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1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD\bot BC$,垂足为$D$,$BD=4$,则$BC$的长为 （
A.2
B.4
C.6
D.8
D
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
1. D 解析:$\because AB=AC$,$AD⊥ BC$,$\therefore BD=CD=4$,$\therefore BC=BD+CD=8$.
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC，可判断△ABC是等腰三角形，再结合AD⊥BC的条件，联想到等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线，因此点D是BC的中点，BC的长度为BD的2倍，代入BD的数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
又
∵AD⊥BC，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是BC边上的中线，即D为BC的中点，
∴CD=BD=4，
∴BC=BD+CD=4+4=8。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形“三线合一”性质的直接应用，只要熟练掌握等腰三角形的核心性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先根据已知条件AB=AC，可判断△ABC是等腰三角形，再结合AD⊥BC的条件，联想到等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高同时是底边上的中线，因此点D是BC的中点，BC的长度为BD的2倍，代入BD的数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
又
∵AD⊥BC，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是BC边上的中线，即D为BC的中点，
∴CD=BD=4，
∴BC=BD+CD=4+4=8。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形三线合一，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形“三线合一”性质的直接应用，只要熟练掌握等腰三角形的核心性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 若等腰三角形的一个外角是$110°$,则它的顶角的度数是
70°或40°
.答案
2. $70°$ 或 $40°$ 解析:$\because$ 一个外角是 $110°$,$\therefore$ 与这个外角相邻的内角是 $180°-110°=70°$. ①顶角是 $70°$;②当底角是 $70°$ 时,它的顶角度数是 $180°-70°×2=40°$. 综上所述,它的顶角度数是 $70°$ 或 $40°$.
解析
【分析】
首先根据三角形外角的定义，先求出与已知外角相邻的内角度数；再结合等腰三角形“两底角相等”的性质分情况讨论：情况一，该内角是等腰三角形的顶角；情况二，该内角是等腰三角形的底角，最后结合三角形内角和为180°验证两种情况均成立，即可求出顶角的度数。
【解析】
已知等腰三角形的一个外角是$110°$，则与这个外角相邻的内角度数为：
$180° - 110° = 70°$
分两种情况讨论：
① 若$70°$是等腰三角形的顶角，则顶角就是$70°$；
② 若$70°$是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为$180°$，可得顶角度数为：
$180° - 70° × 2 = 40°$
两种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$70°$或$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形角度计算中的应用，解题时需注意已知的外角对应的内角既可能是顶角也可能是底角，需分情况讨论后验证是否符合三角形的内角要求，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先根据三角形外角的定义，先求出与已知外角相邻的内角度数；再结合等腰三角形“两底角相等”的性质分情况讨论：情况一，该内角是等腰三角形的顶角；情况二，该内角是等腰三角形的底角，最后结合三角形内角和为180°验证两种情况均成立，即可求出顶角的度数。
【解析】
已知等腰三角形的一个外角是$110°$，则与这个外角相邻的内角度数为：
$180° - 110° = 70°$
分两种情况讨论：
① 若$70°$是等腰三角形的顶角，则顶角就是$70°$；
② 若$70°$是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为$180°$，可得顶角度数为：
$180° - 70° × 2 = 40°$
两种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$70°$或$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形角度计算中的应用，解题时需注意已知的外角对应的内角既可能是顶角也可能是底角，需分情况讨论后验证是否符合三角形的内角要求，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=9,AC=6,则△ADE的周长为
15
.答案
3. 15 解析:由条件可知,$∠ DBO=∠ CBO$,$∠ ECO=∠ BCO$.$\because DE// BC$,$\therefore ∠ DOB=∠ CBO$,$∠ EOC=∠ BCO$,$\therefore ∠ DBO=∠ DOB$,$∠ ECO=∠ EOC$,$\therefore BD=DO$,$CE=EO$,$\therefore △ ADE$ 的周长为 $AD+DO+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=9+6=15$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先有角平分线，可得一组等角；再有平行线，根据平行线的内错角相等又可得一组等角，通过等量代换就能得到等腰三角形，进而得到相等的线段。最后将△ADE的周长中的线段进行等量替换，转化为AB与AC的和，即可求出结果。
【解析】
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO
∵DE//BC
∴∠DOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等），∠EOC=∠BCO（两直线平行，内错角相等）
∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC
∴BD=DO，CE=EO（等角对等边）
△ADE的周长 = AD + DE + AE = AD + DO + OE + AE
将DO=BD、OE=CE代入得：
周长 = AD + BD + CE + AE = (AD+BD) + (CE+AE) = AB + AC
∵AB=9，AC=6
∴周长=9+6=15
【答案】
15
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何常规题型，核心是掌握“角平分线+平行线”的经典模型，通过角的等量关系推导出等线段，进而对所求周长进行转化，无需复杂计算即可得出结果，熟练掌握该模型能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先有角平分线，可得一组等角；再有平行线，根据平行线的内错角相等又可得一组等角，通过等量代换就能得到等腰三角形，进而得到相等的线段。最后将△ADE的周长中的线段进行等量替换，转化为AB与AC的和，即可求出结果。
【解析】
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO
∵DE//BC
∴∠DOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等），∠EOC=∠BCO（两直线平行，内错角相等）
∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC
∴BD=DO，CE=EO（等角对等边）
△ADE的周长 = AD + DE + AE = AD + DO + OE + AE
将DO=BD、OE=CE代入得：
周长 = AD + BD + CE + AE = (AD+BD) + (CE+AE) = AB + AC
∵AB=9，AC=6
∴周长=9+6=15
【答案】
15
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何常规题型，核心是掌握“角平分线+平行线”的经典模型，通过角的等量关系推导出等线段，进而对所求周长进行转化，无需复杂计算即可得出结果，熟练掌握该模型能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°$,$∠ C=90°$,在射线$BA$上找一点$D$,使$△ ACD$为等腰三角形,则$∠ ACD$的度数为________.
