题思路分为两步：第一步根据绝对值的性质，分别计算出四个数的绝对值；第二步将计算得到的绝对值进行大小比较，最小的绝对值对应的原数即为所求。
【解析】
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，分别计算四个数的绝对值：
$|-1|=1$，
$|\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，
$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$，
$|0|=0$。
比较大小可得：$0 ＜ 1 ＜ \sqrt{2} ＜ \sqrt{3}$，因此0的绝对值最小。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对绝对值性质的掌握程度，熟练掌握不同类型实数的绝对值计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 通过计算,估计$\sqrt{76}$的大小应在 (
A.7和8之间
B.8.0和8.5之间
C.8.5和9.0之间
D.9和10之间
C
)A.7和8之间
B.8.0和8.5之间
C.8.5和9.0之间
D.9和10之间
答案
2. C
解析
【分析】
要估计$\sqrt{76}$的取值范围，我们可以用“平方法”：先找到和76相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{76}$在哪两个整数之间，再计算中间临界值的平方，进一步缩小范围，就能选出正确选项。
【解析】
第一步：先确定整数范围
计算得$8^2=64$，$9^2=81$，
根据算术平方根的性质，若$a＞b＞0$，则$\sqrt{a}＞\sqrt{b}＞0$，
因此$\sqrt{64}＜\sqrt{76}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{76}＜9$，可排除A、D选项。
第二步：进一步缩小范围
计算中间值$8.5$的平方：$8.5^2=72.25$，
因为$72.25＜76＜81$，所以$\sqrt{72.25}＜\sqrt{76}＜\sqrt{81}$，
即$8.5＜\sqrt{76}＜9.0$，因此$\sqrt{76}$在8.5和9.0之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 平方运算
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，核心方法是通过平方法将无理数的大小比较转化为有理数的平方大小比较，掌握该方法即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
要估计$\sqrt{76}$的取值范围，我们可以用“平方法”：先找到和76相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{76}$在哪两个整数之间，再计算中间临界值的平方，进一步缩小范围，就能选出正确选项。
【解析】
第一步：先确定整数范围
计算得$8^2=64$，$9^2=81$，
根据算术平方根的性质，若$a＞b＞0$，则$\sqrt{a}＞\sqrt{b}＞0$，
因此$\sqrt{64}＜\sqrt{76}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{76}＜9$，可排除A、D选项。
第二步：进一步缩小范围
计算中间值$8.5$的平方：$8.5^2=72.25$，
因为$72.25＜76＜81$，所以$\sqrt{72.25}＜\sqrt{76}＜\sqrt{81}$，
即$8.5＜\sqrt{76}＜9.0$，因此$\sqrt{76}$在8.5和9.0之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 平方运算
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，核心方法是通过平方法将无理数的大小比较转化为有理数的平方大小比较，掌握该方法即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
3. [2024·南充]我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房$ x $间，客人$ y $人，则可列方程组为 （
A.$\begin{cases} 7x - 7 = y, \\ 9(x + 1) = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 7x - 7 = y, \\ 9(x - 1) = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 7x + 7 = y, \\ 9(x + 1) = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 7x + 7 = y, \\ 9(x - 1) = y \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} 7x - 7 = y, \\ 9(x + 1) = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 7x - 7 = y, \\ 9(x - 1) = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 7x + 7 = y, \\ 9(x + 1) = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 7x + 7 = y, \\ 9(x - 1) = y \end{cases}$
答案
3. D
解析
【分析】
要列方程组需抓住题目中的不变量：客房总数量为x间，客人总数量为y人，分别根据两种住宿方案的描述找到总人数的等量关系即可。首先分析第一种住宿情况：每间住7人时，x间房可容纳7x人，还有7人无房住，说明总人数比7x多7；再分析第二种住宿情况：每间住9人时空出1间房，说明实际住人的房间数是(x-1)间，总人数等于9乘以实际住人的房间数，联立两个等量关系就能得到对应方程组。
