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三、计算题
1. 计算：$\left| -\dfrac{1}{2} \right| + \sqrt{9} - ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} )^2$.
2. 解方程组$\begin{cases} x+y=3, \quad \mathrm{①} \\ 3x-y=5. \quad \mathrm{②} \end{cases}$
1. 计算：$\left| -\dfrac{1}{2} \right| + \sqrt{9} - ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} )^2$.
2. 解方程组$\begin{cases} x+y=3, \quad \mathrm{①} \\ 3x-y=5. \quad \mathrm{②} \end{cases}$
答案
1. 解:原式=$\frac{1}{2}+3-\frac{1}{2}=3$.
2. 解:①+②,得4x=8.
解得 $x=2$.
把 $x=2$ 代入①,得 $2+y=3$.
解得 $y=1$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=1. \end{cases}$
2. 解:①+②,得4x=8.
解得 $x=2$.
把 $x=2$ 代入①,得 $2+y=3$.
解得 $y=1$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=1. \end{cases}$
解析
【分析】
第1题是实数混合运算题，解题时先拆分运算项：首先根据绝对值的性质计算绝对值项，负数的绝对值是它的相反数，可得$\left| -\dfrac{1}{2} \right|$的结果；再根据算术平方根的定义算出$\sqrt{9}$的值；接着根据乘方运算规则计算$(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2$，最后按照从左到右的顺序进行加减运算即可。第2题是二元一次方程组求解，观察两个方程中y的系数互为相反数，因此选择加减消元法，将两个方程相加消去y，先求出x的值，再将x的值代入其中一个方程求出y的值，即可得到方程组的解。
【解析】
1. 计算：
根据相关运算法则分别计算各项：
$\left| -\dfrac{1}{2} \right|=\dfrac{1}{2}$，$\sqrt{9}=3$，$(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\dfrac{(\sqrt{2})^2}{2^2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
代入原式得：
原式$=\dfrac{1}{2}+3-\dfrac{1}{2}=3$
2. 解方程组：
观察方程①和②，y的系数分别为1和-1，互为相反数，将两式相加消去y：
①+②，得：$x+y+3x-y=3+5$
合并同类项得：$4x=8$
解得：$x=2$
把$x=2$代入①，得：$2+y=3$
解得：$y=1$
【答案】
1. $\boxed{3}$
2. $\boxed{\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}}$
【知识点】
实数混合运算、加减消元法解二元一次方程组
【点评】
两道题均为基础运算类题型，第一题重点考查绝对值、算术平方根、乘方的基本运算规则，难度较低；第二题考查二元一次方程组的消元解法，合理观察系数特征选择简便的消元方法可提升解题效率，是代数运算的常规考查题型。
【难度系数】
0.85
第1题是实数混合运算题，解题时先拆分运算项：首先根据绝对值的性质计算绝对值项，负数的绝对值是它的相反数，可得$\left| -\dfrac{1}{2} \right|$的结果；再根据算术平方根的定义算出$\sqrt{9}$的值；接着根据乘方运算规则计算$(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2$，最后按照从左到右的顺序进行加减运算即可。第2题是二元一次方程组求解，观察两个方程中y的系数互为相反数，因此选择加减消元法，将两个方程相加消去y，先求出x的值，再将x的值代入其中一个方程求出y的值，即可得到方程组的解。
【解析】
1. 计算：
根据相关运算法则分别计算各项：
$\left| -\dfrac{1}{2} \right|=\dfrac{1}{2}$，$\sqrt{9}=3$，$(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\dfrac{(\sqrt{2})^2}{2^2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
代入原式得：
原式$=\dfrac{1}{2}+3-\dfrac{1}{2}=3$
2. 解方程组：
观察方程①和②，y的系数分别为1和-1，互为相反数，将两式相加消去y：
①+②，得：$x+y+3x-y=3+5$
合并同类项得：$4x=8$
解得：$x=2$
把$x=2$代入①，得：$2+y=3$
解得：$y=1$
【答案】
1. $\boxed{3}$
2. $\boxed{\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}}$
【知识点】
实数混合运算、加减消元法解二元一次方程组
【点评】
两道题均为基础运算类题型，第一题重点考查绝对值、算术平方根、乘方的基本运算规则，难度较低；第二题考查二元一次方程组的消元解法，合理观察系数特征选择简便的消元方法可提升解题效率，是代数运算的常规考查题型。
【难度系数】
0.85
3. [2024·许昌二模]解不等式组$\begin{cases} x＞\dfrac{x+2}{3}, \\ 5x-3＜5+x. \end{cases}$
答案
3. 解:$\begin{cases} x＞\dfrac{x+2}{3}, ① \\ 5x-3＜5+x, ② \end{cases}$
解不等式①,得 $x＞1$,解不等式②,得 $x＜2$,
∴原不等式组的解集为 $1＜x＜2$.
