1. 如图,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=1.5,则AB的长为 （）


A.3
B.4.5
C.6
D.7.5

1. C 解析:$\because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore ∠ ABC=∠ C=60°$,$AB=BC=AC$.$\because DE⊥ BC$,$\therefore ∠ CDE=30°$.$\because EC=1.5$,$\therefore CD=2EC=3$.$\because BD$ 平分 $∠ ABC$,$\therefore AD=CD=3$,$\therefore AB=AC=AD+CD=6$.

【分析】
解题时首先回忆等边三角形的基本性质：三边相等、三个内角均为60°，且等边三角形作为特殊的等腰三角形满足三线合一，即角平分线同时是对应边的中线。首先结合已知DE⊥BC，可得△CDE是直角三角形，结合∠C=60°可推出∠CDE=30°，利用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”，结合CE的长度先求出CD的长；再根据BD是∠ABC的平分线，利用三线合一可得D是AC中点，即AC=2CD，最后由等边三角形三边相等得出AB的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC。
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=90°-∠C=30°。
∵CE=1.5，在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴CD=2CE=3。
∵BD平分∠ABC，△ABC是等边三角形，根据三线合一，BD是AC边上的中线，
∴AD=CD=3，
∴AC=AD+CD=3+3=6，
∴AB=AC=6。
【答案】C
【知识点】
1.等边三角形的性质
2.含30°角的直角三角形的性质
3.等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何题，综合考查了等边三角形和特殊直角三角形的性质，解题的核心是熟练运用三线合一和30°直角三角形的边角关系，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

2. 如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC的度数为.

2. $15°$ 解析:$\because AD$ 是等边三角形 $ABC$ 的中线,$\therefore AD⊥ BC$,$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$,$\therefore ∠ ADC=90°$.$\because AD=AE$,$\therefore ∠ ADE=∠ AED=\frac{180°-∠ CAD}{2}=75°$,$\therefore ∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=90°-75°=15°$.

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先等边三角形的三个内角都是60°，且中线同时满足高和角平分线的“三线合一”性质，因此先通过AD是中线得到AD⊥BC，同时求出∠CAD的度数；再根据AE=AD可知△ADE是等腰三角形，利用三角形内角和定理可求出∠ADE的度数；最后根据∠EDC=∠ADC-∠ADE的和差关系就能算出所求角的度数。
【解析】
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠ADC=90°。
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{180°-∠CAD}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°。
【答案】
$15°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心是运用等边三角形“三线合一”的性质得到相关垂直关系和角的度数，再结合等腰三角形等边对等角的性质计算角的大小，解题时要准确找到各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,∠ BAC=120°,AD⊥ BC$,垂足为$G$,且$AD=AB,∠ EDF=60°$,其两边分别交边$AB$、$AC$于点$E$、$F$.
(1)求证:$△ ABD$是等边三角形.
(2)求证:$BE=AF$.

3. 证明:(1) $\because AB=AC$,$AD⊥ BC$,$\therefore ∠ BAD=∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC$.$\because ∠ BAC=120°$,$\therefore ∠ BAD=∠ DAC=\frac{1}{2}×120°=60°$.$\because AD=AB$,$\therefore △ ABD$ 是等边三角形.(2) $\because △ ABD$ 是等边三角形,$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=60°$,$BD=AD$.$\because ∠ EDF=60°$,$\therefore ∠ ADB=∠ EDF$,$\therefore ∠ ADB-∠ ADE=∠ EDF-∠ ADE$,即 $∠ BDE=∠ ADF$. 在 $△ BDE$ 与 $△ ADF$ 中,$\begin{cases}∠ DBE=∠ DAF,\\BD=AD,\\∠ BDE=∠ ADF,\end{cases}$$\therefore △ BDE≌△ ADF(\mathrm{ASA})$,$\therefore BE=AF$.

【分析】
(1) 要证明△ABD是等边三角形，已知AD=AB，只需证明∠BAD=60°即可。根据等腰三角形三线合一的性质，AD是等腰△ABC底边BC上的高，因此AD平分∠BAC，结合∠BAC=120°可求得∠BAD=60°，即可判定△ABD为等边三角形。
(2) 要证BE=AF，可通过证明两条线段所在的△BDE和△ADF全等实现。首先由△ABD是等边三角形可得BD=AD、∠DBE=∠DAF=60°，再根据∠ADB和∠EDF均为60°，减去公共角∠ADE可得∠BDE=∠ADF，用ASA即可证明两三角形全等，进而得到对应边相等。
【解析】
(1) 利用等腰三角形三线合一的性质求出∠BAD的度数，结合AD=AB，根据等边三角形判定定理即可得证；
(2) 先由等边三角形的性质得到边和角的相等关系，通过角的和差推导得到一组相等的角，利用ASA判定△BDE≌△ADF，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【答案】
(1) $\because AB=AC$,$AD⊥ BC$,$\therefore ∠ BAD=∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC$.$\because ∠ BAC=120°$,$\therefore ∠ BAD=∠ DAC=\frac{1}{2}×120°=60°$.$\because AD=AB$,$\therefore △ ABD$ 是等边三角形.
(2) $\because △ ABD$ 是等边三角形,$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=60°$,$BD=AD$.$\because ∠ EDF=60°$,$\therefore ∠ ADB=∠ EDF$,$\therefore ∠ ADB-∠ ADE=∠ EDF-∠ ADE$,即 $∠ BDE=∠ ADF$. 在 $△ BDE$ 与 $△ ADF$ 中,$\begin{cases}∠ DBE=∠ DAF,\\BD=AD,\\∠ BDE=∠ ADF,\end{cases}$$\therefore △ BDE≌△ ADF(\mathrm{ASA})$,$\therefore BE=AF$.
【知识点】
等腰三角形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将等腰三角形、等边三角形、全等三角形的知识点结合考查，解题时需从已知条件出发，结合相关性质逐步推导，重点锻炼逻辑推理能力，熟练掌握特殊三角形的性质和全等判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7

