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4. 如图,在$△ ABC$中,E是边BC上的一点,连接AE,BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于点D,连接DE.
(1)若$△ ABC$的周长为19,$△ DEC$的周长为7,求AB的长.
(2)若$∠ ABC=30°,∠ C=45°$,求$∠ EAC$的度数.
(1)若$△ ABC$的周长为19,$△ DEC$的周长为7,求AB的长.
(2)若$∠ ABC=30°,∠ C=45°$,求$∠ EAC$的度数.
答案
4. (1)$\because BD$ 垂直平分 $AE$,$\therefore AB=BE$,$AD=DE$.$\because △ ABC$ 的周长为 $19$,$△ DEC$ 的周长为 $7$,$\therefore AB+BE+CE+CD+AD=19$,$CD+CE+DE=CD+CE+AD=7$,$\therefore AB+BE=19-7=12$,$\therefore AB=BE=6$.(2)$\because ∠ ABC=30°$,$∠ C=45°$,$\therefore ∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-30°-45°=105°$.$\because AB=BE$,$\therefore ∠ BAE=∠ BEA=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$,$\therefore ∠ EAC=∠ BAC-∠ BAE=105°-75°=30°$.
解析
【分析】
(1) 首先根据BD是AE的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得AB=BE，AD=DE。观察两个三角形的周长：△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BE+EC+CD+AD，△DEC的周长=DE+EC+CD，结合AD=DE，可将△DEC的周长替换为AD+EC+CD，用△ABC的周长减去△DEC的周长，即可得到AB+BE的长度，再结合AB=BE，就能求出AB的长。
(2) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再由AB=BE可知△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质求出∠BAE的度数，最后用∠BAC减去∠BAE即可得到∠EAC的度数。
【解析】
(1) $\because BD$ 垂直平分 $AE$，
$\therefore AB=BE$，$AD=DE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
$\because △ ABC$ 的周长为 $19$，
$\therefore AB+BC+AC=AB+BE+CE+CD+AD=19$，
$\because △ DEC$ 的周长为 $7$，
$\therefore CD+CE+DE=7$，
又$\because DE=AD$，
$\therefore CD+CE+AD=7$，
两式相减得：$AB+BE=19-7=12$，
又$\because AB=BE$，
$\therefore AB=BE=12÷2=6$。
(2) 在$△ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$\because ∠ ABC=30°,∠ C=45°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-30°-45°=105°$，
由(1)知$AB=BE$，即$△ABE$为等腰三角形，
$\therefore ∠ BAE=∠ BEA=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
$\therefore ∠ EAC=∠ BAC-∠ BAE=105°-75°=30°$。
【答案】
(1) $AB=6$；(2) $∠EAC=30°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是灵活运用线段垂直平分线的性质得到相等的线段，进而转化周长与角度的关系，是对基础几何性质应用的常规考查。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据BD是AE的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得AB=BE，AD=DE。观察两个三角形的周长：△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BE+EC+CD+AD，△DEC的周长=DE+EC+CD，结合AD=DE，可将△DEC的周长替换为AD+EC+CD，用△ABC的周长减去△DEC的周长，即可得到AB+BE的长度，再结合AB=BE，就能求出AB的长。
(2) 先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再由AB=BE可知△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质求出∠BAE的度数，最后用∠BAC减去∠BAE即可得到∠EAC的度数。
【解析】
(1) $\because BD$ 垂直平分 $AE$，
$\therefore AB=BE$，$AD=DE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
$\because △ ABC$ 的周长为 $19$，
$\therefore AB+BC+AC=AB+BE+CE+CD+AD=19$，
$\because △ DEC$ 的周长为 $7$，
$\therefore CD+CE+DE=7$，
又$\because DE=AD$，
$\therefore CD+CE+AD=7$，
两式相减得：$AB+BE=19-7=12$，
又$\because AB=BE$，
$\therefore AB=BE=12÷2=6$。
(2) 在$△ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$\because ∠ ABC=30°,∠ C=45°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-30°-45°=105°$，
由(1)知$AB=BE$，即$△ABE$为等腰三角形，
$\therefore ∠ BAE=∠ BEA=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
$\therefore ∠ EAC=∠ BAC-∠ BAE=105°-75°=30°$。
