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2. 已知$△ ABC$的三条边的长均为整数，其中两条边的长分别是2和5，第三条边的长为奇数，则这个三角形的周长为________.
答案
2. 12 解析:根据三角形的三边关系,得 $5-2＜$第三边的长$＜5+2$,即 $3＜$第三边的长$＜7$. $\because$第三条边的长为奇数,$\therefore$第三边的长为 $5$,$\therefore$三角形的周长为 $2+5+5=12$.
解析
【分析】
遇到已知三角形两边长，求与第三边相关的问题时，可按照以下思路思考：第一步先回忆三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用这一关系先确定第三边的取值范围；第二步结合题目给出的“边长为整数、第三边为奇数”的限制条件，筛选出符合要求的第三边长度；第三步将三条边长度相加，即可得到三角形的周长。
【解析】
根据三角形的三边关系可得：
第三边的长度满足 $5-2 ＜ 第三边长 ＜ 5+2$，即 $3 ＜ 第三边长 ＜ 7$。
已知三角形三条边长均为整数，且第三边的长为奇数，因此第三边的长只能为5。
则该三角形的周长为 $2+5+5=12$。
【答案】
12
【知识点】
三角形三边关系；奇数的概念；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形三边关系的应用，解题关键是先通过三边关系确定未知边的取值范围，再结合题干的限定条件筛选出符合要求的边长，计算时注意不要遗漏整数、奇数这类限制条件即可。
【难度系数】
0.8
遇到已知三角形两边长，求与第三边相关的问题时，可按照以下思路思考：第一步先回忆三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用这一关系先确定第三边的取值范围；第二步结合题目给出的“边长为整数、第三边为奇数”的限制条件，筛选出符合要求的第三边长度；第三步将三条边长度相加，即可得到三角形的周长。
【解析】
根据三角形的三边关系可得：
第三边的长度满足 $5-2 ＜ 第三边长 ＜ 5+2$，即 $3 ＜ 第三边长 ＜ 7$。
已知三角形三条边长均为整数，且第三边的长为奇数，因此第三边的长只能为5。
则该三角形的周长为 $2+5+5=12$。
【答案】
12
【知识点】
三角形三边关系；奇数的概念；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形三边关系的应用，解题关键是先通过三边关系确定未知边的取值范围，再结合题干的限定条件筛选出符合要求的边长，计算时注意不要遗漏整数、奇数这类限制条件即可。
【难度系数】
0.8
3. 已知a、b、c分别是△ABC的三边的长，化简$|a - b + c| - |a - c - b|$的结果为
2a-2b
.答案
3. $2a-2b$ 解析:$\because a、b、c$ 是 $△ ABC$ 的三边的长,$\therefore a-b+c＞0,a-c-b＜0$,$\therefore$ 原式 $=a-b+c-(-a+b+c)=a-b+c+a-b-c=2a-2b$.
解析
【分析】
解题时首先利用三角形三边关系判断两个绝对值内代数式的正负性，再根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
∵a、b、c是△ABC的三边的长，
根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可得：
$a + c ＞ b$，$b + c ＞ a$，
∴$a - b + c = (a + c) - b ＞ 0$，$a - c - b = a - (b + c) ＜ 0$，
∴原式 $= (a - b + c) - [-(a - c - b)]$
$= a - b + c + a - c - b$
$= 2a - 2b$
【答案】
$2a-2b$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减运算
【点评】
本题将三角形三边关系与绝对值化简、整式运算结合考查，属于基础题型，解题核心是先通过三边关系确定绝对值内式子的正负，再正确去绝对值合并同类项，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用三角形三边关系判断两个绝对值内代数式的正负性，再根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
∵a、b、c是△ABC的三边的长，
根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可得：
$a + c ＞ b$，$b + c ＞ a$，
∴$a - b + c = (a + c) - b ＞ 0$，$a - c - b = a - (b + c) ＜ 0$，
∴原式 $= (a - b + c) - [-(a - c - b)]$
$= a - b + c + a - c - b$
$= 2a - 2b$
【答案】
$2a-2b$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减运算
【点评】
本题将三角形三边关系与绝对值化简、整式运算结合考查，属于基础题型，解题核心是先通过三边关系确定绝对值内式子的正负，再正确去绝对值合并同类项，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1. 如图,已知 AD 是$△ ABC$的中线,$△ ABD$的周长为 16,AB 比 AC 长 3,则$△ ACD$的周长为
13
.答案
1. 13 解析:$\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线,$\therefore BD=DC$.$\because △ ABD$ 的周长为 $16$,$\therefore AB+AD+BD=16$,$\therefore AB+AD+DC=16$.$\because AB$ 比 $AC$ 长 $3$,$\therefore AB=AC+3$,$\therefore AC+3+AD+DC=16$,$\therefore AC+AD+DC=13$,即 $△ ACD$ 的周长为 $13$.