答案
4. $70°$ 或 $40°$ 或 $20°$ 解析:如图,有三种情形
:①当 $AC=AD$ 时,$∠ ACD=70°$;②当 $CD'=AD'$ 时,$∠ ACD'=40°$;③当 $AC=AD''$ 时,$∠ ACD''=20°$.解析
【分析】首先根据△ABC的已知内角度数求出∠BAC的度数，要使△ACD为等腰三角形，因未明确等腰三角形的腰和底，需分三种情况讨论：AC=AD、CD=AD、AC=CD，结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和定理分别计算每种情况中∠ACD的度数即可。
【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，根据三角形内角和为180°，可得∠BAC=180°-90°-50°=40°，分三种情况讨论：
① 当AC=AD时，△ACD为等腰三角形，∠CAD=∠BAC=40°，根据等边对等角，∠ACD=∠ADC，因此$∠ ACD=(180°-40°)÷2=70°$；
② 当CD'=AD'时，根据等边对等角，$∠ ACD'=∠ CAD'=40°$；
③ 当AC=AD''时，点D''在BA的延长线上，此时$∠ CAD''=180°-40°=140°$，根据等边对等角，$∠ ACD''=∠ AD''C$，因此$∠ ACD''=(180°-140°)÷2=20°$。
综上，∠ACD的度数为70°或40°或20°。
【答案】$70°$ 或 $40°$ 或 $20°$
【知识点】等腰三角形性质，三角形内角和定理，分类讨论
【点评】本题是等腰三角形的多解问题，解题的关键是明确腰未确定时需分类讨论，同时要注意D点在射线BA上，包含线段BA和BA的延长线两种位置，避免出现漏解的情况。
【难度系数】0.6
【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，根据三角形内角和为180°，可得∠BAC=180°-90°-50°=40°，分三种情况讨论：
① 当AC=AD时，△ACD为等腰三角形，∠CAD=∠BAC=40°，根据等边对等角，∠ACD=∠ADC，因此$∠ ACD=(180°-40°)÷2=70°$；
② 当CD'=AD'时，根据等边对等角，$∠ ACD'=∠ CAD'=40°$；
③ 当AC=AD''时，点D''在BA的延长线上，此时$∠ CAD''=180°-40°=140°$，根据等边对等角，$∠ ACD''=∠ AD''C$，因此$∠ ACD''=(180°-140°)÷2=20°$。
综上，∠ACD的度数为70°或40°或20°。
【答案】$70°$ 或 $40°$ 或 $20°$
【知识点】等腰三角形性质，三角形内角和定理，分类讨论
【点评】本题是等腰三角形的多解问题，解题的关键是明确腰未确定时需分类讨论，同时要注意D点在射线BA上，包含线段BA和BA的延长线两种位置，避免出现漏解的情况。
【难度系数】0.6
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,AD=DE=EB,BC=BD$,求$∠ A$的度数.
答案
5. $\because DE=EB$,$\therefore$ 设 $∠ BDE=∠ ABD=x$,$\therefore ∠ AED=∠ BDE+∠ ABD=2x$.$\because AD=DE$,$\therefore ∠ A=∠ AED=2x$,$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ABD=3x$.$\because BD=BC$,$\therefore ∠ C=∠ BDC=3x$.$\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ C=3x$. 在 $△ ABC$ 中,$3x+3x+2x=180°$,解得 $x=22.5°$,$\therefore ∠ A=2x=22.5°×2=45°$.
