5. 如图，A、D、B、E 四点共线，$∠ ADF = ∠ EBC$，$AD = EB$，$BC = DF$。求证：$AC = EF$。

5. 证明:$\because AD=EB$,$\therefore AD+BD=EB+BD$,即 $AB=ED$.$\because ∠ ADF=∠ EBC$,$\therefore 180°-∠ ADF=180°-∠ EBC$,即 $∠ EDF=∠ ABC$. 在 $△ ABC$ 和 $△ EDF$ 中,$\begin{cases}AB=ED,\\∠ ABC=∠ EDF,\\BC=DF,\end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ EDF(\mathrm{SAS})$,$\therefore AC=EF$.

【分析】
要证明线段AC=EF，可通过证明AC、EF所在的三角形全等来实现，即证△ABC≌△EDF。首先利用已知AD=EB，结合线段和的性质，给两条线段同时加公共部分BD，可得AB=ED；再根据已知∠ADF=∠EBC，利用等角的补角相等，可推出∠ABC=∠EDF；最后结合已知BC=DF，即可通过SAS判定定理证明两个三角形全等，由全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明:$\because AD=EB$,$\therefore AD+BD=EB+BD$,即 $AB=ED$.
$\because ∠ ADF=∠ EBC$,$\therefore 180°-∠ ADF=180°-∠ EBC$,即 $∠ EDF=∠ ABC$.
在 $△ ABC$ 和 $△ EDF$ 中,
$\begin{cases}AB=ED,\\∠ ABC=∠ EDF,\\BC=DF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AC=EF$.
【答案】
$AC=EF$
【知识点】
线段和差运算、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，解题核心是从已知条件出发推导得到三角形全等的判定要素，熟练掌握全等三角形的判定定理和对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在$△ ABC$与$△ AEF$中,点$F$在$BC$上,$AB=AE$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E$,$AB$交$EF$于点$D$.求证:$FA$平分$∠ EFC$.

6. 证明:在 $△ ABC$ 和 $△ AEF$ 中,$\begin{cases}AB=AE,\\∠ B=∠ E,\\BC=EF,\end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ AEF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ AFE=∠ C$,$AF=AC$,$\therefore ∠ AFC=∠ C$,$\therefore ∠ AFE=∠ AFC$,$\therefore FA$ 平分 $∠ EFC$.

【分析】
要证明FA平分∠EFC，本质是证明∠AFE=∠AFC。首先梳理已知条件：AB=AE，∠B=∠E，BC=EF，恰好满足全等三角形的SAS判定条件，可先证△ABC≌△AEF；借助全等三角形的性质可得∠AFE=∠C，且对应边AF=AC；再根据等腰三角形等边对等角的性质，由AF=AC推出∠AFC=∠C，最后通过等量代换得到∠AFE=∠AFC，即可完成证明。
【解析】
证明：在 $△ ABC$ 和 $△ AEF$ 中,
$\begin{cases}AB=AE,\\∠ B=∠ E,\\BC=EF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AEF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ AFE=∠ C$，$AF=AC$,
$\therefore ∠ AFC=∠ C$,
$\therefore ∠ AFE=∠ AFC$,
$\therefore FA$ 平分 $∠ EFC$.
【答案】
证明：在 $△ ABC$ 和 $△ AEF$ 中,
$\begin{cases}AB=AE,\\∠ B=∠ E,\\BC=EF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AEF(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ AFE=∠ C$，$AF=AC$,
$\therefore ∠ AFC=∠ C$,
$\therefore ∠ AFE=∠ AFC$,
$\therefore FA$ 平分 $∠ EFC$.
【知识点】
SAS判定全等；全等三角形性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是先通过给定的边角条件证明三角形全等，再结合等腰三角形的性质完成角的等量代换，逻辑链条清晰，考查学生对三角形相关基础性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E在AD上,DE=DC,BE=AC,F为BC的中点,连接EF并延长至点M,使FM=EF,连接CM.
(1)求证:△BDE≌△ADC.
(2)求证:AC⊥MC.