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质，三角形的中线会将对边分成两条相等的线段，即BD=DC。接下来分别写出△ABD和△ACD的周长表达式，对比两个表达式可以发现，两个周长都包含公共边AD，且BD=DC，因此两个三角形的周长差就等于AB与AC的长度差。已知△ABD周长为16，AB比AC长3，用△ABD的周长减去3即可得到△ACD的周长。
【解析】
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=DC。
∵ △ABD的周长为16，
∴ AB + AD + BD = 16，
将BD替换为DC，可得：AB + AD + DC = 16。
∵ AB比AC长3，
∴ AB = AC + 3，
将AB=AC+3代入上式得：AC + 3 + AD + DC = 16，
整理得：AC + AD + DC = 13，
即△ACD的周长为13。
【答案】
13
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是利用三角形中线的性质找到两个三角形周长的关联，再结合已知的边长差即可快速求解，对周长公式的灵活运用也有一定要求。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线的性质，三角形的中线会将对边分成两条相等的线段，即BD=DC。接下来分别写出△ABD和△ACD的周长表达式，对比两个表达式可以发现，两个周长都包含公共边AD，且BD=DC，因此两个三角形的周长差就等于AB与AC的长度差。已知△ABD周长为16，AB比AC长3，用△ABD的周长减去3即可得到△ACD的周长。
【解析】
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=DC。
∵ △ABD的周长为16，
∴ AB + AD + BD = 16，
将BD替换为DC，可得：AB + AD + DC = 16。
∵ AB比AC长3，
∴ AB = AC + 3，
将AB=AC+3代入上式得：AC + 3 + AD + DC = 16，
整理得：AC + AD + DC = 13，
即△ACD的周长为13。
【答案】
13
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是利用三角形中线的性质找到两个三角形周长的关联，再结合已知的边长差即可快速求解，对周长公式的灵活运用也有一定要求。
【难度系数】
0.8
2. AD是$△ ABC$的一条高，若$∠ BAD=65°$，$∠ CAD=30°$，则$∠ BAC$的度数为________.
答案
2. $95°$或 $35°$ 解析:如图1,当高 $AD$ 在三角形的内部时,$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=65°+30°=95°$
;如图2,当高 $AD$ 在三角形的外部时,$∠ BAC=∠ BAD-∠ CAD=65°-30°=35°$
.综上所述,$∠ BAC$ 的度数为 $95°$或 $35°$.解析
【分析】
本题未明确△ABC的形状，三角形的高既可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分类讨论两种情况：①高AD在△ABC内部；②高AD在△ABC外部，再结合角的和差关系分别计算∠BAC的度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当高AD在△ABC的内部时：
$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 65° + 30° = 95°$
2. 当高AD在△ABC的外部时：
$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 65° - 30° = 35°$
综上所述，∠BAC的度数为95°或35°。
【答案】
$95°$或$35°$
【知识点】
三角形的高；角度和差计算；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况，仅得到95°这一个结果。解题时要注意：若题目没有明确三角形的形状，需考虑高的不同位置，养成分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
本题未明确△ABC的形状，三角形的高既可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分类讨论两种情况：①高AD在△ABC内部；②高AD在△ABC外部，再结合角的和差关系分别计算∠BAC的度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当高AD在△ABC的内部时：
$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD = 65° + 30° = 95°$
2. 当高AD在△ABC的外部时：
$∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 65° - 30° = 35°$
综上所述，∠BAC的度数为95°或35°。
【答案】
$95°$或$35°$
【知识点】
三角形的高；角度和差计算；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略高在三角形外部的情况，仅得到95°这一个结果。解题时要注意：若题目没有明确三角形的形状，需考虑高的不同位置，养成分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6
3. (2024·宿迁)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=30°,AD是高,以点A为圆心、AB的长为半径画弧,交AC于点E,再分别以点B和点E为圆心、大于$\frac{1}{2}BE$的长为半径画弧,两弧在∠BAC的内部交于点F,作射线AF,则∠DAF的度数为
10°
.答案
3. $10°$ 解析:在 $△ ABC$ 中,$∠ B=50°$,$∠ C=30°$,$\therefore ∠ BAC=180°-50°-30°=100°$. 由作图可知, $AF$ 平分 $∠ BAC$,$\therefore ∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC=50°$.$\because AD⊥ BC$,$\therefore ∠ ADB=90°$.$\because ∠ B=50°$,$\therefore ∠ BAD=40°$,$\therefore ∠ DAF=∠ BAF-∠ BAD=10°$.