解析
【分析】
本题是等腰三角形背景下的角度计算问题，解题核心是利用等腰三角形的性质、三角形外角性质以及内角和定理建立角度关系。思考步骤如下：首先观察到图中有多组等边，对应存在多组相等的角，我们可以选择最小的角设为未知数x，再依次利用“等边对等角”和三角形外角的性质，将∠A、∠ABC、∠C都用含x的代数式表示，最后根据△ABC的内角和为180°列方程求解，即可得到∠A的度数。
【解析】
设$∠ BDE=∠ ABD=x$，
$\because DE=EB$，
$\therefore ∠ BDE=∠ ABD=x$，
根据三角形外角的性质，$∠ AED=∠ BDE+∠ ABD=2x$，
$\because AD=DE$，
$\therefore ∠ A=∠ AED=2x$，
同理，$∠ BDC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x+x=3x$，
$\because BD=BC$，
$\therefore ∠ C=∠ BDC=3x$，
又$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=3x$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，即$2x+3x+3x=180°$，
解得$x=22.5°$，
$\therefore ∠ A=2x=2×22.5°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题关键是通过设未知数将所有相关角度用含同一未知数的式子表示，再结合三角形内角和定理构造方程求解，该方法在处理多个等腰三角形组合的角度问题时非常常用，需要熟练掌握角度之间的转化逻辑。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形背景下的角度计算问题，解题核心是利用等腰三角形的性质、三角形外角性质以及内角和定理建立角度关系。思考步骤如下：首先观察到图中有多组等边，对应存在多组相等的角，我们可以选择最小的角设为未知数x，再依次利用“等边对等角”和三角形外角的性质，将∠A、∠ABC、∠C都用含x的代数式表示，最后根据△ABC的内角和为180°列方程求解，即可得到∠A的度数。
【解析】
设$∠ BDE=∠ ABD=x$，
$\because DE=EB$，
$\therefore ∠ BDE=∠ ABD=x$，
根据三角形外角的性质，$∠ AED=∠ BDE+∠ ABD=2x$，
$\because AD=DE$，
$\therefore ∠ A=∠ AED=2x$，
同理，$∠ BDC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x+x=3x$，
$\because BD=BC$，
$\therefore ∠ C=∠ BDC=3x$，
又$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=3x$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，即$2x+3x+3x=180°$，
解得$x=22.5°$，
$\therefore ∠ A=2x=2×22.5°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题关键是通过设未知数将所有相关角度用含同一未知数的式子表示，再结合三角形内角和定理构造方程求解，该方法在处理多个等腰三角形组合的角度问题时非常常用，需要熟练掌握角度之间的转化逻辑。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E$在$CA$的延长线上,$EP⊥ BC$,垂足为$P$,$EP$交$AB$于点$F$.求证:$△ AEF$是等腰三角形.
答案
6. 证明:在 $△ ABC$ 中,$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ C$.$\because EP⊥ BC$,$\therefore ∠ C+∠ E=90°$,$∠ B+∠ BFP=90°$,$\therefore ∠ E=∠ BFP$. 又 $\because ∠ BFP=∠ AFE$,$\therefore ∠ E=∠ AFE$,$\therefore AF=AE$,$\therefore △ AEF$ 是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△AEF是等腰三角形，可通过“等角对等边”的判定思路，证明该三角形有两个内角相等。首先结合已知△ABC是等腰三角形，可得到底角∠B=∠C；再利用EP⊥BC的垂直关系，可知直角三角形的两个锐角互余，推导得到∠E与∠BFP相等；最后结合对顶角相等的性质，完成角的等量代换，即可得到△AEF的两个内角相等，进而证明结论。
【解析】
证明:在 $△ ABC$ 中,
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C$.
$\because EP⊥ BC$,
$\therefore ∠ C+∠ E=90°$,$∠ B+∠ BFP=90°$,
$\therefore ∠ E=∠ BFP$.
又 $\because ∠ BFP=∠ AFE$（对顶角相等）,
$\therefore ∠ E=∠ AFE$,
$\therefore AF=AE$,
$\therefore △ AEF$ 是等腰三角形.
【答案】
如上述证明过程，△AEF是等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定、直角三角形两锐角互余、对顶角相等
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过角的等量代换推导待证三角形的内角关系，解题时需熟练掌握等腰三角形、直角三角形的相关性质，这类角转换的思路是三角形证明题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要证明△AEF是等腰三角形，可通过“等角对等边”的判定思路，证明该三角形有两个内角相等。首先结合已知△ABC是等腰三角形，可得到底角∠B=∠C；再利用EP⊥BC的垂直关系，可知直角三角形的两个锐角互余，推导得到∠E与∠BFP相等；最后结合对顶角相等的性质，完成角的等量代换，即可得到△AEF的两个内角相等，进而证明结论。
【解析】
证明:在 $△ ABC$ 中,
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C$.
$\because EP⊥ BC$,
$\therefore ∠ C+∠ E=90°$,$∠ B+∠ BFP=90°$,
$\therefore ∠ E=∠ BFP$.
又 $\because ∠ BFP=∠ AFE$（对顶角相等）,
$\therefore ∠ E=∠ AFE$,
$\therefore AF=AE$,
$\therefore △ AEF$ 是等腰三角形.
【答案】
如上述证明过程，△AEF是等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定、直角三角形两锐角互余、对顶角相等
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过角的等量代换推导待证三角形的内角关系，解题时需熟练掌握等腰三角形、直角三角形的相关性质，这类角转换的思路是三角形证明题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