【答案】
(1) $AB=6$；(2) $∠EAC=30°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是灵活运用线段垂直平分线的性质得到相等的线段，进而转化周长与角度的关系，是对基础几何性质应用的常规考查。
【难度系数】
0.7
1. 如图，$∠ AOB$ 的平分线上一点 $P$ 到 $OA$ 的距离为 $5$，$Q$ 是 $OB$ 上任意一点，则 （$\boldsymbol{}$）
A.$PQ≥5$
B.$PQ＞5$
C.$PQ≤5$
D.$PQ＜5$
A.$PQ≥5$
B.$PQ＞5$
C.$PQ≤5$
D.$PQ＜5$
答案
1. A
解析
【分析】
拿到本题首先提取关键信息：点P在∠AOB的平分线上，P到OA的距离为5，Q是OB上任意一点，要判断PQ的取值范围。第一步，结合角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出P到OB的距离也为5；第二步，根据垂线段最短的性质，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段长度最短，因此PQ的最小值就是P到OB的垂线段长度5，其余情况下PQ长度都大于5，由此即可得到PQ的取值范围。
【解析】
解：
∵点P在∠AOB的平分线上，且P到OA的距离为5，
∴根据角平分线的性质可得，点P到OB的距离为5，
∵Q是OB上的任意一点，由垂线段最短可知，
PQ的长度最小为5，即PQ≥5，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题是基础几何题，主要考察角平分线性质与垂线段最短的综合应用，解题核心是先通过角平分线性质得到点到另一边的距离，再结合垂线段的性质判断线段的取值范围。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先提取关键信息：点P在∠AOB的平分线上，P到OA的距离为5，Q是OB上任意一点，要判断PQ的取值范围。第一步，结合角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出P到OB的距离也为5；第二步，根据垂线段最短的性质，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段长度最短，因此PQ的最小值就是P到OB的垂线段长度5，其余情况下PQ长度都大于5，由此即可得到PQ的取值范围。
【解析】
解：
∵点P在∠AOB的平分线上，且P到OA的距离为5，
∴根据角平分线的性质可得，点P到OB的距离为5，
∵Q是OB上的任意一点，由垂线段最短可知，
PQ的长度最小为5，即PQ≥5，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题是基础几何题，主要考察角平分线性质与垂线段最短的综合应用，解题核心是先通过角平分线性质得到点到另一边的距离，再结合垂线段的性质判断线段的取值范围。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AB=10$,$AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$. 若 $CD=3$,则 $△ ABD$ 的面积为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
2. 15 解析:如图,过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$
. $\because AD$ 平分 $∠ BAC$,$∠ C=90°$,$DE⊥ AB$,$\therefore DE=CD=3$,$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}×10×3=15$.解析
【分析】
要求$△ ABD$的面积，已知底$AB$的长度为10，因此只需先求出$AB$边上的高即可。结合已知$AD$是$∠ BAC$的角平分线，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知$∠ C=90°$，即$CD$是点$D$到$AC$的距离，长度为3，因此过点$D$作$DE⊥ AB$于$E$，可得$DE=CD$，也就是$△ ABD$中$AB$边上的高，代入面积公式即可求解。
【解析】
过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
$\therefore$根据角平分线的性质，$DE=CD=3$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}×10×3=15$。
【答案】
15
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是利用角平分线的性质求出目标三角形对应底边上的高，需要熟练掌握角平分线的性质，能结合问题需求正确作出辅助线。
【难度系数】
0.8
要求$△ ABD$的面积，已知底$AB$的长度为10，因此只需先求出$AB$边上的高即可。结合已知$AD$是$∠ BAC$的角平分线，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知$∠ C=90°$，即$CD$是点$D$到$AC$的距离，长度为3，因此过点$D$作$DE⊥ AB$于$E$，可得$DE=CD$，也就是$△ ABD$中$AB$边上的高，代入面积公式即可求解。
【解析】
过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
$\therefore$根据角平分线的性质，$DE=CD=3$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}×10×3=15$。
【答案】
15
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是利用角平分线的性质求出目标三角形对应底边上的高，需要熟练掌握角平分线的性质，能结合问题需求正确作出辅助线。
【难度系数】
0.8
3. 如图，点$ O $在$ △ ABC $内，且到三边的距离相等。若$ ∠ A = 60° $，则$ ∠ BOC $的度数为
120°
。答案
3. $120°$ 解析:$\because$ 点 $O$ 在 $△ ABC$ 内,且到三边的距离相等,$\therefore$ 点 $O$ 是三个角的平分线的交点,$\therefore ∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}(180°-60°)=60°$. 在 $△ BCO$ 中,$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-60°=120°$.