解析
【分析】
解题时先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再结合题中的尺规作图步骤，判断出AF是∠BAC的角平分线，进而求出∠BAF的度数；接着根据AD是高，在Rt△ABD中利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；最后用∠BAF减去∠BAD即可得到∠DAF的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，
根据三角形内角和定理得：$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-30°=100°$。
由尺规作图的步骤可知，AF平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
$\because AD$是BC边上的高，$\therefore ∠ ADB=90°$，
在Rt△ABD中，$∠ BAD=90°-∠ B=90°-50°=40°$，
$\therefore ∠ DAF=∠ BAF-∠ BAD=50°-40°=10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的尺规作图；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的核心是准确识别角平分线的尺规作图，再结合三角形的相关性质逐步推导角度，运算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再结合题中的尺规作图步骤，判断出AF是∠BAC的角平分线，进而求出∠BAF的度数；接着根据AD是高，在Rt△ABD中利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；最后用∠BAF减去∠BAD即可得到∠DAF的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，
根据三角形内角和定理得：$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-30°=100°$。
由尺规作图的步骤可知，AF平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$。
$\because AD$是BC边上的高，$\therefore ∠ ADB=90°$，
在Rt△ABD中，$∠ BAD=90°-∠ B=90°-50°=40°$，
$\therefore ∠ DAF=∠ BAF-∠ BAD=50°-40°=10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的尺规作图；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的核心是准确识别角平分线的尺规作图，再结合三角形的相关性质逐步推导角度，运算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,$E$是边$AC$上的一点,$AE=4EC$,$D$是边$BC$的中点,且$S_{△ ABC}=15$,则$S_1 - S_2=\_\_\_\_\_\_$.
答案
4. 4.5 解析:$\because AE=4EC$,$AE+EC=AC$,$\therefore EC=\frac{1}{5}AC$,$\therefore S_{△ BCE}=\frac{1}{5}S_{△ ABC}=\frac{1}{5}×15=3$,即 $S_2+S_{△ BDF}=3$①;$\because D$ 是边 $BC$ 的中点,$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×15=7.5$,即 $S_1+S_{△ BDF}=7.5$②. ②$-$①,得 $S_1-S_2=7.5-3=4.5$.
解析
【分析】
本题要求两个阴影部分的面积差，直接分别求$S_1$、$S_2$的面积缺少条件，因此考虑借助图形中的公共空白部分转化计算。首先根据“同高的两个三角形面积比等于底的比”，结合$AE$与$EC$的比例关系可求$△ BCE$的面积，结合$D$是$BC$中点的条件可求$△ ABD$的面积，两个三角形的面积表达式中都包含同一个公共空白三角形的面积，两式相减即可消去公共部分，直接得到$S_1$与$S_2$的差。
【解析】
解：$\because AE=4EC$，且$AE+EC=AC$，
$\therefore EC=\frac{1}{5}AC$，
$\because △ BCE$和$△ ABC$同高，底的比为$EC:AC=1:5$，
$\therefore S_{△ BCE}=\frac{1}{5}S_{△ ABC}=\frac{1}{5}×15=3$，
即 $S_2+S_{△ BDF}=3$ ①；
$\because D$是$BC$的中点，即$BD=\frac{1}{2}BC$，
$△ ABD$和$△ ABC$同高，底的比为$BD:BC=1:2$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×15=7.5$，
即 $S_1+S_{△ BDF}=7.5$ ②；
用②$-$①得：
$(S_1+S_{△ BDF})-(S_2+S_{△ BDF})=7.5-3$
化简得$S_1-S_2=4.5$。
【答案】
$4.5$
【知识点】
三角形面积比例关系、三角形中线性质、面积和差运算
【点评】
本题是典型的面积差计算问题，无需分别求出两个阴影的面积，巧妙利用公共部分作差即可快速求解，解题关键是熟练掌握同高三角形面积与底的正比关系，学会运用转化思想简化计算。
【难度系数】
0.6