7. 证明:(1)$\because AD⊥ BC$,$\therefore ∠ BDE=∠ ADC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$\begin{cases}BE=AC,\\DE=DC,\end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL})$.(2)$\because F$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore BF=CF$. 在 $△ BFE$ 和 $△ CFM$ 中,$\begin{cases}BF=CF,\\∠ BFE=∠ CFM,\\EF=MF,\end{cases}$$\therefore △ BFE≌△ CFM(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ CBE=∠ BCM$,$BE=MC$.$\because \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ ADC$,$\therefore ∠ CBE=∠ CAD$,$\therefore ∠ CAD=∠ BCM$.$\because ∠ CAD+∠ ACD=90°$,$\therefore ∠ BCM+∠ ACD=90°$,即 $∠ ACM=90°$,$\therefore AC⊥ MC$.

【分析】
(1) 要证明△BDE≌△ADC，首先由AD⊥BC可得△BDE和△ADC均为直角三角形，结合已知条件BE=AC、DE=DC，符合直角三角形全等的HL判定规则，可直接证明两三角形全等。
(2) 要证明AC⊥MC，即需证明∠ACM=90°。首先根据F是BC中点、FM=EF，结合对顶角相等，可通过SAS证明△BFE≌△CFM，得到∠CBE=∠BCM；再结合(1)的全等结论可得∠CBE=∠CAD，等量代换得∠CAD=∠BCM；最后利用Rt△ADC中两锐角互余的性质，可得∠CAD+∠ACD=90°，替换后得∠BCM+∠ACD=90°，即∠ACM=90°，即可证明AC⊥MC。
【解析】
(1) 由AD⊥BC可得∠BDE=∠ADC=90°，△BDE和△ADC均为直角三角形，结合已知的BE=AC、DE=DC，根据HL定理即可证明两直角三角形全等。
(2) 先利用F是BC中点、FM=EF以及对顶角相等，通过SAS证明△BFE≌△CFM，得到角的等量关系；再结合第一问的全等结论，将角进行等量代换，最后利用直角三角形两锐角互余的性质推导得出∠ACM=90°，即可证明垂直。
【答案】
证明:(1)$\because AD⊥ BC$,$\therefore ∠ BDE=∠ ADC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$\begin{cases}BE=AC,\\DE=DC,\end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL})$.
(2)$\because F$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore BF=CF$. 在 $△ BFE$ 和 $△ CFM$ 中,$\begin{cases}BF=CF,\\∠ BFE=∠ CFM,\\EF=MF,\end{cases}$$\therefore △ BFE≌△ CFM(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ CBE=∠ BCM$,$BE=MC$.$\because \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ ADC$,$\therefore ∠ CBE=∠ CAD$,$\therefore ∠ CAD=∠ BCM$.$\because ∠ CAD+∠ ACD=90°$,$\therefore ∠ BCM+∠ ACD=90°$,即 $∠ ACM=90°$,$\therefore AC⊥ MC$.
【知识点】
1. HL判定全等
2. SAS判定全等
3. 垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的综合应用题型，解题核心是通过已知条件寻找全等的判定要素，利用全等实现边、角的等量转换，进而推导待证结论，是几何证明的基础题型，能够较好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

1. 如图,某市的三个城镇中心$A、B、C$构成$△ ABC$,该市政府打算修建一个大型体育中心$P$,使得该体育中心到三个城镇中心$A、B、C$的距离相等,则点$P$应设计在 （）



