1. (2025·山西)如图,小谊将两根长度不等的木条AC、BD的中点连在一起,记中点为O,即$AO=CO,BO=DO$.测得C、D两点之间的距离后,利用全等三角形的性质,可得花瓶内壁上A、B两点之间的距离.图中$△ AOB$与$△ COD$全等的依据是 ()



A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.HL

1. B 解析:在 $△ AOB$ 与 $△ COD$ 中,$\begin{cases}AO=CO,\\∠ AOB=∠ COD,\\BO=DO,\end{cases}$$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$.

【分析】
要判断△AOB和△COD全等的依据，首先梳理已知条件：题目明确给出AO=CO、BO=DO，再观察两个三角形的角，∠AOB和∠COD是对顶角，根据对顶角的性质可知二者相等。此时两个三角形满足两边及其夹角对应相等，对应全等三角形的判定定理即可确定全等依据。
【解析】
在$△ AOB$与$△ COD$中，
$\begin{cases}AO=CO,\\∠AOB=∠COD\quad(\mathrm{对顶角相等}),\\BO=DO,\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定；对顶角的性质；中点的定义
【点评】
本题是全等三角形在实际生活中的应用，解题关键是挖掘出对顶角相等这一隐含条件，结合已知的边相等的条件即可快速判断全等依据，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9

2. (2025·陕西)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=20°$,$CD$为边$AB$上的中线,$DE⊥ AC$,则图中与$∠ A$互余的角共有 ()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

2. C 解析:$\because ∠ ACB=90°$,$CD$ 为边 $AB$ 上的中线,$\therefore CD=\frac{1}{2}AB$,$\therefore CD=AD=BD$,$\therefore ∠ B=∠ BCD$,$\because AD=CD$,$DE⊥ AC$,$\therefore ∠ ADE=∠ CDE$,$\because ∠ A+∠ ADE=90°$,$∠ A+∠ B=90°$,$\therefore$ 图中与 $∠ A$ 互余的角共有 4 个.

【分析】
首先明确互余的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互余。解题时按以下思路推导：1. 先利用直角三角形两锐角互余，得到第一个和∠A互余的角∠B；2. 结合直角三角形斜边中线的性质，得出CD=AD=BD，进而得到等腰△BCD中∠B=∠BCD，推出∠BCD也和∠A互余；3. 由DE⊥AC得到Rt△ADE，得出∠A+∠ADE=90°；4. 再结合等腰△ACD三线合一的性质，得到DE平分∠ADC，即∠ADE=∠CDE，推出∠CDE也和∠A互余，最后统计符合条件的角的个数即可。
【解析】
解：$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ B=90°$，$∠ B$是与$∠ A$互余的角。
$\because CD$为$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边$AB$上的中线，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=AD=BD$，
$\therefore ∠ B=∠ BCD$，
$\therefore ∠ A+∠ BCD=90°$，$∠ BCD$是与$∠ A$互余的角。
$\because DE⊥ AC$，
$\therefore ∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ ADE=90°$，$∠ ADE$是与$∠ A$互余的角。
又$\because AD=CD$，$DE⊥ AC$，根据等腰三角形三线合一，$DE$平分$∠ ADC$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CDE$，
$\therefore ∠ A+∠ CDE=90°$，$∠ CDE$是与$∠ A$互余的角。
综上，与$∠ A$互余的角有$∠ B$、$∠ BCD$、$∠ ADE$、$∠ CDE$，共4个。
【答案】
C
【知识点】
1. 互余的定义
2. 直角三角形斜边中线性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是先明确互余的判定标准，再结合直角三角形、等腰三角形的性质逐一梳理图中的等角，避免漏找符合条件的角即可正确解答。
【难度系数】
0.7

3. (2025·威海)我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”.在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.下列条件中,不能判断四边形ABCD是筝形的是 ()