1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=5$,$AC=3$,$BC=4$. D、E、Q分别是边AC、BC、AB上的动点,P是DE的中点.若$DE=2$,则PQ的最小值是 （）

A.$\dfrac{7}{5}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$3$
D.$2$

1. A 解析:如图,连接 $CP$,由条件可知,$CP=\frac{1}{2}DE=1$,即点 $P$ 在以点 $C$ 为圆心、1 为半径的圆上运动,$\therefore$ 当 $CQ⊥ AB$ 时,$CQ$ 的长度最短,此时 $PQ$ 也最短.$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CQ$,$\therefore CQ=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{12}{5}$,$\therefore PQ$ 的最小值为 $CQ-CP=\frac{12}{5}-1=\frac{7}{5}$.

【分析】
解题时先从已知条件入手：①△ABC是直角三角形，∠C=90°，DE是长度固定为2的线段，P是DE中点，首先想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出CP的长度是定值1，由此确定点P的运动轨迹是以C为圆心、1为半径的圆。②要求PQ的最小值，Q在AB上，根据几何最值规律，要先找到点C到直线AB的最短距离（垂线段最短），即AB边上的高CQ，此时CQ与圆的交点就是使得PQ最短的P点，用CQ的长度减去圆的半径CP就能得到PQ的最小值。
【解析】
解：连接CP，
∵∠ACB=90°，P是DE的中点，DE=2，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CP=\frac{1}{2}DE=1$，
即点P在以点C为圆心、1为半径的圆上运动。
要使PQ最短，需先取点C到AB的最短距离，根据垂线段最短，当$CQ⊥AB$时，CQ的长度最短，此时PQ也最短。
根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CQ$，
代入数值：$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×CQ$，
解得$CQ=\frac{12}{5}$。
∴PQ的最小值为$CQ - CP=\frac{12}{5}-1=\frac{7}{5}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；垂线段最短；面积法求高
【点评】
本题属于动态几何最值问题，解题的核心是先确定动点P的运动轨迹，再结合垂线段最短的性质找到最短路径，最后通过面积法计算高求出结果，能够有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

2. 如图,在$△ ABC$中,$CF\bot AB$,$BE\bot AC$,$M、N$分别是$BC$与$EF$的中点.
(1)求证:$MN\bot EF$.
(2)已知$BC=8$,当$∠ A=60°$时,求$EF$的长.

2. (1)证明:如图,连接 $FM$、$EM$. $\because CF⊥ AB$,$BE⊥ AC$,$\therefore ∠ CEB=∠ CFB=90°$.$\because M$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore FM=BM=CM=\frac{1}{2}BC=EM$. 又 $\because N$ 是 $EF$ 的中点,$\therefore MN⊥ EF$.(2) $\because ∠ A=60°$,$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$. 由(1),得 $BM=FM=CM=EM=\frac{1}{2}BC=4$,$\therefore ∠ ABC=∠ BFM$,$∠ ACB=∠ CEM$,$\therefore ∠ BFM+∠ CEM=120°$,$\therefore ∠ FMB+∠ EMC=360°-(∠ ABC+∠ ACB+∠ BFM+∠ CEM)=360°-(120°+120°)=120°$,$\therefore ∠ EMF=180°-(∠ FMB+∠ EMC)=180°-120°=60°$.$\because FM=EM=4$,$\therefore △ EMF$ 为等边三角形,$\therefore EF=FM=4$.

【分析】
(1) 要证明MN⊥EF，首先观察到CF⊥AB、BE⊥AC，可得△BFC和△BEC都是直角三角形，M是BC的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，连接FM、EM可证得FM=EM，即△EFM为等腰三角形；再结合N是EF的中点，利用等腰三角形三线合一的性质即可证明MN⊥EF。
(2) 求EF的长时，先由∠A=60°，根据三角形内角和得到∠ABC+∠ACB=120°；再由FM=BM、EM=CM可知△FBM、△ECM都是等腰三角形，利用等腰三角形底角相等推导得出∠FMB+∠EMC=120°，进而求出∠EMF=60°，结合FM=EM可判定△EMF是等边三角形，即可求出EF的长度。
【解析】
(1) 证明：如图，连接 $FM$、$EM$。
$\because CF⊥ AB$，$BE⊥ AC$，$\therefore ∠ CEB=∠ CFB=90°$。
$\because M$是$BC$的中点，$\therefore FM=BM=CM=\frac{1}{2}BC=EM$。
又$\because N$是$EF$的中点，$\therefore MN⊥ EF$。
(2) 解：$\because ∠ A=60°$，$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$。
由(1)得$BM=FM=CM=EM=\frac{1}{2}BC=4$，
$\therefore ∠ ABC=∠ BFM$，$∠ ACB=∠ CEM$，
$\therefore ∠ BFM+∠ CEM=120°$，
$\therefore ∠ FMB+∠ EMC=360°-(∠ ABC+∠ ACB+∠ BFM+∠ CEM)=360°-(120°+120°)=120°$，
$\therefore ∠ EMF=180°-(∠ FMB+∠ EMC)=180°-120°=60°$。
$\because FM=EM=4$，$\therefore △ EMF$为等边三角形，$\therefore EF=FM=4$。
【答案】
(1) $MN⊥ EF$得证；(2) $EF=4$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，等边三角形判定
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题关键是结合中点、垂直的条件添加辅助线构造斜边中线，灵活运用特殊三角形的性质推导角度和边长关系，需要熟练掌握相关性质并学会转化已知条件。
【难度系数】
0.6