本题要求两个阴影部分的面积差，直接分别求$S_1$、$S_2$的面积缺少条件，因此考虑借助图形中的公共空白部分转化计算。首先根据“同高的两个三角形面积比等于底的比”，结合$AE$与$EC$的比例关系可求$△ BCE$的面积，结合$D$是$BC$中点的条件可求$△ ABD$的面积，两个三角形的面积表达式中都包含同一个公共空白三角形的面积，两式相减即可消去公共部分，直接得到$S_1$与$S_2$的差。
【解析】
解：$\because AE=4EC$，且$AE+EC=AC$，
$\therefore EC=\frac{1}{5}AC$，
$\because △ BCE$和$△ ABC$同高，底的比为$EC:AC=1:5$，
$\therefore S_{△ BCE}=\frac{1}{5}S_{△ ABC}=\frac{1}{5}×15=3$，
即 $S_2+S_{△ BDF}=3$ ①；
$\because D$是$BC$的中点，即$BD=\frac{1}{2}BC$，
$△ ABD$和$△ ABC$同高，底的比为$BD:BC=1:2$，
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×15=7.5$，
即 $S_1+S_{△ BDF}=7.5$ ②；
用②$-$①得：
$(S_1+S_{△ BDF})-(S_2+S_{△ BDF})=7.5-3$
化简得$S_1-S_2=4.5$。
【答案】
$4.5$
【知识点】
三角形面积比例关系、三角形中线性质、面积和差运算
【点评】
本题是典型的面积差计算问题，无需分别求出两个阴影的面积，巧妙利用公共部分作差即可快速求解，解题关键是熟练掌握同高三角形面积与底的正比关系，学会运用转化思想简化计算。
【难度系数】
0.6
1. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面示意图,伞骨$AB=AC$,D、E分别是AB、AC的中点,DM、EM是连接弹簧和伞骨的支架,且$DM=EM$.已知弹簧M在向上滑动的过程中,总有$△ ADM≌△ AEM$,其判定依据是 （
A.ASA
B.AAS
C.SSS
D.HL
C
）A.ASA
B.AAS
C.SSS
D.HL
答案
1. C 解析:$\because AB=AC$,D、E 分别是 $AB$、$AC$ 的中点,$\therefore AD=AE$. 在 $△ ADM$ 和 $△ AEM$ 中,$\begin{cases}AD=AE,\\AM=AM,\\DM=EM,\end{cases}$$\therefore △ ADM≌△ AEM(\mathrm{SSS})$.
解析
【分析】
要判断△ADM≌△AEM的判定依据，需先梳理两个三角形的对应边、对应角相等关系：第一步，根据AB=AC以及D、E分别是AB、AC的中点，利用中点性质可推出AD=AE；第二步，找到两个三角形的公共边AM，可得AM=AM；第三步，结合题目已知的DM=EM，即可得到两个三角形三组对应边均相等，对应全等三角形的判定定理就能选出正确答案。
【解析】
∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，即AD=AE。
在△ADM和△AEM中：
$\begin{cases}AD=AE,\\AM=AM（公共边相等）,\\DM=EM,\end{cases}$
∴△ADM≌△AEM（SSS），因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 线段中点的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题关键是结合已知条件、公共边性质以及中点定义推导出三组对应边相等，熟练掌握全等三角形的各类判定定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.9
要判断△ADM≌△AEM的判定依据，需先梳理两个三角形的对应边、对应角相等关系：第一步，根据AB=AC以及D、E分别是AB、AC的中点，利用中点性质可推出AD=AE；第二步，找到两个三角形的公共边AM，可得AM=AM；第三步，结合题目已知的DM=EM，即可得到两个三角形三组对应边均相等，对应全等三角形的判定定理就能选出正确答案。
【解析】
∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，即AD=AE。
在△ADM和△AEM中：
$\begin{cases}AD=AE,\\AM=AM（公共边相等）,\\DM=EM,\end{cases}$
∴△ADM≌△AEM（SSS），因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 线段中点的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题关键是结合已知条件、公共边性质以及中点定义推导出三组对应边相等，熟练掌握全等三角形的各类判定定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.9
2. 如图,点 D、E 分别在线段 AB、AC 上,CD 与 BE 相交于点 O. 已知 $AB=AC$,现添加以下条件仍不能判定 $△ ABE ≌ △ ACD$ 的是 $\quad (\quad)$
A.$∠ B=∠ C$
B.$BE=CD$
C.$BD=CE$
D.$AD=AE$
A.$∠ B=∠ C$
B.$BE=CD$
C.$BD=CE$
D.$AD=AE$
答案
2. B 解析:$\because AB=AC$,$∠ A$ 为公共角,如添加 $∠ B=∠ C$,利用 ASA 即可证明 $△ ABE≌△ ACD$,故 A 选项不符合题意;如添加 $BE=CD$,不能利用 SSA 证明 $△ ABE≌△ ACD$,故 B 选项符合题意;如添加 $BD=CE$,由等量关系可得 $AD=AE$,利用 SAS 即可证明 $△ ABE≌△ ACD$,故 C 选项不符合题意;如添加 $AD=AE$,利用 SAS 即可证明 $△ ABE≌△ ACD$,故 D 选项不符合题意.