A.$BO=DO,AC⊥ BD$
B.$∠ DAC=∠ BAC,AD=AB$
C.$∠ DAC=∠ BAC,∠ DCA=∠ BCA$
D.$∠ ADC=∠ ABC,BO=DO$

3. D 解析:$\because BO=DO$,$AC⊥ BD$,$\therefore AC$ 是 $BD$ 的垂直平分线,$\therefore AB=AD$,$CB=CD$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是筝形,故 A 选项不符合题意;在 $△ ACD$ 与 $△ ACB$ 中,$\begin{cases}AD=AB,\\∠ DAC=∠ BAC,\\AC=AC,\end{cases}$$\therefore △ ACD≌△ ACB(\mathrm{SAS})$,$\therefore CD=CB$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是筝形,故 B 选项不符合题意;在 $△ ACD$ 与 $△ ACB$ 中,$\begin{cases}∠ DAC=∠ BAC,\\AC=AC,\\∠ DCA=∠ BCA,\end{cases}$$\therefore △ ACD≌△ ACB(\mathrm{ASA})$,$\therefore AD=AB$,$CD=CB$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是筝形,故 C 选项不符合题意;由 $∠ ADC=∠ ABC$,$BO=DO$,不能证明四边形 $ABCD$ 是筝形,故 D 选项符合题意.

【分析】
解题的核心是紧扣筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形，因此只需验证每个选项能否推出四边形ABCD有两组邻边分别相等即可。可结合线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质逐一分析四个选项，最终选出无法判定为筝形的选项。
【解析】
首先明确筝形的判定条件：四边形的两组邻边分别相等。
选项A：已知$BO=DO$，$AC⊥ BD$，因此$AC$是线段$BD$的垂直平分线。根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得$AB=AD$，$CB=CD$，满足两组邻边分别相等，能判定四边形ABCD是筝形，故A不符合题意；
选项B：在$△ ACD$和$△ ACB$中，$\begin{cases}AD=AB,\\∠ DAC=∠ BAC,\\AC=AC,\end{cases}$可通过SAS判定$△ ACD≌△ ACB$，因此$CD=CB$。结合已知$AD=AB$，可得两组邻边分别相等，能判定四边形ABCD是筝形，故B不符合题意；
选项C：在$△ ACD$和$△ ACB$中，$\begin{cases}∠ DAC=∠ BAC,\\AC=AC,\\∠ DCA=∠ BCA,\end{cases}$可通过ASA判定$△ ACD≌△ ACB$，因此$AD=AB$，$CD=CB$，满足两组邻边分别相等，能判定四边形ABCD是筝形，故C不符合题意；
选项D：已知$∠ ADC=∠ ABC$，$BO=DO$，无法证明三角形全等，也不能推导出两组邻边分别相等，因此不能判定四边形ABCD是筝形，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
筝形的定义；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是新定义类的几何判定题，解题的关键是牢牢把握新定义的判定条件，结合已学的全等三角形、垂直平分线相关知识逐一排查选项，做题时要注意题干要求选择“不能判断”的选项，避免因审题失误失分。
【难度系数】
0.7

4. (2025·凉山州)如图，$AB=AC$，$AE=AD$，点$E$在$BD$上，$∠ EAD=∠ BAC$，$∠ BDC=56°$，则$∠ ABC$的度数为 （）




A.$56°$
B.$60°$
C.$62°$
D.$64°$

4. C 解析:如图,设 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$. $\because ∠ EAD=∠ BAC$,$\therefore ∠ EAD-∠ EAC=∠ BAC-∠ CAD$,即 $∠ BAE=∠ CAD$. 在 $△ BAE$ 和 $△ CAD$ 中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAE=∠ CAD,\\AE=AD,\end{cases}$$\therefore △ BAE≌△ CAD(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ ABE=∠ ACD$.$\because ∠ BOC$ 是 $△ ABO$ 和 $△ CDO$ 的外角,$\therefore ∠ BOC=∠ ABE+∠ BAC=∠ ACD+∠ BDC$.$\because ∠ BDC=56°$,$\therefore ∠ BAC=∠ BDC=56°$.$\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-56°)=62°$.

【分析】
解题时先观察已知条件：题目给出两组边相等$AB=AC$、$AE=AD$，还有一组角相等$∠EAD=∠BAC$，首先考虑通过角的和差推导得到全等三角形的夹角相等，进而证明三角形全等；再利用全等三角形对应角相等的性质，结合三角形外角的性质，推导得到$∠BAC$与已知$∠BDC$的等量关系；最后根据$AB=AC$可知$△ ABC$是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理即可求出$∠ABC$的度数。
【解析】
设 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$。
$\because ∠ EAD=∠ BAC$，
$\therefore ∠ EAD-∠ EAC=∠ BAC-∠ EAC$，即 $∠ BAE=∠ CAD$。
在 $△ BAE$ 和 $△ CAD$ 中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAE=∠ CAD,\\AE=AD,\end{cases}$
$\therefore △ BAE≌△ CAD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ABE=∠ ACD$。
$\because ∠ BOC$ 是 $△ ABO$ 和 $△ CDO$ 的外角，
$\therefore ∠ BOC=∠ ABE+∠ BAC=∠ ACD+∠ BDC$。
$\because ∠ BDC=56°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BDC=56°$。
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-56°)=62°$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形综合基础题，解题的突破口是通过角的和差推导相等夹角证明三角形全等，再结合外角性质完成角的等量代换，最终利用等腰三角形的性质求解角度，解题时需注意找准全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.7