A.三个角的角平分线的交点处
B.三角形三条高的交点处
C.三条边的垂直平分线的交点处
D.三角形三条中线的交点处

1. C

【分析】
解题时首先明确题干核心要求：点P到A、B、C三个顶点的距离相等。我们可以分步思考：①先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此到A、B两点距离相等的点一定在AB边的垂直平分线上；②同理，到B、C两点距离相等的点在BC边的垂直平分线上，到A、C两点距离相等的点在AC边的垂直平分线上；③要同时满足到三个顶点距离相等，点P就必须是这三条垂直平分线的公共交点。最后再对应各选项中交点的性质，逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
解：已知要求点P到△ABC三个顶点A、B、C的距离相等，即PA=PB=PC。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得：
1. 满足PA=PB的点都在线段AB的垂直平分线上；
2. 满足PB=PC的点都在线段BC的垂直平分线上；
3. 满足PA=PC的点都在线段AC的垂直平分线上。
因此同时满足PA=PB=PC的点P，是△ABC三条边的垂直平分线的交点。
再逐一分析选项：
A选项：三个角的角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，不符合要求；
B选项：三角形三条高的交点是垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
C选项：三条边的垂直平分线的交点是外心，到三个顶点距离相等，符合要求；
D选项：三角形三条中线的交点是重心，性质是分中线为2:1的两段，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线性质，三角形外心性质，三角形特殊点性质
【点评】
这道题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的性质，解题的关键是不要混淆“到三个顶点距离相等”和“到三边距离相等”对应的点，掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB$的垂直平分线$l$交$BC$于点$D$,$BC=7$,$AC=4$,则$△ ACD$的周长为________.

2. 11 解析:$\because AB$ 的垂直平分线 $l$ 交 $BC$ 于点 $D$,$\therefore DA=DB$,$\therefore △ ACD$ 的周长 $=AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+BC=4+7=11$.

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质，题目中明确l是AB的垂直平分线，且点D在l上，可推出DA=DB的等量关系。接下来求△ACD的周长，先写出周长表达式：△ACD周长=AC+CD+AD，将表达式中的AD替换为等量的DB后，周长就转化为AC+CD+DB，而CD+DB刚好是BC的长度，代入已知的AC、BC长度即可算出结果。
【解析】
∵AB的垂直平分线l交BC于点D，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$DA=DB$，
△ACD的周长$=AC+CD+AD$，
将AD替换为DB，可得：
△ACD的周长$=AC+CD+DB=AC+BC$，
已知$BC=7$，$AC=4$，代入得：
△ACD的周长$=4+7=11$。
【答案】
11
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，通过等量转化将未知边替换为已知边长，即可简化周长计算，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质。
【难度系数】
0.9

3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=80°$，$DE$、$FG$分别是$AB$、$AC$的垂直平分线，点$E$、$F$在$BC$上，则$∠ FAE$的度数为$\underline{\hspace{3cm}}$。

3. $20°$ 解析:$\because ∠ BAC=80°$,$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-80°=100°$.$\because DE$、$FG$ 分别是 $AB$、$AC$ 的垂直平分线,$\therefore EA=EB$,$FA=FC$,$\therefore ∠ EAB=∠ ABC$,$∠ FAC=∠ ACB$,$\therefore ∠ FAE=∠ EAB+∠ FAC-∠ BAC=100°-80°=20°$.

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得等腰三角形，结合等边对等角可得到两组相等的角。首先根据三角形内角和定理算出∠B与∠C的和，再利用等边对等角将∠EAB、∠FAC分别转化为∠B、∠C，最后通过角的和差关系推导∠FAE的度数即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=80°，
∴∠B + ∠ACB = 180° - ∠BAC = 180° - 80° = 100°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA = EB，
∴∠EAB = ∠B，
∵FG是AC的垂直平分线，
∴FA = FC，
∴∠FAC = ∠ACB，
∴∠EAB + ∠FAC = ∠B + ∠ACB = 100°，
又
∵∠EAB + ∠FAC = ∠BAC + ∠FAE，
∴∠FAE = （∠EAB + ∠FAC） - ∠BAC = 100° - 80° = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的常见题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质得到等边关系，进而转化为等角关系，再结合角的和差运算求解，要求熟练掌握相关性质并能灵活运用角度间的数量关系。
【难度系数】
0.8