解析
【分析】
首先明确已知条件：△ABE和△ACD中，AB=AC，∠A是两个三角形的公共角，已经具备一组边相等、一组对应角相等的条件。接下来结合全等三角形的判定定理（ASA、SAS、AAS、SSS，注意SSA不能判定全等），逐一分析每个选项添加的条件能否满足判定定理，即可得出答案。
【解析】
已知AB=AC，∠A是△ABE和△ACD的公共角，对各选项分析如下：
A. 若添加∠B=∠C，结合已知的AB=AC、∠A=∠A，可通过ASA判定△ABE≌△ACD，不符合题意；
B. 若添加BE=CD，此时满足的条件是两边及其中一边的对角（SSA），SSA不能判定三角形全等，因此无法证明△ABE≌△ACD，符合题意；
C. 若添加BD=CE，根据等式性质，AB-BD=AC-CE，可得AD=AE，结合已知的AB=AC、∠A=∠A，可通过SAS判定△ABE≌△ACD，不符合题意；
D. 若添加AD=AE，结合已知的AB=AC、∠A=∠A，可通过SAS判定△ABE≌△ACD，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等式的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形的判定定理的应用，解题时要注意SSA不能作为全等三角形的判定依据，需结合已知条件逐一验证选项，避免混淆判定规则导致错误。
【难度系数】
0.8
首先明确已知条件：△ABE和△ACD中，AB=AC，∠A是两个三角形的公共角，已经具备一组边相等、一组对应角相等的条件。接下来结合全等三角形的判定定理（ASA、SAS、AAS、SSS，注意SSA不能判定全等），逐一分析每个选项添加的条件能否满足判定定理，即可得出答案。
【解析】
已知AB=AC，∠A是△ABE和△ACD的公共角，对各选项分析如下：
A. 若添加∠B=∠C，结合已知的AB=AC、∠A=∠A，可通过ASA判定△ABE≌△ACD，不符合题意；
B. 若添加BE=CD，此时满足的条件是两边及其中一边的对角（SSA），SSA不能判定三角形全等，因此无法证明△ABE≌△ACD，符合题意；
C. 若添加BD=CE，根据等式性质，AB-BD=AC-CE，可得AD=AE，结合已知的AB=AC、∠A=∠A，可通过SAS判定△ABE≌△ACD，不符合题意；
D. 若添加AD=AE，结合已知的AB=AC、∠A=∠A，可通过SAS判定△ABE≌△ACD，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等式的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形的判定定理的应用，解题时要注意SSA不能作为全等三角形的判定依据，需结合已知条件逐一验证选项，避免混淆判定规则导致错误。
【难度系数】
0.8
3. 如图，C是AB的中点，CD=BE，请添加一个条件
答案不唯一,如AD=CE或∠ACD=∠B
，使△ACD≌△CBE.答案
3. 答案不唯一,如 $AD=CE$ 或 $∠ ACD=∠ B$
解析
【分析】
首先梳理题目已知条件：由C是AB的中点可得AC=CB，题目还给出CD=BE，此时已经有两组对应边相等。结合全等三角形的判定定理思考：若用“SSS”判定全等，需要补充第三组对应边相等；若用“SAS”判定全等，需要补充这两组相等边的夹角对应相等，据此即可写出符合要求的添加条件。
【解析】
解：
∵C是AB的中点，
∴AC = CB，又已知CD = BE。
情况1：添加条件$AD=CE$
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AC=CB \\CD=BE \\AD=CE\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ CBE$（SSS）。
情况2：添加条件$∠ ACD=∠ B$
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AC=CB \\∠ ACD=∠ B \\CD=BE\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ CBE$（SAS）。
除此之外也可添加其他符合全等判定要求的条件。
【答案】
答案不唯一,如 $AD=CE$ 或 $∠ ACD=∠ B$
【知识点】
线段中点的定义、全等三角形的判定
【点评】
本题属于开放性题目，核心考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题时需先梳理已有的相等边、相等角，再结合判定规则补充缺失的条件即可，能有效巩固全等判定的相关知识。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目已知条件：由C是AB的中点可得AC=CB，题目还给出CD=BE，此时已经有两组对应边相等。结合全等三角形的判定定理思考：若用“SSS”判定全等，需要补充第三组对应边相等；若用“SAS”判定全等，需要补充这两组相等边的夹角对应相等，据此即可写出符合要求的添加条件。
【解析】
解：
∵C是AB的中点，
∴AC = CB，又已知CD = BE。
情况1：添加条件$AD=CE$