解不等式①,得 $x＞1$,解不等式②,得 $x＜2$,
∴原不等式组的解集为 $1＜x＜2$.
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式的解集，再找到两个解集的公共部分即为不等式组的解集。解题时首先处理第一个带分母的不等式，通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解；再对第二个不等式通过移项、合并同类项、系数化为1求解，最后根据解集口诀确定公共解集即可。
【解析】
先给不等式组标号：
$\begin{cases} x＞\dfrac{x+2}{3}, ① \\ 5x-3＜5+x, ② \end{cases}$
解不等式①：
两边同时乘3去分母，得$3x ＞ x + 2$，
移项，得$3x - x ＞ 2$，
合并同类项，得$2x ＞ 2$，
系数化为1，得$x ＞ 1$。
解不等式②：
移项，得$5x - x ＜ 5 + 3$，
合并同类项，得$4x ＜ 8$，
系数化为1，得$x ＜ 2$。
两个解集的公共部分即为原不等式组的解集。
【答案】
$1＜x＜2$
【知识点】
一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是不等式组求解的基础题型，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，注意移项要变号、去分母时不等号方向的变化规则，最终准确找出两个解集的公共部分即可得分。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式的解集，再找到两个解集的公共部分即为不等式组的解集。解题时首先处理第一个带分母的不等式，通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解；再对第二个不等式通过移项、合并同类项、系数化为1求解，最后根据解集口诀确定公共解集即可。
【解析】
先给不等式组标号：
$\begin{cases} x＞\dfrac{x+2}{3}, ① \\ 5x-3＜5+x, ② \end{cases}$
解不等式①：
两边同时乘3去分母，得$3x ＞ x + 2$，
移项，得$3x - x ＞ 2$，
合并同类项，得$2x ＞ 2$，
系数化为1，得$x ＞ 1$。
解不等式②：
移项，得$5x - x ＜ 5 + 3$，
合并同类项，得$4x ＜ 8$，
系数化为1，得$x ＜ 2$。
两个解集的公共部分即为原不等式组的解集。
【答案】
$1＜x＜2$
【知识点】
一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是不等式组求解的基础题型，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，注意移项要变号、去分母时不等号方向的变化规则，最终准确找出两个解集的公共部分即可得分。
【难度系数】
0.8
四、解答题
1. 对于任意实数 $a,b$，定义关于“$\otimes$”的一种运算：$a\otimes b = 2a + b$。例如，$3\otimes 4 = 2×3 + 4 = 10$。
(1) 求 $2\otimes (-5)$ 的值；
(2) 若 $x\otimes (-y) = 2$，且 $2y\otimes x = -1$，求 $x + y$ 的值。
1. 对于任意实数 $a,b$，定义关于“$\otimes$”的一种运算：$a\otimes b = 2a + b$。例如，$3\otimes 4 = 2×3 + 4 = 10$。
(1) 求 $2\otimes (-5)$ 的值；
(2) 若 $x\otimes (-y) = 2$，且 $2y\otimes x = -1$，求 $x + y$ 的值。
答案
1. 解:(1)$\because a\otimes b=2a+b$,
$\therefore 2\otimes (-5)=2×2+(-5)=4-5=-1$.
(2)$\because x\otimes (-y)=2$,且 $2y\otimes x=-1$,
$\therefore \begin{cases} 2x-y=2, \\ 4y+x=-1. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=\dfrac{7}{9}, \\ y=-\dfrac{4}{9}. \end{cases}$
$\therefore x+y=\dfrac{7}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{3}$.
$\therefore 2\otimes (-5)=2×2+(-5)=4-5=-1$.