解析
【分析】
首先看到点O到△ABC三边距离相等，结合角平分线的判定定理，可判断出点O是三角形三个内角平分线的交点，即BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB。要求∠BOC的度数，可利用三角形内角和定理，先求出∠OBC与∠OCB的和，再用180°减去这个和即可。已知∠A的度数，可先算出∠ABC+∠ACB的总和，再结合角平分线的性质得到∠OBC+∠OCB是∠ABC+∠ACB的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴ 点O是△ABC三个内角平分线的交点，即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ $∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$，
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$，
∴ $∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}×120°=60°$，
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
角平分线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常规题型，解题核心是先根据点到三边距离相等确定点O是三角形内角平分线的交点，再结合三角形内角和定理逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.7
首先看到点O到△ABC三边距离相等，结合角平分线的判定定理，可判断出点O是三角形三个内角平分线的交点，即BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB。要求∠BOC的度数，可利用三角形内角和定理，先求出∠OBC与∠OCB的和，再用180°减去这个和即可。已知∠A的度数，可先算出∠ABC+∠ACB的总和，再结合角平分线的性质得到∠OBC+∠OCB是∠ABC+∠ACB的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴ 点O是△ABC三个内角平分线的交点，即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ $∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$，
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$，
∴ $∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}×120°=60°$，
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
角平分线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常规题型，解题核心是先根据点到三边距离相等确定点O是三角形内角平分线的交点，再结合三角形内角和定理逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AD为$△ ABC$的角平分线，$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AC$于点F，连接EF交AD于点G.
(1)求证：AD垂直平分EF.
(2)若$∠ BAC=60°$，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由.
(1)求证：AD垂直平分EF.
(2)若$∠ BAC=60°$，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由.
答案
4. (1)证明:$\because AD$ 为 $△ ABC$ 的角平分线,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,$\therefore DE=DF$,$∠ AED=∠ AFD=90°$,$\therefore ∠ DEF=∠ DFE$,$\therefore ∠ AED-∠ DEF=∠ AFD-∠ DFE$,即 $∠ AEF=∠ AFE$,$\therefore AE=AF$,$\therefore$ 点 $A$、$D$ 都在 $EF$ 的垂直平分线上,$\therefore AD$ 垂直平分 $EF$.(2)$AG=3DG$. 理由如下:$\because ∠ BAC=60°$,$AD$ 平分 $∠ BAC$,$\therefore ∠ EAD=30°$,$\therefore AD=2DE$,$∠ EDA=60°$.$\because AD⊥ EF$,$\therefore ∠ EGD=90°$,$\therefore ∠ DEG=30°$,$\therefore DE=2DG$,$\therefore AD=4DG$,$\therefore AG=3DG$.
解析
【分析】
(1)要证明AD垂直平分EF，需证明点A和点D都在EF的垂直平分线上，即证AE=AF、DE=DF。首先根据角平分线的性质可得DE=DF，再通过角度推导得出∠AEF=∠AFE，进而得到AE=AF，结合两点确定一条直线即可得出结论。
(2)已知∠BAC=60°，由AD是角平分线可得∠EAD=30°，结合直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，先推出AD与DE的关系，再推出DE与DG的关系，进而得到AD与DG的关系，最终推导得出AG和DG的数量关系。
【解析】
(1)证明：
∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴∠AED-∠DEF=∠AFD-∠DFE，即∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF。
(2)AG=3DG，理由如下：
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=30°，
∴在Rt△AED中，AD=2DE，∠EDA=60°，
∵AD⊥EF，
∴∠EGD=90°，
∴在Rt△EGD中，∠DEG=30°，
∴DE=2DG，
∴AD=2DE=4DG，
∴AG=AD-DG=4DG-DG=3DG。
【答案】
(1)AD垂直平分EF，证明见解析；(2)AG=3DG
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、线段垂直平分线以及特殊直角三角形的相关性质，解题的关键是先利用角平分线性质得到等线段，再结合垂直平分线的判定和含30°角直角三角形的边角关系逐步推导，有助于提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AD垂直平分EF，需证明点A和点D都在EF的垂直平分线上，即证AE=AF、DE=DF。首先根据角平分线的性质可得DE=DF，再通过角度推导得出∠AEF=∠AFE，进而得到AE=AF，结合两点确定一条直线即可得出结论。
(2)已知∠BAC=60°，由AD是角平分线可得∠EAD=30°，结合直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，先推出AD与DE的关系，再推出DE与DG的关系，进而得到AD与DG的关系，最终推导得出AG和DG的数量关系。
【解析】
(1)证明：
∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴∠AED-∠DEF=∠AFD-∠DFE，即∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF。
(2)AG=3DG，理由如下：
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=30°，
∴在Rt△AED中，AD=2DE，∠EDA=60°，
∵AD⊥EF，
∴∠EGD=90°，
∴在Rt△EGD中，∠DEG=30°，
∴DE=2DG，
∴AD=2DE=4DG，
∴AG=AD-DG=4DG-DG=3DG。
【答案】
(1)AD垂直平分EF，证明见解析；(2)AG=3DG
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、线段垂直平分线以及特殊直角三角形的相关性质，解题的关键是先利用角平分线性质得到等线段，再结合垂直平分线的判定和含30°角直角三角形的边角关系逐步推导，有助于提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