5. (2025·连云港)如图,在$△ ABC$中,$BC=7$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$、$BC$于点$D$、$E$,$AC$的垂直平分线分别交$AC$、$BC$于点$F$、$G$,则$△ AEG$的周长为 ()

A.5
B.6
C.7
D.8

5. C 解析:$\because AB$ 的垂直平分线分别交 $AB$、$BC$ 于点 $D$、$E$,$AC$ 的垂直平分线分别交 $AC$、$BC$ 于点 $F$、$G$,$\therefore EA=EB$,$GA=GC$,$\therefore △ AEG$ 的周长为 $EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC=7$.

【分析】
解题时先梳理题干已知条件，题目中出现了AB、AC的垂直平分线，首先联想线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，据此可以得到EA=EB、GA=GC的等量关系。接下来求△AEG的周长，周长为三条边的和即EA+EG+GA，将上述等量关系代入，就能把未知边长替换为BC上的线段，刚好凑成已知长度的BC边，代入数值即可得出结果。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴EA=EB
又
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上
∴GA=GC
△AEG的周长为：$EA+EG+GA$
将$EA=EB$、$GA=GC$代入上式可得：
$EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC$
已知$BC=7$，因此△AEG的周长为7，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础考题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是利用性质将所求三角形的周长转化为已知边长的线段，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6. (2025·德阳)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,将$△ ABC$沿$CB$向右平移至$△ EGF$处,使$EF$恰好过边$AB$的中点$D$,连接$CD$.若$CD=1$,则$GE$的长为（）

A.3
B.2
C.1
D.$\dfrac{1}{2}$

6. B 解析:在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$D$ 是边 $AB$ 的中点,$\therefore CD$ 是 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 斜边上的中线,$\therefore AB=2CD$.$\because CD=1$,$\therefore AB=2$,由平移可知,$GE=AB=2$.

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先题目给出直角三角形以及斜边的中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可以先求出斜边AB的长度；再结合图形平移的性质，平移前后的对应边相等，GE是平移后三角形的边，和原三角形的AB是对应边，因此得到GE和AB相等，即可求出GE的长度。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AB的中点，
∴CD是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质可得：$AB=2CD$，
已知$CD=1$，代入得$AB=2×1=2$，
∵$△ EGF$是$△ ABC$沿CB平移得到的，
根据平移的性质，平移前后对应边相等，可得$GE=AB$，
∴$GE=2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；平移的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将直角三角形的性质和平移的性质结合考查，解题的突破口是抓住直角三角形斜边中点的条件求出AB的长度，再结合平移的对应边相等即可得到答案，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

7. (2025·福建)某房梁的示意图如图所示，立柱$AD⊥ BC$，E、F分别是斜梁AB、AC的中点。若$AB=AC=8\ \mathrm{m}$，则DE的长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}.$

7. 4 解析:$\because AD⊥ BC$,$\therefore ∠ ADB=90°$.$\because E$ 是 $AB$ 的中点,$\therefore DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{m})$.

【分析】
首先梳理题干已知条件：由AD⊥BC可判定△ABD是直角三角形，再结合E是AB中点的条件，回忆直角三角形的相关性质，即可想到利用“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”求解DE的长度，题干中AB=AC为干扰条件，解题时无需使用。
【解析】
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，△ABD为直角三角形。
∵E是直角三角形斜边AB的中点，
∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质可得：$DE=\frac{1}{2}AB$，
将AB=8m代入得：$DE=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{m})$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，垂直的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查直角三角形斜边中线的性质，解题关键是准确识别直角三角形及斜边的中线，注意排除题干中无关条件的干扰即可快速求解。
【难度系数】
0.8