(2)$\because x\otimes (-y)=2$,且 $2y\otimes x=-1$,
$\therefore \begin{cases} 2x-y=2, \\ 4y+x=-1. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=\dfrac{7}{9}, \\ y=-\dfrac{4}{9}. \end{cases}$
$\therefore x+y=\dfrac{7}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题是新定义运算类题型，解题思路如下：(1)首先明确新运算“⊗”的规则为$a\otimes b=2a+b$，即运算结果等于第一个数的2倍加上第二个数，直接将$a=2$、$b=-5$代入规则计算即可；(2)先根据新运算规则，将两个含“⊗”的等式转化为关于x、y的常规二元一次方程组，解方程组得到x、y的取值后，再代入计算$x+y$的值即可。
【解析】
(1) 根据题中给出的新定义$a\otimes b=2a + b$，代入$a=2$，$b=-5$得：
$2\otimes (-5)=2×2+(-5)=4-5=-1$
(2) 根据新定义运算规则，将已知条件转化为方程组：
$\begin{cases}2x + (-y)=2 \\2×2y + x=-1 \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}2x - y=2&① \\x + 4y=-1&② \end{cases}$
将①×4+②，得$9x=7$，解得$x=\frac{7}{9}$，
把$x=\frac{7}{9}$代入①，得$2×\frac{7}{9}-y=2$，解得$y=-\frac{4}{9}$，
因此$x+y=\frac{7}{9}+(-\frac{4}{9})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于新定义类基础题，重点考查对新规则的理解和转化能力，解题关键是把陌生的新运算转化为熟悉的四则运算和方程问题，计算时注意符号处理即可避免出错。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题型，解题思路如下：(1)首先明确新运算“⊗”的规则为$a\otimes b=2a+b$，即运算结果等于第一个数的2倍加上第二个数，直接将$a=2$、$b=-5$代入规则计算即可；(2)先根据新运算规则，将两个含“⊗”的等式转化为关于x、y的常规二元一次方程组，解方程组得到x、y的取值后，再代入计算$x+y$的值即可。
【解析】
(1) 根据题中给出的新定义$a\otimes b=2a + b$，代入$a=2$，$b=-5$得：
$2\otimes (-5)=2×2+(-5)=4-5=-1$
(2) 根据新定义运算规则，将已知条件转化为方程组：
$\begin{cases}2x + (-y)=2 \\2×2y + x=-1 \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}2x - y=2&① \\x + 4y=-1&② \end{cases}$
将①×4+②，得$9x=7$，解得$x=\frac{7}{9}$，
把$x=\frac{7}{9}$代入①，得$2×\frac{7}{9}-y=2$，解得$y=-\frac{4}{9}$，
因此$x+y=\frac{7}{9}+(-\frac{4}{9})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于新定义类基础题，重点考查对新规则的理解和转化能力，解题关键是把陌生的新运算转化为熟悉的四则运算和方程问题，计算时注意符号处理即可避免出错。
【难度系数】
0.8
2. 某火车途经许多隧道和桥梁,其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342 km,隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36 km. 求隧道累计长度与桥梁累计长度.
答案
2. 解:设隧道累计长度为 $x$ km,桥梁累计长度为 $y$ km.
根据题意,得$\begin{cases} x+y=342, \\ 2x=y+36. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=126, \\ y=216. \end{cases}$
答:隧道累计长度为 126 km,桥梁累计长度为 216 km.
根据题意,得$\begin{cases} x+y=342, \\ 2x=y+36. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=126, \\ y=216. \end{cases}$
答:隧道累计长度为 126 km,桥梁累计长度为 216 km.
解析
【分析】
本题存在两个未知量，即隧道累计长度和桥梁累计长度，解题时首先要梳理题干给出的两个等量关系：一是隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km；二是隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km。我们可以设两个未知数，对应两个等量关系列出二元一次方程组，再用代入消元法求解即可得到结果。
【解析】
解：设隧道累计长度为$x$ km，桥梁累计长度为$y$ km。
根据题意，得：
$\begin{cases} x+y=342 \quad ① \\ 2x=y+36 \quad ② \end{cases}$
由②式整理可得$y=2x-36$ ③，将③代入①式：
$x+2x-36=342$
合并同类项得$3x=378$，解得$x=126$。
将$x=126$代入①式，得$126+y=342$，解得$y=216$。
经检验，所得结果符合题意。
答：隧道累计长度为126 km，桥梁累计长度为216 km。
【答案】
隧道累计长度为126 km，桥梁累计长度为216 km。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程组求解
【点评】
本题是典型的方程类基础应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，对应设未知数列式求解即可，逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.85
本题存在两个未知量，即隧道累计长度和桥梁累计长度，解题时首先要梳理题干给出的两个等量关系：一是隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km；二是隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km。我们可以设两个未知数，对应两个等量关系列出二元一次方程组，再用代入消元法求解即可得到结果。
【解析】
解：设隧道累计长度为$x$ km，桥梁累计长度为$y$ km。
根据题意，得：
$\begin{cases} x+y=342 \quad ① \\ 2x=y+36 \quad ② \end{cases}$
由②式整理可得$y=2x-36$ ③，将③代入①式：
$x+2x-36=342$
合并同类项得$3x=378$，解得$x=126$。
将$x=126$代入①式，得$126+y=342$，解得$y=216$。
经检验，所得结果符合题意。
答：隧道累计长度为126 km，桥梁累计长度为216 km。
【答案】
隧道累计长度为126 km，桥梁累计长度为216 km。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程组求解
【点评】
本题是典型的方程类基础应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系，对应设未知数列式求解即可，逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.85