【解析】
根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住”，可得总人数的等量关系：$7x + 7 = y$；
再根据“如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”，即实际入住的房间数为$(x-1)$间，可得总人数的等量关系：$9(x - 1) = y$；
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} 7x + 7 = y \\ 9(x - 1) = y \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列二元一次方程组；等量关系提取
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查方程思想的应用，解题的核心是准确理解题意，抓住总人数不变的特点找到两个等量关系，是方程应用类的基础题型。
【难度系数】
0.8
要列方程组需抓住题目中的不变量：客房总数量为x间，客人总数量为y人，分别根据两种住宿方案的描述找到总人数的等量关系即可。首先分析第一种住宿情况：每间住7人时，x间房可容纳7x人，还有7人无房住，说明总人数比7x多7；再分析第二种住宿情况：每间住9人时空出1间房，说明实际住人的房间数是(x-1)间，总人数等于9乘以实际住人的房间数，联立两个等量关系就能得到对应方程组。
【解析】
根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住”，可得总人数的等量关系：$7x + 7 = y$；
再根据“如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”，即实际入住的房间数为$(x-1)$间，可得总人数的等量关系：$9(x - 1) = y$；
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} 7x + 7 = y \\ 9(x - 1) = y \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
列二元一次方程组；等量关系提取
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查方程思想的应用，解题的核心是准确理解题意，抓住总人数不变的特点找到两个等量关系，是方程应用类的基础题型。
【难度系数】
0.8
4. [2025·南阳一模]实数 $ m $ 对应的点在数轴上的位置如图所示,则不等式组
$\begin{cases}x+2＞0, \\x-m≤ 0\end{cases}$
的解集为 $\quad (\quad)$
A.$ x＞-2 $
B.$ x≤ m $
C.$ -2＜x≤ m $
D.$ -2＜x＜m $
$\begin{cases}x+2＞0, \\x-m≤ 0\end{cases}$
的解集为 $\quad (\quad)$
A.$ x＞-2 $
B.$ x≤ m $
C.$ -2＜x≤ m $
D.$ -2＜x＜m $
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个独立的解集；再通过数轴判断m与-2的大小关系；最后根据一元一次不等式组解集的确定规则，找到两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集。
【解析】
1. 解第一个不等式$x+2＞0$：
移项可得$x ＞ -2$。
2. 解第二个不等式$x-m ≤ 0$：
移项可得$x ≤ m$。
3. 结合数轴判断m的范围：
观察数轴可知，m对应的点在-2和-1之间，因此$-2 ＜ m ＜ -1$，即$m ＞ -2$。
4. 确定不等式组的解集：
根据不等式组解集“大小小大中间找”的规律，两个解集的公共部分为$-2 ＜ x ≤ m$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
解一元一次不等式组、数轴的应用
【点评】
本题是不等式部分的基础常考题，将数轴和不等式组结合考查，解题核心是先求出每个不等式的解集，再结合数轴上m的位置判断两个解集的公共部分。
【难度系数】
0.8
解题时先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个独立的解集；再通过数轴判断m与-2的大小关系；最后根据一元一次不等式组解集的确定规则，找到两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集。
【解析】
1. 解第一个不等式$x+2＞0$：
移项可得$x ＞ -2$。
2. 解第二个不等式$x-m ≤ 0$：
移项可得$x ≤ m$。
3. 结合数轴判断m的范围：
观察数轴可知，m对应的点在-2和-1之间，因此$-2 ＜ m ＜ -1$，即$m ＞ -2$。
4. 确定不等式组的解集：
根据不等式组解集“大小小大中间找”的规律，两个解集的公共部分为$-2 ＜ x ≤ m$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
解一元一次不等式组、数轴的应用
【点评】
本题是不等式部分的基础常考题，将数轴和不等式组结合考查，解题核心是先求出每个不等式的解集，再结合数轴上m的位置判断两个解集的公共部分。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. [2023·漯河模拟]若不等式组$\begin{cases}2x+3＜1, \\ x＞\dfrac{1}{2}(x-3)\end{cases}$的整数解是关于$x$的方程$2x-4=ax$的根，则$a=$ ______ .
1. [2023·漯河模拟]若不等式组$\begin{cases}2x+3＜1, \\ x＞\dfrac{1}{2}(x-3)\end{cases}$的整数解是关于$x$的方程$2x-4=ax$的根，则$a=$ ______ .