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AC=CB \\CD=BE \\AD=CE\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ CBE$（SSS）。
情况2：添加条件$∠ ACD=∠ B$
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AC=CB \\∠ ACD=∠ B \\CD=BE\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ CBE$（SAS）。
除此之外也可添加其他符合全等判定要求的条件。
【答案】
答案不唯一,如 $AD=CE$ 或 $∠ ACD=∠ B$
【知识点】
线段中点的定义、全等三角形的判定
【点评】
本题属于开放性题目，核心考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题时需先梳理已有的相等边、相等角，再结合判定规则补充缺失的条件即可，能有效巩固全等判定的相关知识。
【难度系数】
0.8
4. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，$AB// DE$，$AB=DE$，$∠ A=∠ D$，$BF=10$，$BC=6$，则EC的长为________.
答案
4. 2 解析:$\because AB// DE$,$\therefore ∠ B=∠ DEF$. 在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中,$\begin{cases}∠ A=∠ D,\\AB=DE,\\∠ B=∠ DEF,\end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$,$\therefore BC=EF$.$\because BF=10$,$BC=6$,$\therefore EF=6$,$CF=BF-BC=4$,$\therefore EC=EF-CF=2$.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的$AB// DE$，利用平行线的同位角相等性质得到$∠ B=∠ DEF$；再结合题目给出的$∠ A=∠ D$、$AB=DE$的条件，符合角边角（ASA）的全等判定要求，可先证明$△ ABC$和$△ DEF$全等；接着根据全等三角形对应边相等得到$BC=EF$；最后结合已知$BF$、$BC$的长度，通过线段的和差关系逐步计算出$EC$的长度即可。
【解析】
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠ B=∠ DEF$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ D,\\AB=DE,\\∠ B=∠ DEF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BC=EF$（全等三角形对应边相等）。
$\because BF=10$，$BC=6$，
$\therefore EF=BC=6$，$CF=BF-BC=10-6=4$，
$\therefore EC=EF-CF=6-4=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；线段和差计算
【点评】
本题属于几何基础常考题，核心是通过平行线性质推导角相等来证明三角形全等，再利用全等性质转化边的关系，结合线段和差求解，解题时要注意找准全等三角形的对应边，避免线段和差关系混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知的$AB// DE$，利用平行线的同位角相等性质得到$∠ B=∠ DEF$；再结合题目给出的$∠ A=∠ D$、$AB=DE$的条件，符合角边角（ASA）的全等判定要求，可先证明$△ ABC$和$△ DEF$全等；接着根据全等三角形对应边相等得到$BC=EF$；最后结合已知$BF$、$BC$的长度，通过线段的和差关系逐步计算出$EC$的长度即可。
【解析】
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠ B=∠ DEF$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ D,\\AB=DE,\\∠ B=∠ DEF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BC=EF$（全等三角形对应边相等）。
$\because BF=10$，$BC=6$，
$\therefore EF=BC=6$，$CF=BF-BC=10-6=4$，
$\therefore EC=EF-CF=6-4=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；线段和差计算
【点评】
本题属于几何基础常考题，核心是通过平行线性质推导角相等来证明三角形全等，再利用全等性质转化边的关系，结合线段和差求解，解题时要注意找准全等三角形的对应边，避免线段和差关系混淆。
【难度系数】
0.8