答案
1. 4
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个不等式的解集；第二步找出两个解集的公共部分，得到不等式组的解集，进而确定其整数解；第三步将整数解代入关于x的方程，解一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
先解不等式组：
1. 解不等式$2x+3＜1$：
移项得$2x＜1-3$，
合并同类项得$2x＜-2$，
系数化为1得$x＜-1$。
2. 解不等式$x＞\dfrac{1}{2}(x-3)$：
两边同乘2得$2x＞x-3$，
移项得$2x-x＞-3$，
合并同类项得$x＞-3$。
因此不等式组的解集为$-3＜x＜-1$，其整数解为$x=-2$。
将$x=-2$代入方程$2x-4=ax$得：
$2×(-2)-4 = a×(-2)$，
计算左边得$-4-4=-8$，即$-2a=-8$，
系数化为1得$a=4$。
【答案】
4
【知识点】
一元一次不等式组的解法；一元一次方程的解法；不等式组的整数解
【点评】
本题是不等式组与方程的综合基础题，解题的核心是先准确求出不等式组的整数解，再利用方程根的定义代入求解，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个不等式的解集；第二步找出两个解集的公共部分，得到不等式组的解集，进而确定其整数解；第三步将整数解代入关于x的方程，解一元一次方程即可求出a的值。
【解析】
先解不等式组：
1. 解不等式$2x+3＜1$：
移项得$2x＜1-3$，
合并同类项得$2x＜-2$，
系数化为1得$x＜-1$。
2. 解不等式$x＞\dfrac{1}{2}(x-3)$：
两边同乘2得$2x＞x-3$，
移项得$2x-x＞-3$，
合并同类项得$x＞-3$。
因此不等式组的解集为$-3＜x＜-1$，其整数解为$x=-2$。
将$x=-2$代入方程$2x-4=ax$得：
$2×(-2)-4 = a×(-2)$，
计算左边得$-4-4=-8$，即$-2a=-8$，
系数化为1得$a=4$。
【答案】
4
【知识点】
一元一次不等式组的解法；一元一次方程的解法；不等式组的整数解
【点评】
本题是不等式组与方程的综合基础题，解题的核心是先准确求出不等式组的整数解，再利用方程根的定义代入求解，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 某校八(2)班同学在校门口拍一张合影,已知冲印一张底片需要3元,洗一张照片需要0.35元,每人都得到一张照片,每人平均分摊的钱不超过0.8元,那么参加合影的同学至少有
7
人.答案
2. 7
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式的实际应用题，解题思路如下：①先设参加合影的同学人数为x（x为正整数）；②理清总费用的构成：总费用=固定底片费+单张洗照片费用×人数，即总费用为(3+0.35x)元；③抓住核心不等关系：“每人平均分摊的钱不超过0.8元”，也就是总费用÷人数≤0.8，据此列不等式；④解不等式后，结合人数必须是正整数的实际要求，取满足条件的最小正整数即可。
【解析】
设参加合影的同学有$ x $人（$ x $为正整数）。
根据题意，总费用为$ 3 + 0.35x $元，平均每人分摊的费用不超过0.8元，可列不等式：
$\frac{3 + 0.35x}{x} ≤ 0.8$
因为$ x $是正整数，两边同乘$ x $不等号方向不变，得：
$3 + 0.35x ≤ 0.8x$
移项合并同类项：
$3 ≤ 0.8x - 0.35x$
$0.45x ≥ 3$
解得：
$x ≥ \frac{3}{0.45} = \frac{20}{3} \approx 6.67$
由于$ x $必须为正整数，因此满足条件的最小$ x $为7。
【答案】
7
【知识点】
一元一次不等式的应用；实际问题的整数解
【点评】
本题侧重考查不等式在实际生活中的应用，解题的核心是准确抓住“不超过”对应的不等关系，易错点是忽略人数为正整数的实际要求，直接取小数近似值导致错误，需要注意解完不等式后要结合实际场景对结果进行验证调整。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次不等式的实际应用题，解题思路如下：①先设参加合影的同学人数为x（x为正整数）；②理清总费用的构成：总费用=固定底片费+单张洗照片费用×人数，即总费用为(3+0.35x)元；③抓住核心不等关系：“每人平均分摊的钱不超过0.8元”，也就是总费用÷人数≤0.8，据此列不等式；④解不等式后，结合人数必须是正整数的实际要求，取满足条件的最小正整数即可。
【解析】
设参加合影的同学有$ x $人（$ x $为正整数）。
根据题意，总费用为$ 3 + 0.35x $元，平均每人分摊的费用不超过0.8元，可列不等式：
$\frac{3 + 0.35x}{x} ≤ 0.8$
因为$ x $是正整数，两边同乘$ x $不等号方向不变，得：
$3 + 0.35x ≤ 0.8x$
移项合并同类项：
$3 ≤ 0.8x - 0.35x$
$0.45x ≥ 3$
解得：
$x ≥ \frac{3}{0.45} = \frac{20}{3} \approx 6.67$
由于$ x $必须为正整数，因此满足条件的最小$ x $为7。
【答案】
7
【知识点】
一元一次不等式的应用；实际问题的整数解
【点评】
本题侧重考查不等式在实际生活中的应用，解题的核心是准确抓住“不超过”对应的不等关系，易错点是忽略人数为正整数的实际要求，直接取小数近似值导致错误，需要注意解完不等式后要结合实际场景对结果进行验证调整。
【难度系数】
0.7
